1. 公開鍵暗号系
2011/05/09

2. 公開鍵暗号 Diffie Hellman 鍵共有理論 1976
1978年R. L. Rivest, A. Shamir, L. M. Adleman
実際には英国が最初に開発
　　GCHQ James Ellis 1969　Cliford Coks 1973 特徴
　暗号化に必要な公開鍵
　複合化に必要な秘密鍵
公開鍵と暗号化プロセス、複合化プロセスが分かっていても、秘密鍵を見つけるのは困難

3. RSA暗号の原理
素因数分解を応用 概念
　素数p、qの積nは簡単に計算できるが、nからp、qを計算するのは困難

4. 素因数分解の例
p = ，q = n = p ×q =

5. 剰余
nをmで割った余りを m mod nと書く a1 mod n = b1 , a2 mod n =b2 とすると a1 a2 ≡ b1b2 mod n a1 +a2 ≡ b1+b2 mod n

6. Eulerの関数 ある整数nに対し、1からn-1の整数でnと互いに素な整数の個数 特にnが素数pの場合、Φ(p)＝p-1 例）
8と互いに素な整数 1,3,5,7 　よってΦ(8)=4
5と互いに素な整数 1,2,3,4 よってΦ(5)=4

7. Eulerの定理・Fermatの小定理
ｒとnが互いに素な場合
ｒΦ(n)≡1 mod n
特にnが素数pの場合
(Fermatの小定理）
ｒ p-1 ≡１　mod p

8. Eulerの定理 p、qを素数とすると Φ(pq)= Φ(p)Φ(q)= (p-1)(q-1) 例） p=61,q=53
pq=61x53=3233
Φ(3233)=Φ(61-1)Φ(53-1)=3120

9. 一次合同式 １次合同式 ax ≡ b mod m が解xを持つ必要十分条件
　→　a と m の最大公約数 gcd(a, m) が， b を割り切れる
１次合同式  ax ≡ 1 mod m が解xを持つ必要十分条件
　→　a と m が互いに素である

10. 逆元の存在 gcd(a, m) = 1 となるとき，１次合同式 ax ≡ 1 mod m の解xが m を法にして唯１つ存在する
　その x を m を法とする a の逆元という
gcd(c, m) = 1 とすると，ca ≡ cb mod m ならば，  a ≡ b mod mとなる

11. RSA暗号の根拠 n,ｄが公開鍵、eが秘密鍵となる ｎを相異なる素数ｐ，ｑ の積 ｅ を gcd(e,φ(ｎ))=1 となる正整数 このとき
ｎを相異なる素数ｐ，ｑ の積
ｅ を gcd(e,φ(ｎ))=1 となる正整数
このとき
　　　　　　ed≡ 1 mod Φ(n)なる dが存在し
　　　　　　ed≡ 1 mod Φ(p)Φ(q) ≡ 1 mod (p-1)(q-1) かつ
　　　　　　xed≡x 　mod　 ｎ
n,ｄが公開鍵、eが秘密鍵となる

12. x(q-1)(p-1)≡ 1 mod pq ≡1 mod n
数学的根拠
x(p-1)を考える
x(p-1)(q-1)≡1 mod q
x(q-1)を考える
x(q-1)(p-1)≡ 1 mod p
x(q-1)(p-1)≡ 1 mod pq　≡1 mod n

13. 数学的根拠 ed ≡ 1 mod Φ(n) ≡ 1 mod Φ(p)Φ(q) であるから ed=1 +f(p-1)(q-1)
xed=xxf(p-1)(q-1)
xed ≡ x mod n

14. 暗号化 AがBに暗号文を送る場合 aを暗号化するべき数 AはBの公開鍵ｄ、ｎを使い b=ad mod n を計算する（暗号化)
　　を計算する（暗号化)
・bを相手に伝える

15. 複合化
BはAから受け取った暗号文を複合する場合 Bは自分の秘密eを用い ｂe を計算する(複合化） be=(ad)e=ade＝a mod n≡a

16. RSA暗号の基礎
b,nを知っているだけでは複合化に必要なdを知るのは困難
nを素因数分解する必要がある
実際には、複数の素数の積が使われる

17. 素因数分解の困難さ
2009年 232桁 768bit RSA 300桁 1024bit

18. 参考文献・URL 暗号解読 サイモン・シン 新潮出版 ISBN4-10-539302
暗号解読　サイモン・シン　新潮出版
ISBN ・