1. Název školy Střední škola hotelnictví, gastronomie a služeb, Dlouhá 6, Litoměřice AutorMgr. Milena Procházková PředmětMatematika Tematický celekKomplexní čísla TémaMocniny komplexních čísel Klíčová slovaMocnina imaginárního čísla, mocnina komplexního čísla Druh učebního materiálu prezentace Metodický pokyn prezentace je určena jako výklad do hodiny i jako materiál k samostudiu Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora

2. KOMPLEXNÍ ČÍSLA MOCNINY IMAGINÁRNÍCH ČÍSEL, KOMPLEXNÍCH ČÍSEL

3. MOCNINY IMAGINÁRNÍCH ČÍSEL ii2i2 i3i3 i4i4 i5i5 i6i6 i7i7 i8i8 i9i9 i 10 i 11 i 12 i 13 i-i1i-i1i-i1i Obecně:i 4k = 1 i 4k+1 = i= i 4k ∙ i = 1 ∙ i = i i 4k+2 = -1= i 4k ∙ i 2 = 1 ∙ (-1) = -1 I 4k+3 = -i= i 4k ∙ i 3 = 1 ∙ (-i) = -i

4. a)1 + i + i 2 + i 3 + i 4 = b)1 + i 2 + i 4 + i 6 + i 8 + i 10 = c) 1 + i 3 + i 5 + i 7 + i 9 + i 11 = d) i ∙ i 2 ∙ i 3 ∙ i 4 ∙ i 5 ∙ i 6 ∙ i 7 ∙ i 8 ∙ i 9 ∙ i 10 = e)-6i 3 + 5i 7 – i 12 – 4i 86 = f) Vypočtěte: 1 0 1 – i -i-i 3 + i

5. MOCNINY KOMPLEXNÍHO ČÍSLA (3 + 2i) 2 =9 + 12i + 4i 2 = (2 – i) 3 =8 – 12i + 6i 2 – i 3 = (2 + i) 4 =[(2 + i) 2 ] 2 =(4 + 4i + i 2 ) 2 =(3 + 4i) 2 = = 9 + 24i + 16i 2 =-7 + 24i 5 + 12i 2 – 11i Umocňování komplexních čísel je jednodušší než umocňování dvojčlenů, kvůli rovnosti i 2 = -1 je výsledkem vždy „dvojčlen“.

6. Vypočtěte: a)(1 – i) 2 = b)(1 – i) 3 = c)(1 – i) 4 = d)(-5 +7i) 2 = e)(4 + i) 3 = f)(-2 – 8i) 2 = g)(4 – 3i) 2 = -2i -2 -4i -4 -24 – 70i 52 + 47i -60 + 32i 7 – 24i

7. Využití vzorce (a – b)(a + b) = a 2 – b 2 a)(3 + 2i)(3 – 2i) = 9 – 4i 2 = 9 + 4 = 13 b)(-6 – 4i)(-6 + 4i) = c) d) e) 52 71 6 17 čísla (a + bi) a (a – bi) se nazývají komplexně sdružená  výsledek jejich součinu je vždy R číslo

8. ZDROJE: HUDCOVÁ, M.; KUBIČÍKOVÁ, L: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2003. 415 s. ISBN 80-7196-165-5. PETÁKOVÁ, J.: Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2005. 287 s. ISBN 80-7196-099-3 CALDA,E.: Matematika pro gymnázia – Komplexní čísla. Dotisk 3. vydání. Praha: Prometheus, 2003. 234 s. ISBN 80-7196-187-6 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK S.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU, 2. část. Dotisk 3. upraveného vydání. Praha: Prometheus, 2005. 479 s. ISBN 80-7196-012-8