1. 机电耦合系数 electro-mechanical coupling factor
一般情况下的压电方程组
机电耦合因子

2. 一般情况下的压电方程组
在上节中以z切割的钛酸钡晶片为例，分别讨论了压电方程组以及各常数之间的关系。下面将进一步给出一般情况下的压电方程组以及各常数之间的关系。虽然一般情况下的压电方程组比较复杂，但是处理方法以及各常数之间的关系，基本上与节中一致。所以这里只给出结果，不作详细地重复讨论。

3. 第一类压电方程组（Xj，En）

4. 第二类压电方程组（xi，En）

5. 第三类压电方程组（Xj，Dm）

6. 第四类压电方程组（xi，Dm）

7. （1）表中i、j=1、2、3、4、5、6，m、n=1、2、3；
（2）表中dt矩阵是d矩阵的转置矩阵，et、gt和ht是e、g和h的转置矩阵。
（3）表中短路弹性柔顺常数sEij=(xi/Xj)E为短路时由于应力分量Xj变化引起应变分量xi的变化与应力分量Xj的变化之比。

8. 压电常数dni=(xi/En)X =(Dn/Xi)E为机械自由时由于电场分量En变化引起应变分量xi的变化与电场分量En的变化之比；或者短路时，由于应力分量Xi变化引起电位移分量Dn的变化与应力分量Xi的变化之比。介电常数Xmn=(Dm/En)X为机械自由时，由于电场分量En变化引起电位移分量Dn的变化与电场分量En的变化之比。其它常数与此类似。

9. 压电方程组中各常数之间的关系
介电常数与压电常数之间的关系

10. 压电方程组中各常数之间的关系
弹性常数与压电常数之间的关系

11. 各类压电常数之间的关系

12. 举例说明: 第一类压电方程组分量表达式

13. 每个方程又包括九项，前六项与应力有关，后三项与电场强度有关。
可见压电方程组共包括九个方程式，
前六个称为弹性方程，
后三个称为介电方程。
每个方程又包括九项，前六项与应力有关，后三项与电场强度有关。

14. 第一类压电方程组的矩阵形式为：
弹性方程部分

15. 第一类压电方程组的矩阵形式为：
介电方程部分

16. 可见dt矩阵为六行三列，d矩阵三行六列。dt是d的转置矩阵（或称易位矩阵）。d矩阵的行与列互换就成为dt矩阵。其余三类压电方程组的情况与（4-27）、（4-28）和（4-29）式类似，这里不再一一列出。在压电晶体中，除去属于三斜晶系的压电晶体外，其它晶系的对称性较高，独立的弹性常数、介电常数和压电常数随着对称性程度增高而相应减少，压电方程组也相对应简化。

17. 几种典型晶体的压电方程组 实用化晶体： 石英:属32点群 钛酸钡:属4mm点群 铌酸锂和钽酸锂:属3m点群

18. 钛酸钡晶体的第一类方程组

19. 分量形式为

20. 铌酸锂和钽酸锂的第一类方程组

21. 分量形式为

22. 压电陶瓷的第一类方程组

23. 写成为分量为

24. 几点注意 在这里，这四类压电方程组是作为根据实验结果而得到的，但是从热力学理论也可以严格地导出这四类压电方程组。
在本章中讨论这四类压电方程组时，并没有考虑压电晶体与工作环境（例如空气）交换热量问题。因为压电体工作时机械能与电能之间转换过程是很快的，所以可以近似认为转换过程中与工作环境无热量交换。就是说压电方程组是在绝热过程中建立的。

25. 关于单位问题。
压电方程组中各物理量的单位，在实际应用中，常用MKS单位制，因此这里中也采用MKS单位制。参考资料中也有采用CGS单位制的。为了便于换算，在表4-6中给出了MKS单位制与CGS单位制之间的换算因子。

26. 压电方程组是分析讨论压电元件性能的根据，在大多数情况下，是从第一类压电方程组出发，其次是第三类方程组。至于第二类和第四类压电方程组，往往只在某一个方向的应变分量远大于其它应变分量的情况下，才被选用（例如，在细长杆压电元件以及利用厚度振动模的压电元件中，有时就选用第二类和第四类压电方程组）。

27. 机电耦合系数 Electro-mechanical coupling factor
前面已经引入了介电常数、弹性常数和压电常数来描写材料的压电性质，但是在实际应用上，还使用另一个衡量元件压电性质好坏的重要物理量—机电耦合系数（也称压电耦合因子）。例如，压电滤波器的频率宽度、压电变压器的升压比等等都直接与机电耦合系数有关。

28. 所谓“机电耦合系数”就是指压电材料中与压电效应相联系的相互作用强度（也称压电能密度）与弹性能密度和介电能密度的几何平均值之比。用数学式表示为:
（4-37）

29. UI为相互作用能密度，UM为弹性能密度， UE为介电能密度， 为弹性能密度和介电能密度的几何平均值。
式中k代表机电耦合系数，
UI为相互作用能密度，UM为弹性能密度，
UE为介电能密度， 为弹性能密度和介电能密度的几何平均值。

30. 因为压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数都是描写材料压电性能的物理量，因此机电耦合系数与这些常数之间存在一定的关系。这个关系可通过压电材料的内能以及机电耦合系数的定义（4-37）式而导出。

31. 压电晶体的内能与应力、应变、电位移和电场强度之间的一般关系为:
（4-38）
式中U为压电晶体的内能。

32. 如果要得到某个压电晶体的内能表达式，将该晶体的压电方程组代入到内能表达式（4-38）后，即可得到体系的内能U。实际上常用的压电元件都是采用沿晶体的某个方向切下的晶片，例如薄长条片、薄圆片或细长杆等都具有较简单的形状，这样的压电元件的内能表示式也比较简单。

33. 求出内能表示式后，再代入到机电耦合系数表达式（4-37），即得到相应的机电耦合系数k。 举例如下： 薄长条片的机电耦合系数;
细长杆的机电耦合系数;
平面机电耦合系数;
厚度切变机电耦合系数;

34. 薄长条片的机电耦合系数
设为z切割晶片，如图4-17所示，若晶片受到沿x方向的应力X1与沿z 方向的电场强度E3 的作用，其它X2、X3、X4、X5、X6、E1、E2皆等于零，在此情况下，晶片的内能表示式为：

35. 图4-17 薄长条片压电晶片示意图

36. 选X、E为自变量，则晶体的第一类压电方程组为，

37. 将上式代入（4-39）式得到晶片的内能表示式为：
式中：sE11X12/2为晶片的弹性能密度UM；X33E32/2为晶片的介电能密度UE；d31E3X1/2为与压电效应有关的相互作用能密度UI。

38. 将这些结果代入到（4-37）式即得晶片的机电耦合系数k为：即：
与元件的形状有关！

39. 式中机电耦合系数k31的前一个下标代表电场的方向是沿z 轴方向，后一个下足标代表晶片是x方向的伸缩振动。从（4-40）式可以看出长条晶片的机电耦合系数k31与压电常数d31成正比；与短路弹性柔顺常数sE11和自由介电常数X33的乘积的平方根成反比 。

40. k31的数值举例 钛酸钡晶片： d31=-34.510-12 库仑/牛顿 sE11 =8.0510-12 米2/牛顿
X33 =1688.8510-12 法拉/米
故有：k31=0.317

41. k31的数值举例 PZT-4压电陶瓷 d31 =-12310-12 库仑/牛顿 sE11 =12.310-12 米2/牛顿
X33 =13008.8510-12 法拉/米
故有：k31=0.327

42. 钛酸钡陶瓷 d31 =-7810-12 库仑/牛顿 sE11 =9.110-12 米2/牛顿
X33 =17008.8510-12 法拉/米
故有：k31=0.212
计算时已将d31中的负号省去

43. 细长杆的机电耦合系数
设细长杆的长度方向与z轴平行，电极面与z轴垂直。若杆只受到沿z轴方向的应力X3以及电场E3的作用，在此情况下，杆的内能表示式为：

44. 图4-18 细长杆压电振子示意图
选T、E为自变量，杆的第一类压电方程组为

45. 代入到（4-41）式得到杆的内能为：
故得：

46. 再代入到（4-37）式，即得细长杆的机电耦合系数为，
可见电场与形变都沿z方向的细长杆的机电耦合系数与d33成正比，与sE33X33的根方成反比。

47. k33的数值举例 钛酸钡晶片： d33=86.510-12 库仑/牛顿 sE33 =15.710-12 米2/牛顿
X33 =1688.8510-12 法拉/米
故得：k33=0.565

48. PZT-4压电陶瓷 d33=28910-12 库仑/牛顿 sE 33=15.510-12 米2/牛顿
X33 =13008.8510-12 法拉/米
故得：k33=0.70

49. 钛酸钡陶瓷 d33=19010-12 库仑/牛顿 sE33 =9.5110-12 米2/牛顿
X33 =17008.8510-12 法拉/米
故得：k33=0.50

50. 平面机电耦合系数
设所研究的晶片为z 切割的薄圆片，并有sE11=sE22，d31=d32，电极面与z轴垂直，晶片只受到应力X1与X2以及电场E3的作用。在此情况下，选X、E为自变量，则第一类压电方程组为：

51. 图4-19 薄圆片压电振子示意图

52. 考虑到薄圆片存在sE11=sE22，d31=d32等对称性，因而有X1=X2=Xp，并引入平面应变xp=x1+x2，平面压电常数dp=2d31，平面弹性柔顺常数sEp=2（sE11+sE22），利用这些关系，压电方程组可简化为：

53. X1=X2=Xp，xp=x1+x2，dp=2d31，sEp=2（sE11+sE22）即：

54. 又薄片的内能表示式为： 即：

55. 将（4-43）式代入（4-44）式可得
式中：

56. 再代入到（4-37）式，即得薄圆片的机电耦合系数为：

57. 式中kp称为平面机电耦合系数，=-sE12/sE11称为泊松比，可见平面机电耦合系数kp > k31。应该注意，因为导出（4-45）式时曾用到sE11=sE22，d31=d32等对称性关系，所以（4-45）式规定的平面机电耦合系数适用范围为：属于四方晶系中的4、4mm点群，三方晶系中的3、3m点群，六方晶系中的6、6mm点群等晶体以及压电陶瓷。

58. kp 的数值举例 钛酸钡晶体的kp值： =-sE12/sE11=2.3510-12/8.0810-12= 0.292

59. PZT-4压电陶瓷的kp值： =4.0510-12/12.310-12=0.33 k31=0.327 故：kp =0.562

60. 钛酸钡陶瓷的kp值 =2.710-12/9.110-12=0.296 k31=0.212 故有：kp =0.358

61. 厚度切变机电耦合系数
设有压电常数d150的x切割的晶片，电极面与x轴垂直，若此晶片只受到切应力X5以及电场强度E1的作用。在此情况下选X5、E1为自变量，第一类压电方程组为：

62. 厚度切变压电振子示意图
图4-20

63. 晶片内能为:

64. 代入到（4-37）式，即得晶片的机电耦合系数为:

65. 对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的晶体，具有d150的压电晶体以及压电陶瓷（z轴为极化轴）都存在sE55=sE44，故（4-46）式可改写为

66. 对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的大多数晶体以及压电陶瓷，除了sE55=sE44外，还存在d14=d15关系。于是可得到切变机电耦合系数k14为：

67. 可见切变机电耦合系数k15和k14与d15成正比，与sE55X11平方跟成反比。 k15和k14的数值举例，钛酸钡晶体：

68. 小结 一般情况下的四类压电方程组，矩阵形式和分量形式，参量之间的关系；
机电耦合因子：定义，如何求得；薄长条片的机电耦合系数，细长杆的机电耦合系数，平面机电耦合系数，厚度切变机电耦合系数。