1. Directed Graphs (Yonlu Graflar)
Directed graph (digraph) G=(V,E)
V: vertices (nodes)
E: edges (directed edges,arcs) 1 2 4 3
Algoritma Analizi

2. path
Bir digraftaki path bir dizi vertices den olusur oyleki bir birini izleyen iki vertex arasinda bir edge var
v1->v2->v3 ……… ->vn-1->vn
vertex v1 den vertex vn e bir path (yol)
Length of path (yolun uzunlugu)
Path uzerindeki arc larin sayisi
v den v ye (v bir vertex) olan yolun uzunlugu 0 dir
Simple path:
Eger path in uzerindeki tum vertices (ilk ve son vertex ler haric) farkli ise
Algoritma Analizi

3. Labeled Digraph
Bazen graph in vertices veya arc larina faydali bilgiler (label) eklemek mumkun
Label isim, maliyet veya faydali herhangi bir bilgi olabilir.
Algoritma Analizi

4. Labeled Digraph 1 2 3 4 b a
Algoritma Analizi

5. Directed Graph larin Temsili
Digraph lari temsil etmek icin cesitli data structure lar kullanilabilir
Secilen data structure arc lara ve vertices lara uygulanan operationlara baglidir
Adjacency Matrix
Adjacency List
Algoritma Analizi

6. Adjacency Matrix G = (V,E), V={1,2,3, ………n} G nin Adjacency Matrix A
A nxn boyutlu bir boolean matrix
A[i,j] = true ancak ve ancak vi den vj ye bir arc var
Bazen true 1 le false 0 ile temsil edilir
Labeled Adjacency Matrix
A[i,j] vi den vj giden arc in label ini gosterir
Algoritma Analizi

7. 1 2 3 4 b a 1 2 3 4 a b
Digraph
Adjacency Matrix
Algoritma Analizi

8. Adjacency List Adjacency matrix kullaniminin dezavantaji
storage
Matrix uzerinde islem
O(n) arc a sahip digraphlar icin O(n2) den daha iyi performansli algoritmalarin elde edilmesini imkansizlastirir
Bu dezavantajlari gidermek icin Adjacency List kullanilabilir
Algoritma Analizi

9. Adjacency List G = (V,E) HEAD Storage Dezavantaj
HEAD[i] vertex i icin Adjacency List e bir pointer
Storage
Vertices lerin sayi artisi arc larin sayisiyle orantilidir
Dezavantaj
Vertex i den vertex j ye bir arc olup olmadigini tespit etmek icin O(n) zaman gerekli
Algoritma Analizi

10. Adjacency List 1 2 4 3 2 1 3 2 4 3 2 4 3
Algoritma Analizi

11. Single Source Shortest Paths Problem
Yaygin path finding problem (directed graflar icin)
G = (V,E)
Her bir arc bir negative olmayan bir label a sahip (cost fonksiyon)
Bir vertex source olarak belirlenir
Problem: Verilen source dan diger her bir vertex e olan en kisa yolun cost ini hesaplamak
Algoritma Analizi

12. Dijkstra nin shortest path algorithm
Procedure Dijkstra;
# vertex 1 den diger vertexlere olan en kisa yolun cost ini # hesaplar
Begin
(1) S:={1}
(2) for i:=2 to n do
(3) D[i]:=C[1,i]; # initialize D
(4) for i:= 1 to n-1 do begin
(5) choose a vertex w in V-S such that D[w] is
a minimum
(6) add w to S;
(7) for each vertex v in V-S do
(8) D[v]:= min(D[v],D[w]+C[w,v])
end
Algoritma Analizi

13. Dijkstra devam… G = (V,E) V = {1,2,3, ……,n} ve vertex 1 source
C iki boyutlu bir dizi ve C[i,j] vertex i den vertex j ye gitmek icin maliyet (cost). Eger vertex i den vertex j ye bir arc yoksa C[i,j] = (herhangi bir maliyetten cok daha buyuk bir sayi)
Her bir adimda D[i] vertex i ye olan en kisa yolun uzunlugunu gosterir
Algoritma Analizi

14. Ornek 1 10 100 2 30 5 50 10 60 3 4 20 Iteration S W D[2] D[3] D[4]
Initial
{1} - 10 30
100 1
{1,2} 2 60
{1,2,4} 4 50 90 3
{1,2,4,3}
{1,2,4,3,5} 5 1 10
100 2 30 5 50 10 60 3 4 20
Algoritma Analizi

15. Dijkstra’s Algorithm Greedy Algorithm
Local olarak en iyi olan sey global olarak da en iyi dir.
Dijkstra’s shortest path algorithm bir greedy algoritmadir.
Algoritma Analizi

16. Running Time of Dijkstra’s Algorithm
Eger adjacency matrix kullanirsak
(7) ve (8) O(n) zaman alir ve n-1 kere execute edilir. Dolaysisiyle toplam zaman O(n2) olur
Eger e n2 den oldukca kucukse, digraph i temsil icin adjacency list ve V-S kumesindeki vertices leri temsil etmek icin partially ordered tree kullanmak faydali olur.
(7) ve (8), w nin adjacency list i taranarak ve priority queue deki mesafelerin guncellenmesiyle saglanir. Toplam olarak e tane guncelleme olur ve herbiri O(logn) zaman alir.
Toplam zaman O(elogn) olur
Algoritma Analizi

17. All-Pairs Shortest Paths Problem (APSP)
Directed Graph G=(V,E)
Her bir sirali cift vertices (v,w) icin vertex v den vertex w olan en kisa yolun mesafesini hesapla
Dijkstra’s algoritmasi her bir vertex source kabul edilerek APSP problem cozulebilir (algoritma n kere cagrilir)
Ikinci cozum
Floyd’s Algorithm
Algoritma Analizi

18. Floyd’s Algorithm procedure Floyd (var A: array[1..n, 1..n] of real,
C: array[1..n, 1..n] of real)
# Floyd computes shortest path matrix A given cost matrix C
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
A[i,j] := C[i,j]
for i:= 1 to n do
A[i,i]:=0
for k:=1 to n do
if A[i,k] + A[k,j] < A[i,j] then
A[i,j]:=A[i,k] + A[k,j]
end
Algoritma Analizi

19. Ornek (Floyd’s Algorithm)1 2 3 8 5 1 2 3 8 5 1 2 3 8 5
A0[i,j]
A1[i,j] 1 2 3 8 5 1 2 3 7 5 8
A2[i,j]
A3[i,j]
Algoritma Analizi

20. Floyd’s Algorithm vs Dijkstra’s Algorithm
Her ikisi de Adjacency Matrix kullanarak
APSP problemini O(n3) zamanda cozer
Eger e, graftaki edge sayisi, n2 den oldukca kucukse, Dijkstra nin algoritmasi O(nelogn) zamanda cozum getirebilir ( O(n3) den daha iyi oldugu umulur)
Algoritma Analizi

21. En kisa yol uzerindeki vertex lerin belirlenmesi
procedure shortest (var A: array[1..n, 1..n] of real,
C: array[1..n, 1..n] of real)
# C nxn boyutunda cost matrix, A nxn boyutunda en kisa yol matrix, # P nxn boyutunda shortest path lerdeki ara vertex leri tutar
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
A[i,j] := C[i,j]
P[i,j]:=0
for i:= 1 to n do
A[i,i]:=0
for k:=1 to n do
if A[i,k] + A[k,j] < A[i,j] then {
A[i,j]:=A[i,k] + A[k,j]
P[i,j]:=k }
end
Algoritma Analizi

22. Shortest Path Printing
procedure path(i,j: integer)
begin
k:=P[i,j];
if k = 0 then
return
path(i,k)
writeln(k)
path(k,j)
end
Algoritma Analizi

23. Shortest path uzerindeki vertexler1 2 3 8 5 1 2 3
Yukaridaki digraph icin P matrix i.
Algoritma Analizi

24. Transitive Closure vertex i den vertex j ye bir yol var mi Cozum
Floyd’un algoritmasini biraz degistirerek
vertex i den vertex j ye bir yol var eger
Numarasi k-1 den buyuk olmayan vertex lerden gecen vi den vj ye bir yol var veya
Numarasi k-1 den buyuk olmayan vertexlerden gecen vi den vk ya bir yol ve numarasi k-1 den buyuk olmayan vertexlerden gecen vk dan vj ye bir yol var
# A bir boolean matriks olmak uzere
Ak[i,j]=Ak-1[i,j] || Ak-1[i,k] && Ak-1[k,j]
Algoritma Analizi

25. Transitive Closure Warshall Algorithm
procedure Warshall(var A: array[1..n,1..n] of boolean;
C: array[1..n,1..n] of boolean)
# Warshall makes A the transitive closure of C
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
A[i,j]:=C[i,j]
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
if A[i,j]=false then
A[i,j]:=A[i,k] and A[k,j]
end
Algoritma Analizi

26. Bir Digraph in Center (merkezini) bulmak
G=(V,E)
Vertex v nin eccentricity si
max { w den v ye olan minimum uzunluklu yolun uzunlugu)
W in V
G nin center i
Minimum eccentricity e sahip vertex
Algoritma Analizi

27. Ornek a b c d e 2 3 1 5 4 Center: vertex d vertex eccentricity a b 6 c8 d 5 e 7
Center: vertex d
Algoritma Analizi

28. a b c d e 2 3 1 5 4 G nin APSP cost matrix i ve nin vc ye uzakligi1 3 5 7 2 4 6 8
ve nin vc ye uzakligi
Graph G
G nin center i vd
Algoritma Analizi

29. Digraph larin Traversal i
Digraph (directed graph) larla ilgili bir cok problemlerin cozumunde yonlu graf in vertex ve arc larini sistematik bir sekilde dolasmayi gerektirir
Graph traversal
Depth-First Search
Bread-First Search
Algoritma Analizi

30. Depth-First Search (DFS)B A E G D C
Algoritma Analizi

31. Depth-First Search (DFS)B A E G D C
Algoritma Analizi

32. Depth-First Search (DFS)B A E G D C
Algoritma Analizi

33. Depth-First Search (DFS)B A E G D C
Algoritma Analizi

34. Depth-First Search (DFS)G B D A C
Algoritma Analizi

35. Depth First Search procedure dfs(v:vertex) w: vertex begin
mark[v]:=visited
for each vertex w on L[v] do
if mark[w] = unvisited then
dfs(w)
end
Algoritma Analizi

36. DFS nin Runnig Time
Her bir vertex in adjacency list ine bir kez bakilir
Vertex lerin adjacency list lerinin uzunluklari toplami e dir (graf in arc sayisi kadardir)
Dolayisle DFS algorithm O(e) dir.
Algoritma Analizi

37. Depth-First Spanning ForestB A E G D C
Algoritma Analizi

38. Depth-First Spanning ForestB A E G D C
Algoritma Analizi

39. Depth-First Spanning ForestB A E G D C
Algoritma Analizi

40. Depth-First Spanning ForestB A E G D C
Algoritma Analizi

41. Depth-First Spanning Forest
DFST 1
DFST 2 F B A E G D C
DFSP: Depth First Spanning Tree
Algoritma Analizi

42. Depth-First Spanning Forest
Tree 1
Tree 2
Edge
Type
Forward
Backward
Cross CA X DA DC FB GD GF F B A E G D C
Tree edge: Foresteki her bir edge denir
Algoritma Analizi

43. Depth-First Spanning Forest in Bulunmasi
for v:=1 to n do
mark[v]:=unvisited
if mark[v]=unvisited then
dfs(v)
Algoritma Analizi

44. Directed Acyclic Graphs
Directed Acyclic Grapg (DAC)
Cycle a sahip olmayan directed graph
Tree lerden daha genel fakat gelisiguzel graf lardan daha az genel
Algoritma Analizi

45. A A B C D E A B C D E B C D E Tree Cycle sahip digraph DAG
Algoritma Analizi

46. DAG
DAG lar ortak subexpressionlara sahip aritmetik ifadelerin syntactic yapilarini gosterimde kullanilabilirler * + * * + c + + a b e f
((a+b)*c+((a+b)+e)*(e+f))*((a+b)*c) nin DAG ‘i
Algoritma Analizi

47. Acyclic Testi
Verilen bir directed graph G nin acyclic (bir cycle icerip icermediginin) testi
DFS(depth first search) kullanilarak digrapin acyclic olup olmadigi karar verilebilir
Eger DFS sirasinda bir back edge e rastlanilirsa graph in bir cycle a sahip oldugu anlasilir
Algoritma Analizi

48. Her bir cycle bir back arc icerirv u
Algoritma Analizi

49. Topological Sort Buyuk capli proje bir dizi alt projelere bolunur
Bu alt projeler belli bir siraya gore tamamlanmali
Ornegin alt proje C baslamasi A ve B nin tamamlanmasindan once olamaz
DAG bu tip durumlari modellemek icin kullanilabilir
Algoritma Analizi

50. Topological Sort C1 C3 C5 C2 C4
Topological Sort: DAG in vertices lerine linear ordering olacak sekilde sirala oyleki eger vertex i den vertex j ye bir arc varsa, linear ordering de i, j den once gelir. Yukaridaki DAG a gore C1,C2,C3,C4,C5 bir linear ordering dir.
Algoritma Analizi

51. Topological Sort procedure topsort(v:vertex)
# print vertices accessible from v in reverse topological order begin
mark[v]:=visited for each vertex w on L[v] do if mark[w] = unvisited then topsort(w)
writeln(v) end
Algoritma Analizi

52. Strong Components Strongly connected component (SCC):
Bir directed grafin SCC i, vertex lerden olusan maximal bir set oyleki bu sette bulunan herhangi iki farkli vertex arasinda yonlu bir yol var
G = (V,E) bir digraf. V equivalance class lara bolunebilir Vi, 1<=i<=r, oyleki v ve w equivalent oyleki v den w ve w den v ye yollar var
Gi=(Vi,Ei) lere strong components (strongly connected components) denir
Strongly connected graph: Sadece bir tane strong componente sahip digraph
Algoritma Analizi

53. Ornek d a b c a b d c digraph Digraph in strong componetleri
Algoritma Analizi

54. ornek A F B C D G E A F B C D G E Digrah Strong Components ABDF EG C
Condensation Graph
(reduced graph)
Algoritma Analizi

55. Strongly connected componentlerin bulunmasi
# verilen bir digraph G icin SCC lerin bulunmasi
1. G ye depth-first search uygula ve vertex leri recursive call larin bitis sirasina gore numaralandir 2. G deki arc larin yonlerini ters cevirmek suretiyle yeni bir graph Gr bul.
3. Gr uzerinde 1. adimda elde edilen en yuksek numarali vertex den baslamak suretiyle depth-firstsearh uygula. Eger depth-first search butun vertex lere erisemezse , sonraki depth-first search i kalan vertex ler icerisinden en kucuk numarali vertex den baslat 4. Bulunan spanning foresteki her bir tree G nin bir strongly connected componentidir
Algoritma Analizi

56. ornek a b c d 3 2 1 1. adim 4 d a b c digraph 4 a b 3 a 4 b 1 2 c d c
Algoritma Analizi

57. Ornek Digraph G Digraph Gr Birinci SC nin bulunmasiF B C D G E E
GAF BDC A D B G F C E
Digraph G
Digraph Gr A D A D B G B G F C E F C E
Birinci SC nin bulunmasi
3 tane SC nin bulunmasi
Algoritma Analizi