1. Dobro mišljenje, ciljevi obrazovanja i filozofska logika
Zaključak
Dobro mišljenje, ciljevi obrazovanja i filozofska logika

2. Sastav zaključka Zaključak se sastoji od:
Premisa ili premise (pretpostavke)
Konkluzije (zaključni sud)

3. Željeno svojstvo
Valjanost
Ispravnost

4. Dobro mišljenje i obrazovanje
Sedam slobodnih umijeća (lat. artes liberales, eng. Liberal arts)
Osnova antičkog i srednjovjekovnog curriculum-a
Trivium: gramatika, logika, retorika
Quadrivium: geometrija, aritmetika, astronomija i muzika.
Razlikovanje između slobodnih i stručnih umijeća poteklo je u Staroj Grčkoj: slobodna umijeća omogućuju razvoj intelektualnih i moralnih vrlina pa su ciljevi po sebi, stručna umijeća su korisna pa su sredstva za druge ciljeve.
U srednjovjekovnom obrazovanju završetkom trivija stjecao se bakalaureatski stuapnj, završetkom kvadrivija – magistarski.

5. Slobodna ili tehnička umijeća?
U postindustrijskom društvu s njegovim gospodarstvom znanja i postmodernom kulturom – ponovo u žarište ulaze umijeća mišljenja.
Pitanje: postaju li “slobodna umijeća” tehnička?
Primjeri na različitim razinama obrazovanja
Nastava mišljenja
Metakognitivna nastava
Kritičko mišljenje
Filozofija za djecu
Vještine mišljenja višega reda …

6. Ispravno mišljenje? [Alice] A kako znaš da si luda?
[Mačka] Kao prvo, pas nije lud, zar ne?
[Alice] Mislim da je tako.
[Mačka] E pa vidiš, pas reži kad je ljut i maše repom kad je zadovoljan. A ja režim kad sam zadovoljna i mašem repom kad sam ljuta. Dakle, ja sam luda.
[Alice] Ja to zovem predenjem a ne režanjem.
[Mačka] Zovi kako hoćeš.

7. Bezvladavinski diskurs?
«Molim Vas, biste li mi rekli –» započne Alice, plaho gledajući Crvenu Kraljicu.
«Govori samo kada ti se netko obrati!» oštro je presječe Kraljica.
«Ali kada bi se svi pridržavali toga pravila,» reče Alice, inače uvijek spremna za pokoji zaključak, «i kada biste govorili samo kada vam se netko obrati, i kada bi druga osoba čekala na vas da započnete, nitko ne bi nikada ništa rekao, zato je to-«
(Lewis Carroll, Through the Looking Glass, str. 146)

8. Kooperativno komuniciranje?
Uzmi malo vina! Predložio je plemeniti Ožujski-Zec.
Ne vidim vino ovdje. Rekla je Alis.
Pa naravno da ga ne vidiš, kad ga nema! Pokroviteljski odvrati plemeniti Oužjski-Zec.
Ali... Kako ste mi mogli ponuditi neto čega nema? To nije pristojno. Skoro ljutito kaza Alis.
A zar je bilo pristojno kad si Ti sjela za ovaj stol iako Ti nitko nije rekao Izvoli sjesti?
Sa smiješkom odvrati plemeniti Ožujski-Zec. Nisam znala da je to Tvoj stol, reče Alice,- postavljen je za puno više osoba od tri.

9. Podjela zaključaka Deduktivni zaključci.
Strogo zaključivanje.
Primjer: matematičko zaključivanje.
Induktivno, analogijsko, kauzalno i abduktivno zaključivanje.
Više ili manje prihvatljivo ali nikada posve pouzdano zaključivanje.
Primjer: medicinska dijagnostika.

10. Logika prvog reda Izdvaja neke “logičke riječi”
Veznici (nije slučaj da…, …i…, …ili…, ako…onda…, …ako i samo ako…)
Logička konstanta (neistina, falsum)
Predikat identiteta (…je isto…)
Kvantifikatori (svi predmeti su takvi da …, neki predmeti su takvi da…)

11. Kako odrediti je li zaključak ispravan?

12. Pravila uvođenja i uklanjanja
Prirodna dedukcija

13. Prirodna dedukcija: logička teorija bez aksioma
«Najprije, njemački je matematičar Gerhard Gentzen razvio metodu Sequenzen (pravila za konzekvente), koja je bila posebno korisna za izvođenje metalogičkih rezultata o odlučivosti. Ovakvu je metodu inicirao Paul Hertz 1932, a sličnu je metodu opisao Stanislaw Jashkowski Sljedeća na redu bila je slična metoda bez aksioma – metoda "prirodne dedukcije," koja koristi samo pravila zaključivanja; ta je metoda potekla iz sugestije Bertranda Russella iz 1925 a razvili su je Quine i logičari iz SAD-e Frederick Fitch i George David Wharton Berry. Tehnika prirodne dedukcije široko se koristi u nastavi logike, iako time demonstracija metalogičkih rezultata postaje ponešto teža […]» Encyclopaedia Britannica '98

14. “Logički račun”

15. Tradicionalna i suvremena logika: neke razlike
Pitanje: Trebamo li sastaviti iscrpan katalog pravilnih oblika zaključivanja?
Tradicionalna logika: istraživanje pravilnih oblika zaključivanja.
Pokušaj izrade popis takvih pravila.
Može li se ovakav poduhvat završiti?
Kakav razvoj predviđate za takav poduhvat?

16. Osnovni zakoni mišljenja?
Gottfried Wilhelm Leibniz, ( ), njemački filozof vjerojatno slavenskog podrijetla, matematičar i državnik. Spominje se kao vodeći europski intelekt u 17. stoljeću.
Vizionarske ideje:
Gradnja općeg znanstvenog jezika i ideografskog pisma. Otkrivanje općenitih “mehanizama” mišljenja.
Osnovni principi (načela) mišljenja:
Načelo identiteta
Načelo neproturječnosti
Načelo isključenja trećeg
Načelo dostatnog razloga

17. Načelo isključenja trećega
Tertium non (est) datur
A  A
Je li riječ o osnovnom zakonu?
Semantički?
Protuprimjer. Trovrjednosna logika: 0+1=1; 1+0=1; ali ½+½= ½.
Sintaktički?
Ispitajmo!

18. Suvremena logika: dvije vrste jednostavnih koraka
«Čini se da su najistaknutija svojstva Gentzenovih sistema prirodne dedukcije (i) analiza zaključivanja do atomarnih koraka, kojima su razdvojene deduktivne uloge logičkih konstanti, i (ii) otkriće dvovrsnosti ovih atomarnih koraka, tj. otkriće uvođenja i uklanjanja, koja stoje u određenoj simetričnoj relaciji»
Jednostavni koraci
Dvije vrste jednostavnih koraka
Nova rečenica uvodi neku logičku konstantu [koristeći prethodne rečenice ili prethodni dokaz].
Nova rečenica uklanja logičku konstantu ili se oslanja na prethodne dokaze u kojima se uklanja neka logička konstanta.

19. Primjer: kategorički silogizam
Silogizam: zaključak s dvije premise.
Kategorički: premise su bezuvjetne tvrdnje.
Nekada središte logičke poduke.
Danas?

20. Primjer: disjunktivni silogizam
Jedna premisa je rastavna rečenica
Osnovni ili izvedeni oblik zaključka?

21. Novi pogled na mišljenje u 20. stoljeću
Mišljenje [spoznaja] je (barem jednim svojim dijelom) - “računanje” (kompjutacija)
Računati ::= manipulirati sa simbolima
Prirodna dedukcija
Manipulacija s rečenicama
Zaključak možemo promatrati kao “logički račun”.
Metafora se ne smije prenapregnuti. Osnovna logika, logika prvog reda nije odlučiva [neka pitanja su “neizračunljiva”]

22. Pedagoške posljedice novijih rezultata u proučavanju spoznaje
Suvremeno istraživanje spoznaje oslanja se na:
Logiku
Informatiku
Filozofiju
Lingvistiku
Matematiku
Neuroznanost
Psihologiju
Vjerojatno je u tijeku nastanak nove znanosti
Kognitivna znanost
U tijeku je i pedagoško promišljanje novih rezultata u istraživanju spoznaje.
Je li moguća “nastava” filozofije?

23. Instituti za kognitivnu znanost na vodećim sveučilištima

24. Obilježja prirodne dedukcije
«Čini se da su najistaknutija svojstva Gentzenovih sistema prirodne dedukcije (i) analiza zaključivanja do atomarnih koraka, kojima su razdvojene deduktivne uloge logičkih konstanti, i (ii) otkriće dvovrsnosti ovih atomarnih koraka, tj. otkriće uvođenja i uklanjanja, koja stoje u određenoj simetričnoj relaciji» Dag Prawitz, Ideje i rezultati teorije dokaza.
Jednostavni koraci
Dvije vrste jednostavnih koraka
Nova rečenica uvodi neku logičku konstantu koristeći prethodne rečenice
Nova rečenica uklanja logičku konstantu iz prethodne

25. Modus tollens: osnovno pravilo zaključivanja ili niz primjena osnovnih koraka?

26. Ispravnost mišljenja Izvedivost i ispravnost Valjanost i ispravnost
Ispravnost zaključka s premisama P1,…,Pn i konkluzijom C možemo dokazati ako konkluziju C izvedemo iz premisa P1,…,Pn
Valjanost i ispravnost
Neispravnost zaključka s premisama P1,…,Pn i konkluzijom C možemo dokazati ako pokažemo na situaciju u kojoj su sve premise P1,…,Pn istinite a konkluzija C neistinita.
Takve okolnosti nazivamo protuprimjerom

27. Vježba: dokazivanje da konkluzija ne slijedi
Otvorite Tarski’s World i file Bill’s Argument. U ovom zaključku se tvrdi da Između(b,a,d) slijedi iz sljedeće tri premise: Između(b,c,d), Između(a,b,d) i Lijevo(a,c). Slažete li se s time?
Otvorite novi svijet i postavite četiri bloka koja ćete označiti imenima a, b, c, i d!
Posložite blokove tako da konkluzija bude neistinita. Provjerite premise. Ako je neka premisa neistinita, preuredite blokove tako da postane istinita. Je li konkluzija i dalje neistinita? Ako nije, nastavite s pokušajima.
Ako ste uspjeli, vaš svijet je protuprimjer za ponuđeni zaključak. Time je dokazana neispravnost ovoga zaključka.

28. Boole-ovi konektivi ili istinitosno funkcionalni veznici
Boole-ova se algebra koristi u logici i teoriji skupova. U formalnom smislu, ona je matematički sustav kojega tvori skup elemenata, B, i dvije binarne operacije koje možemo označiti sa simbolima  i . Te su operacije definirane na skupu B i one zadovoljavaju sljedeće aksiome:
1.  i  su komutativne operacije. Za svaki x, y iz B, vrijedi da x  y = y  x, te x  y = y  x.
2. Svaka među operacijama  i  distribuira se nad drugom. Za svaki x, y, z iz B, vrijedi da x  (y  z) = (x  y) (x  z), te x  (y  z) = (x  y)  (x  z).
3. U skupu B postoji različiti identitetni element za svaku operaciju  i . Ti se elementi obično označavaju sa simbolima 0 i 1 kod kojih vrijedi 0 ≠ 1, te oni imaju svojstvo da 0  x = x, i 1  x = x za svaki x iz B.
4. Za svaki x iz B postoji različiti odgovarajući element kojeg nazivamo komplementom od x, obično označen s x'. S obzirom na operacije  i , element x' je takav da x  x' = 1 i x  x' = 0.

29. Boole-ova algebra
Boole-ova algebra može imati i drugi skup aksioma, no za njih se može pokazati da su ekvivalentni navedenima. Ovdje navedene aksiome izložio je Edward Huntington u Postulates for the Algebra of Logic (1904). Prvo bavljenje s ovom algebrom dolazi iz 1854 iz pera George-a Boole-a. Operacije  i  možemo označiti i s drukčijim simbolima.
Kao primjer Booleove algebre razmotrimo skup L i neka (L) označava skup svih podskupova skupa L. Drugim riječima, neka je (L) partitivni skup ( power set) skupa L. (L) zajedno s operacijom unije skupova () i operacijom presjeka skupova (), tvori jednu Boole-ovu algebru. U tom su slučaju identitetni elementi prazan skup  i skup L. Aksiom 3. postaje:   x = x i L  x =x. Aksiom 4. postaje: xx' = L i xx' = .

30. Booleova algebra propozicija
U Booleovoj originalnoj algebri elementi su bile propozicije, operacije konjunkcija i disjunkcija. U tom su slučaju identitetni elementi neistina  i istina , a operacija komplementa je negacija. Aksiom 3. postaje:   x = x i   x = x. Aksiom 4. postaje: x x =  i x  x = .
Booleova algebra propozicija i Booleova algebra skupova usko su povezane. Neka je p iskaz “Ova lopta je plava”, a neka je P skup svih predmeta za koje vrijedi da p, naime, skup svih plavih lopti. P se naziva skupom istine (truth set) za propoziciju p. Ako su P i Q skupovi istine za p i q, onda je skup istine za pq očigledno PQ, a za p  q skup istine je P  Q.

31. Fitch stil dokaza: grafičko-tekstualni dokaz
Dokaz može uključivati druge dokaze kao svoje dijelove.
Dokaz “ugniježđen” u drugom [dokazu] nazivamo njegovim pod-[dokazom].
Premise su pretpostavke koje su uvijek na snazi.
Pretpostavke na snazi: pretpostavke koje se smiju koristiti.
Zapis: iznad kratke vodoravne crte.
U koraku i smiju se koristiti:
Rečenice koje se javljaju u prethodnim koracima koje ili leže na istoj dokaznoj crti ili leže na dokaznim crtama koje su lijevo od i.
Neka pretpostavke ne smije se koristiti ako …

32. Dvije vrste pravila: prva podjela
Ponavljanje: podjela [divisio] neku cjelinu [totum divisionis] po nekom načelu [principium divisionis] razdjeljuje na njezine članove [membra divisionis].
Pravila prijelaza s rečenice ili rečenica na rečenicu.
Pravila prijelaza sa zaključka na zaključak.

33. Dvije vrste pravila: druga podjela
Pravila uklanjanja (eliminacije) pojava nekog logičkog simbola su pravila u kojima se :
“izvodi” neka rečenica bez te pojave simbola rečenice iz rečenice u koja ima pojavu tog simbola,
ili se pozivamo na
dokaz koji koristi dijelove rečenice u kojoj se javlja taj simbol
ili se pozivamo na dokaz koji koristi neku izravnu preinaku rečenice u kojoj se javlja taj simbol.
Pravila uvođenja (introdukcije) pojave nekog logičkog simbola su pravila koja rezultiraju s rečenicom koja ima pojavu tog simbola.

34. Pravila konjunkcije
[ Itro] Možemo tvrditi da P1…Pn ako smo dokazali svaki sastavni dio, od P1 do Pn
[ Elim] Možemo tvrditi bilo koji konjunkt Pi ako smo već dokazali P1…Pn

35. Vježba
Pokrenite Fitch i otvorite Conjunction 1. U traci na dnu naći ćete tri rečenice koje treba dokazati.
Postupak: (i) dodajte novi korak (add new step), (ii) upišite zadanu rečenicu ‘Tet(a)’, (iii) pritisnite pop-up Rule? meni i odaberite Elim i potom , (iv) provjerite korak. Na jednak način postupite i za sljedeće rečenice.
Otvorite Conjunction 2. Dokažite zadane rečenice!
Pokrenite Velemanov applet i izradite dokaz za xa iz premise xab

36. Pravila disjunkcije
[ Intro]Možemo tvrditi P1… Pn ako smo dokazali Pi.
Ako smo dokazali disjunkciju P1… Pn i ako smo dokazali da S slijedi iz svakog pojedinog disjunkta od P1 do Pn.
Koristimo poddokaze: dokaze koji se javljaju unutar šireg dokaza. Kao i svaki dokaz i poddokaz započinje s pretpostavkom. No za razliku od pretpostavki dokaza koje su uvijek na snazi, pretpostavka poddokaza je samo privremeno prihvaćena i na snazi je samo unutar poddokaza. S završetkom poddokaza njegova pretpostavka više nije na snazi.
Grafički: pretpostavka je na snazi u svim i samo u onim koracima koji su zdesna okomite crte uz koju je pretpostavka prislonjena i koracima koji leže na toj crti.

37. Pravila disjunkcije

38. Vježba: pravila disjunkcije
Otvorite Disjunction 1. Izradit ćemo dokaz na desnoj strani.
Za primijeniti pravilo Elim trebat će nam dva poddokaza – po jedan za svaki disjunkt. Za dodavanje poddokaza koristimo naredbu ‘New Subproof’. Dodajmo korak iza. Poddokaz zatvaramo s naredbom ‘End Subproof’. Započnimo novi poddokaz!
Kad je struktura dokaza izgrađena, prijeđimo na ispunjavanje pojedinih koraka!
Otvorite Disjunction 2. Nadopunite korake!
Dokažite “b je ili malena ili velika kocka” pomoću premisa “b je ili veliki ili maleni predmet.” i “b je kocka”.
Proučite kako se pravilo uvođenja disjunkcije koristi u dokazu tvrdnje “aab”.

39. Pravila za 
Pravilo  uvođenja omogućuje nam da uvedemo simbol kontradikcije (neistina, falsum),  ako smo ustanovili izričitu kontradikciju tako što smo dokazali i rečenicu P i rečenicu P.
U bilo kojem dokazu, te (što je važnije) u bilo kojem poddokazu, ustanovljenje kontradikcije nam omogućuje uvođenje negacije bilo koje vrste rečenica.
Dokažite “Ivica je student” pomoću premisa “Ivica je ili student ili učenik” i “Ivica nije učenik”

40. Ex falso sequitur quodlibet
Ako uspostavimo neistinu, bilo što vrijedi.
Proučimo dokaz za “b”
Pretpostavka “a je element praznog skupa” neistinita je (falsum), pa možemo dodati bilo koju tvrdnju (quodlibet)

41. Pravila negacije
Ako možemo dokazati kontradikciju  na osnovi dodatne pretpostavke P, onda možemo zaključiti P na osnovi početnih premisa.
Reductio ad absurdum (svođenje na besmisleno)
Eliminacija negacije je pravilo dvostruke negacije gledano samo u jednom smjeru.

42. Vježba Dokažimo A iz pretpostavke A. Otvorimo Negation 1.
Otvori Negation 3. Primjenimo pravilo Elim i dva pravila za . Započnimo dva poddokaza (jedan s P i jedan s Q). Itd.
Primjenimo strategiju dokazivanja iz prethodnog primjera da bismo dokazali “ab” iz premisa “abba” i “ab”.

43. Ponavljanje
Smijemo ponavljati premise, dokazane rečenice i pretpostavke koje su na snazi.
Primjenimo reiteraciju u dokazu za “aa”.

44. Strategija i taktika Proučimo što rečenice znače.
Prosudimo slijedi li konkluzija.
Ako mislimo da ne slijedi ili nismo sigurni, pokušajmo pronaći protuprimjer.
Ako mislimo da slijedi, pokušajmo izgraditi neformalni dokaz.
Ako trebamo dati formalni dokaz, oslonimo se na neformalni za njegovu izgradnju.
Možemo primijeniti taktiku kretanja unatrag.
U kretanju unatrag, provjerimo jesu li posredni ciljevi posljedice dostupnih informacija.

45. Vježba: konstrukcija unatrag
Otvorimo Strategy 1.
Glavna metoda koja nas može dovesti do konkluzije je reductio ad absurdum.
Dalje u poddokazu primjenimo eliminaciju disjunkcije.

46. Dokazi bez premisa
Dokazi bez premisa pokazuju da je konkluzija logička istina.
Primjer: (PP)
Koristimo kalkulator: ..\pilot\applet\kalkulator\pcal.html
Tautologija
Dokažimo metodom reductio ad absurdum.

47. Vježba Otvorite Conditional 1.
Dodajte korak i upišite ciljnu rečenicu.
Započnite poddokaz ispred rečenice AC. Upišite A kao pretpostavku poddokaza.
Dodajte drugi korak poddokazu i upišite C.
Postavite klizač na korak koji sadrži ciljnu rečenicu A C. Opravdajte ovaj korak pomoću pravila Intro citirajući poddokaz. Provjerite ovaj korak.
Nadopunite poddokaz. Dodajte korak između dvaju koraka poddokaza. Upišite AB. opravdajte ovaj korak pomoću Intro citirajući pretpostavku poddokaza.
Pomaknite klizač na posljednji korak poddokaza. Opravdajte ovaj korak koristeći pravilo Elim, citirajući premisu i prethodni korak.
Provjerite cijeli dokaz.
Primijenimo ovaj pristup u dokazu za abcac.

48. Vježba Otvorite Conditional 2
U sljedećoj vježbi treba razdijeliti valjane i nevaljane zaključke. Za svaki valjani zaključak izgradite formalni dokaz u Fitch-u. Za svaki nevaljanom zaključku izgradite protuprimjer koristeći Tarski World. Za izgradnju protuprimjera trebat će vam rečenice u “jeziku blokova” koje odgovaraju zadanim oblicima zaključka. U tom svijetu premise moraju biti istinite a konkluzija mora biti neistinita.
?Afirmacija konzekvensa. Iz AB i B, možemo izvesti A.
?Modus tollens: Iz AB i B, možemo izvesti  A.
?Konstruktivna dilema: Iz AB, AC i BD, možemo izvesti CD.

49. Zadatak 1
Odredite sastavne rečenice u tekstu! Pokušava li tekst se tekstom iskazati koji zaključak? Ako da, utvrdite uloge rečenica i procijenite njegovu ispravnost! Ovisno o vašem odgovoru, ili izradite dokaz ili izgradite protuprimjer!
[Gilbert Harman] Apsolutni pacifizam bio bi dobro načelo kada bi ga slijedili svi. Ali ne slijede ga svi pa zato nije.
(1) Apsolutni pacifizam je dobro načelo. (2) Svi ljudi slijede apsolutni pacifizam. (3) Neki ljudi ne slijede apsolutni pacifizam. (4) Apsolutni pacifizam nije dobro načelo.
Kako se odnose 1 i 4 te 2 i 3?

50. Slijed i jezične razine
Neformalno: “ono o čemu je riječ” može biti i sama riječ.
Miš ima tri slova. Miš gricka sir. Dakle, ono što ima tri slova gricka sir.
Riječi ‘dakle’, ‘prema tome’ itd. iskazuju metajezičnu tvrdnju o dijelovima teksta: tvrdnju da jedan dio teksta (premise) obrazlaže (opravdava, ima za posljedicu…) drugi dio teksta.

51. Zadatak 2
Odredite sastavne rečenice u tekstu! Pokušava li tekst se tekstom iskazati koji zaključak? Ako da utvrdite uloge rečenica i izradite dokaz!
Palme njišu grane ako puše vjetar. Palme njišu grane. Znači, puše vjetar.

52. Zadatak 3
Odredite sastavne rečenice u tekstu! Pokušava li tekst se tekstom iskazati koji zaključak? Ako da utvrdite uloge rečenica i izradite dokaz(e)!
[Jaegwon Kim] Ako je mentalno stanje identično fizičkom stanju, onda su im sva svojstva zajednička. Ali postoji jedno svojstvo, svojstvo smještenosti u prostoru, koje im nije zajedničko; naime, fizički događaji i stanja smješteni su u prostoru a mentalni događaji i stanja nisu. Stoga su mentalni događaji i stanja različiti od fizičkih.

53. Pravila za kondicional
Ako pod pretpostavkom P možemo dokazati Q, onda možemo ukloniti pretpostavku P i tvrditi PQ.
Ako smo dokazali PQ i P, onda možemo tvrditi Q

54. Bikondicional

55. Identitet Pravilo uvođenja identiteta: Refleksivnost.
Svaki je predmet identičan sebi samome.

56. Identitet Pravilo uklanjanja identiteta.
Leibnizov zakon: nerazlučivost identičnog.
Što vrijedi za predmet pod jednim njegovim imenom vrijedi i pod drugim.

57. Vježba: kritička analiza
Dokažite ‘b nije c’ koristeći premise ‘a je veće od b’ i ‘a nije veće od c’!
Dokažite ‘Clark Kent nije Superman’ koristeći premise ‘Lois Lane voli Supermena. Lois Lane ne voli Clarka Kenta’!
Nabacite hipotezu koja bi mogla objasniti rezultate vaše analize!

58. Važno otkriće filozofske logike
Za Davidsona ( ) izuzeće od važenja Leibnizovog zakona predstavlja razlikovno obilježje psihičkog rječnika.
"One glagole koji izražavaju sudne stavove kao što su vjerovanje, namjeravanje, željenje, nadanje, znanje, zapažanje, sjećanje i sl. možemo nazvati mentalnim. Takvi su glagoli obilježeni činjenicom da se javljaju u rečenicama čiji se gramatički subjekt odnosi na osobe, a upotpunjuju ih uklopljene rečenice u kojima izgleda da ne vrijede uobičajena pravila supstitucije."

59. Vježba: logička analiza i hermeneutika
Predložite načine rješavanja “paradoksa identiteta”!
[LA] Pretpostavimo da Witggenstein griješi!
[H] Što u bi u kontekstu Tractatus-a mogli značiti izrazi ‘besmisleno’ i ‘ne reći ništa’?
Grubo govoreći, reći za dvije stvari da su identične - besmisleno je, a reći za neku stvar da je sa sobom identična -- znači ne reći ništa.
Ludwig Wittgenstein (1921) Tractatus Logico-Philosophicus

60. Vježba: tumačenje
“[…] korisne su one tvrdnje o identičnosti u kojima su imenovani predmeti isti a njihova imena različita, pojam o identitetu potreban je samo zbog osobitog svojstva jezika. Kada bi naš jezik bio savršena kopija svog predmetnog područja tako da svaki predmet nema više od jednog imena, onda bi nam identitetne tvrdnje doista bile beskorisne.” [Willard Van Orman Quine ( ). Methods of Logic, 1950.]
Odnosi li se naziv ‘naš jezik’ na formalni jezik (jezik logike prvog reda)?
Kako biste odredili pojam korisnosti jezičnih izraza?
Postoji li povezanost između gornjeg navoda i Wittgensteinovog “paradoksa identiteta”?

61. Uvođenje i uklanjanje kvantifikatora
Kvantifikatori u logici prvog reda
Univerzalni, x
Egzistencijalni,x
Mogu se uzajamno definirati:
xP(x)xP(x)
xP(x)xP(x)

62. Objašnjenje Univerzalni kvantifikator je analogan konjunkciji.
Neka je skup predmeta o kojima govorimo konačan, neka svaki predmet iz tog skupa ima ime i neka ima samo jedno ime. Ako je a1,…,an popis imena, onda xP(x) znači isto što P(a1)…P(an)

63. Objašnjenje Egzistencijalni kvantifikator je analogan disjunkciji.
Neka je skup predmeta o kojima govorimo konačan, neka svaki predmet iz tog skupa ima ime i neka ima samo jedno ime. Ako je a1,…,an popis imena, onda xP(x) znači isto što P(a1)…P(an)

64. Uzajamno definiranje i DeMorganovi zakoni
(AB)AB
(AB)AB
Primjer: (Kocka(a)Kocka(b)Kocka(c)Kocka(d)Kocka(e)) Kocka(a)Kocka(b)Kocka(c)Kocka(d)Kocka(e)
xKocka(x)xKocka(x)

65. Univerzalna eliminacija ili uklanjanje univerzalnog kvantifikatora
Ako smo ustanovili da xS(x) i ako je c ime nekog predmeta iz domene na koju se odnose rečenice našeg jezika, onda možemo zaključiti da S(c).
Tradicionalni iskazi: što vrijedi za sve, vrijedi i za pojedine
Uočimo da smo polazeći od rečenice u kojoj se javlja univerzalni kvantifikator došli do rečenice u kojoj je izostavljen.

66. Egzistencijalna introdukcija ili uvođenje egzistencijalnog kvantifikatora
Ako smo ustanovili da S(c), onda možemo zaključiti da xS(x).
Neformalno: ako predmet c ima svojstvo S, onda neki predmet ima svojstvo S.
Primjer: tvrdnju xyz:x2+y2=z2 možemo dokazati pokazujući na instancu (pojedinačni slučaj) koji zadovoljava zadani uvjet: 32+42=52 itd.

67. Primjeri
Dokažite b(b) koristeći univerzalnu instancijaciju.

68. Primjer

69. Uklanjanje egzistencijalnog kvantifikatora
Uvođenje novog, privremenog imena (“Neka je c predmet koji zadovoljava S(x)”)
Ako pretpostavkom da predmet kojem smo dodijelili novo ime c zadovoljava uvjet S(x) možemo dokazati Q (u kojem se ne javlja c), onda možemo zaključiti da Q.

70. Primjer

71. Uvođenje univerzalnog kvantifikatora
Ako za proizvoljni predmet kojemu smo dodijelili ime c možemo dokazati P(c), onda možemo zaključiti xP(x).
U varijanti kondicionalnog dokaza: ako pod pretpostavkom da P(c) vrijedi za proizvoljni predmet c možemo dokazati da Q(c), onda možemo zaključiti x(P(x)Q(x)).
Usporedimo uvođenje novog imena kod egzistencijalne eliminacije i univerzalne introdukcije.

72. Pravila prijelaza sa zaključka na zaključak
Egzistencijalna eliminacija i univerzalna introdukcija.
Uvođenje imena “proizvoljnog” predmeta.
Ime ‘c’ ne javlja se u “izvedenim” zaključcima.

73. Primjer

74. Vježba Otvorite Quantifier Strategy 1
Koristeći Velleman-ov applet dokažimo da niti jedan skup nema za elemente sve svoje podskupove.