1. فصل دوم Context-Free Languages
نظریه زبان ها و ماشین ها
فصل دوم
Context-Free Languages
دانشگاه صنعتی شریف
پاییز 86

2. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Table Of Content
Context-Free Grammars
Pushdown Automata
Non-Context-Free Languages
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

3. Context-Free Grammars
A collection of substitution rules (production)
Each rule → A line in the grammar
Each line → A variable, an arrow, a string
The string → variables and terminals
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

4. Context-Free Grammars (Example)
An Example: (G1)
Three rules
Variables: A,B
Start Variable: A
Terminals: 0,1,#
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

5. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Derivation
Generating the strings of the language:
G1:
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

6. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Parse Tree
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

7. Context-Free Language
All Strings generated in this way
L(G1) :
G2 (describes a fragment of the English language):
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

8. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
A Derivation Example
Derivation of the sentence “a boy sees” in G2
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

9. Context-Free Language (Formal Definition)
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

10. Context-Free Language (Formal Definition)
u derives v
The language of the grammar:
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

11. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Examples
G3:
R (Set of Rules):
Strings such as: abab, aaabbb, aababb
If: a→( and b →), then: L(G3) → language of all strings of properly nested parentheses
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

12. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Examples
G4: V: Σ:
R (Set of Rules):
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

13. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Examples (G4)
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

14. Designing Context-Free Grammars
Break the CFL into simpler pieces, if possible
Construct grammar for each piece
Combine the rules and the new rule S→S1|S2|…|Sk, where the Si are the start variables for the individual grammars
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

15. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Example
Language: :
Add the rule: to give the grammar:
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

16. Designing Context-Free Grammars
Any DFA can be converted to an equivalent CFG
Make a variable Ri for each state qi
Add the rule , if
Add the rule , if qi is an accept state
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

17. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Ambiguity
When a grammar can generate the same string in different ways
Undesirable for applications such as programming languages
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

18. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Example
This grammar generates the string ambiguously
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

19. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Ambiguity
Leftmost derivation: at every step, the leftmost remaining variable is replaced.
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

20. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
CHOMSKEY NORMAL FORM
Any context-free language is generated by a context-free grammar in chomskey normal form.
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

21. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Example
Step 1: (make a new start variable)
Step 2: Remove ε rules B→ε , shown on the left and A→ε , shown on the right
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

22. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Example (cont.)
Step 3a: Remove unit rules S→S, shown on the left and S0→S, shown on the right
Step 3b: Remove unit rules A→B and A→S
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

23. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Example (cont.)
Step 4: convert the remaining rules into the proper form by adding variables and rules
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

24. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
PUSHDOWN AUTOMATA
Like nondeterministic finite automata, with an extra component: stack
The stack provides additional memory
Pushdown automata are equivalent in power to context-free
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

25. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
PUSHDOWN AUTOMATA
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

26. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
PUSHDOWN AUTOMATA
Push: Writing a symbol on the stack
Pop: Removing a symbol
Recognizes {0n1n|n≥0}
As each 0 is read from the input, push it onto the stack.
Pop a 0 off the stack for each 1 read.
Reading the input is finished exactly when the stack becomes empty→Accept
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

27. PUSHDOWN AUTOMATA (formal definition)
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

28. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Example
L={0n1n|n≥0}
Q={q1,q2,q3,q4}
Σ={0,1}
Γ={0,$}
F={q1,q4} δ:
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

29. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Example (cont.)
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

30. Equivalence with context-free grammars
A language is context free if and only if some pushdown automaton recognizes it.
Proof Idea: Let A be a CFL. Show how to convert the A’s CFG, G into an equivalent PDA, P.
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

31. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Proof
Any terminal symbols appearing before the first variable are matched with input.
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

32. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Proof
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

33. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Proof (cont.)
(r,u)∈δ(q,a,s)→When q is the state of the automaton, a is the next input symbol, and s is on the top of the stack, push the string u onto the stack and go on to the state r.
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

34. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Proof (cont.)
Q={qstart,qloop,qaccept} E
Step 1: δ(qstart,ε,ε)={(qloop,S$)}
Step 2:
(a) δ(qloop,ε,A)={(qloop,w)|where A→w is a rule}
(b) δ(qloop,a,a)={(qloop,ε)}
(c) δ(qloop,ε,$)={(qaccept,ε)}
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

35. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Proof (cont.)
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

36. Relationship of the regular and context-free languages
Every regular language is context-free.
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

37. NON-CONTEXT-FREE LANGUAGES
Pumping Lemma for context-free languages:
If A is a context-free language, then there is a number p (the pumping length) where, if s is any string in A of length at least p, then s may be divided into five pieces s=uvxyz satisfying the conditions:
For each i≥0, uvixyiz∈A
|vy|>0
|vxy|≤p
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

38. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Example
B={anbncn|n≥0}
Assume that B is a CFL and p is the pumping length.
s=apbpcp: a member of B and of length at least p
We show that it can not be pumped
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

39. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
Example (cont.)
s=uvxyz
Condition1
v and y contain one type pf symbol→
uv2xy2z cannot contain equal number of a’s, b’s and c’s.
Either v or y contain more than one type of symbol→ uv2xy2z cannot contain a’s, b’s and c’s in the correct order.
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

40. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف
End of chapter 2 
پاییز 86
نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف