1. Arvutisüsteemide instituut 2018
ISS0010 Süsteemiteooria Praktikum #2: Pöördpendli modelleerimine ja juhtimine
Arvutisüsteemide instituut 2018

2. Pöördpendli mudel A-Labis
Source: A-Lab, 2014,

3. Pöördpendli lihtsustatud mudel
Pendli nurk [rad]
Varda mass [kg]
Kaugus varda raskuskeskmeni [m]
Käru mass [kg]
Käru asukoht [m]
Liikumisjõud [N]

4. Pöördpendli lihtsustatud matemaatiline mudel
Lineariseerimine

5. Pöördpendli lihtsustatud matemaatiline mudel (jätkub)
Avaldame pendli nurkkiirenduse ja käru kiirenduse seoseid lineariseeritud diferentsiaalvõrrandite süsteemina:
Lineariseeritud süsteemi viga:

6. Pöördpendli lihtsustatud matemaatiline mudel (jätkub)
Meil on vaja teada ka pendli nurkkiiruse ja käru kiiruse dünaamikat, seega:
Tautoloogia?
Tautoloogia?

7. Pöördpendli lihtsustatud matemaatiline mudel (jätkub)
Teeme teisenduse:
Uus olekumudel:

8. Pöördpendli lihtsustatud matemaatiline mudel (jätkub)
Olekumudeli maatriksid:

9. Väljundite maatriksi valik
Kui tegemist on reaalse süsteemiga, mille olekud on füüsiliselt mõõdetavad, võib maatriks C olla ühikmaatriks (identity matrix).
Kui mõnda olekut ei ole võimalik otseselt mõõta, võib üldjuhul seda kuidagi taastada teistest olekutest (näiteks, kasutades olekutaastajat).

10. Väljundite maatriksi valik (jätkub)
Antud juhul oletame, et kõik olekud on mõõdetavad. Seega, valime maatriks C selliselt, et meil oleks 4 väljundit:
Maatriks D on nullide maatriks.

11. Süsteemi parameetrid
Variandi nr.
M kg 
m kg 
 m
g m/s2 * 2
0.2
0.6
9.8 1
0.5 3
0.7
0.3 4
0.4 5 6 7 8
* Võib proovida süsteemi ka Kuu peal, g = 2.7*10-3

12. Süsteemi kirjeldamine MATLAB-is: Käsufaili loomine
Loome MATLAB-is käsufaili (script). Seejärel sisestame süsteemi parameetrid
%% Parameetrite initsialiseerimine
g = 9.8; % Raskuskiirendus
M = 2; % Käru mass
m = 0.2; % Varda mass
l = 0.6; % Kaugus raskuskeskmeni

13. Süsteemi kirjeldamine MATLAB-is: Maatriksite sisestamine
%% Olekumudeli maatriksid
A = [ ;
g*(M+m)/(M*l) 0 0 0; ;
-m/M*g 0 0 0]
B = [0; -1/(M*l); 0; 1/M]
C = eye(4) % Ühikmaatriks
D = zeros(4,1) % Nullmaatriks

14. Süsteemi kirjeldamine MATLAB-is: Stabiilsuse ja juhitavuse kontroll
%% Olekumudeli loomine ja kontroll
sys = ss(A, B, C, D)
% Stabiilsus
eig(sys)
% Juhitavus
Qc = ctrb(sys)
rank(Qc)

15. Süsteemi kirjeldamine MATLAB-is: Süsteemi diskreetimine
Muudame meie pidevaja süsteemi diskreetseks süsteemiks:
%% Diskreetimine sammuga td
td = % 100ms
sys_d = c2d(sys, td)
% Diskreetse süsteemi stabiilsus
eig(sys_d)

16. Süsteemi kirjeldamine MATLAB-is: Süsteemi stabiliseerimine
Määrame soovitud suletud süsteemi pooluseid ja arvutame tagasiside maatriksi:
%% Tagasisidestatud süsteemi süntees
% Soovitud poolused
z1 = 0.7; z2 = 0.8;
z3 = 0.9; z4 = 0.95;
Z = [z1 z2 z3 z4]
% Tagasiside maatriksi arvutus
K = place(sys_d.a, sys_d.b, Z)

17. Süsteemi kirjeldamine MATLAB-is: Simulink-i katseskeem
Diskreetne
olekumudel
Demux (demultipleksor)

18. The path is long, but it starts here
Source: Boston Dynamics, 2018,