1. OSNOVE MEHANIKE LOMA
Vježbe 2

2. ZADATAK 1
Promatramo ploču izrađenu od čelika visoke čvrstoće oznake AISI Širina ploče je 120 mm, debljina 8 mm, a duljina 600 mm. Nedestruktivnim metodama ispitivanja ustanovljena je središnja pukotina veličine 4,2 mm kroz cijelu debljinu ploče. Ploča je opterećena vlačnim naprezanjem koje djeluje okomito na pukotinu. Potrebno je odrediti kritično naprezanje pri kojem će doći do pucanja ploče.
Dobiveno rješenje usporedite sa slučajem kada je pukotina iste veličine otkrivena na jednom rubu ploče.
Iz tablica nalazimo:
granica tečenja: σT = 1503 MPa
vlačna čvrstoća: σM = 1800 MPa
žilavost loma za ravninsko stanje deformacija: KIC = 59 MPa√m
Sukladno dimenzijama ploče, uvodimo sljedeće oznake: 2h = 120 mm
2a = 4,2 mm

3. Vlačno naprezanje u ploči uzrokovano je silom F →
Zanemarivanje pukotine? → Lom ploče pri vlačnoj čvrstoći σM = 1800 MPa
Uzimanje pukotine u obzir? → Primjena principa mehanike loma → Provjera da li se ploča oko vrha pukotine nalazi u stanju ravninske deformacije
Popravna funkcija geometrije ploče
Izračunajmo koeficijent intenziteta naprezanja →
U našem slučaju a/h = 2,1/60 = 0,035
Iz tablice s prošlih vježbi !
f (a/h) = 0,1659 ∙ 1,0 = 0,1659

4. Kritično naprezanje, ono pri kojem dolazi do loma ploče dobivamo iz sljedećeg uvjeta:
Odnos sile i naprezanja nam je već poznat od ranije →
Konačno dobivamo kritično naprezanje:
Gotovo 2,5 puta manje od kritičnog naprezanja uz zanemarivanje pukotine!

5. Promotrimo sad slučaj jednake pukotine, ali na rubu ploče.
Omjer a i h postaje 4,2 mm/120 mm, ali krajnji rezultat ostaje jednak: a/h = 0,035
Ponovno pomoću izraza iz tablica računamo popravnu funkciju, a zatim i kritičnu silu:

6. Gotovo 4 puta manje od kritičnog naprezanja uz zanemarivanje pukotine!
Jednako kao i u prošlom slučaju, iz poznate veze konačno dobivamo:
Gotovo 4 puta manje od kritičnog naprezanja uz zanemarivanje pukotine!

7. ZADATAK 2
Promatramo ploču izrađenu od aluminija oznake AL-7075-T6. Širina ploče je 90 mm, debljina 10,5 mm, a duljina 500 mm. Nedestruktivnim metodama ispitivanja ustanovljena je središnja pukotina veličine 10,4 mm kroz cijelu debljinu ploče. Ploča je opterećena vlačnom silom F. Potrebno je odrediti dopuštenu vlačnu silu ako je koeficijent sigurnosti k = 1,6.
Iz tablica nalazimo:
granica tečenja: σT = 517 MPa
žilavost loma za ravninsko stanje deformacija: KIC = 28 MPa√m
Sukladno dimenzijama ploče, uvodimo sljedeće oznake: 2h = 90 mm
2a = 10,4 mm
Dopuštenu veličinu sile odrediti ćemo iz dva uvjeta:
dopušteno naprezanje ne prelazi veličinu u odnosu na granicu tečenja,
dopuštena veličina sile ne prelazi veličinu u odnosu na nestabilnu propagaciju pukotine.

8. Dopuštena veličina sile koja odgovara koeficijentu sigurnosti prema granici tečenja:
Neto površina poprečnog presjeka
Dopuštena veličina sile koja odgovara koeficijentu sigurnosti u odnosu na nestabilnu propagaciju pukotine kod krhkog loma:
Kritična veličina sile kod koje dolazi do nestabilnog širenja pukotine
Provjera da li se ploča oko vrha pukotine nalazi u stanju ravninske deformacije

9. Izračunajmo koeficijent intenziteta naprezanja →
Popravna funkcija geometrije ploče
Izračunajmo koeficijent intenziteta naprezanja →
U našem slučaju a/h = 5,2/90 = 0,058
Iz tablice s prošlih vježbi !
f (a/h) = 0,2139
Kritično naprezanje kod kojeg će doći do loma ploče dobivamo iz uvjeta:
Dopuštena veličina sile određena uzimajući u obzir pukotinu je 1,5 puta manja od one određene uz pretpostavku da će se dogoditi tečenje materijala.

10. ZADATAK 3
U cijevi pod tlakom pojavila se uzdužna pukotina duljine 12 mm (2a = 12 mm). Cijev ima debljinu stijenke b = 8 mm te unutarnji promjer D = 800 mm. Izrađena je od legure čelika 17-4PH. Potrebno je odrediti maksimalni dopušteni tlak kod kojeg će doći do rasta (propagacije) pukotine.
Iz tablica nalazimo:
granica tečenja: σT = 1172 MPa
žilavost loma za ravninsko stanje deformacija: KIC = 48 MPa√m
Ponovimo. . .
Prema konceptu mehanike loma, nestabilni rast (propagacija) pukotine se javlja pri nivou opterećenja za koje potencijalna energija potrebna za rast pukotine premašuje rad potreban za stvaranje dodatnih površina pukotine.
Za I oblik otvaranja pukotine kakav imamo u ovom zadatku:
Za beskonačnu ploču.

11. Dakle, početni izraz poprima oblik:
Ponovimo iz Otpornosti materijala. . .
Cirkularno naprezanje u cijevi:
Slijedi:
Na kraju, kratka provjera da li je za debljinu cijevi ispunjen uvjet ravninskih deformacija:

12. ZADATAK 4
Za uzorak sa slike, pravokutnog poprečnog presjeka b/h, s rubnom pukotinom duljine a, raspona l i zadanog opterećenja treba izračunati koeficijent intenziteta naprezanja KI ako su zadane vrijednosti:
F = 35,0 kN
b = 25 mm
h = 50,8 mm
a/h = 0,2
L = 203 mm
Poznato rješenje za KI:
Popravna funkcija → tablice. . .

13. Uvrštavanje u formulu. . .oprezno. . .
Naposljetku. . .

14. ZADATAK 5
Veliko čelično tijelo naprezano je vlačnim naprezanjem od 345 MPa. Ako je žilavost materijala KIC = 44 MPa√m treba odrediti kritični polumjer unutrašnje kružne pukotine (pukotina je u potpunosti u samom tijelu, tj. niti jednim dijelom ne izbija na površinu tijela).
Opći izraz za koeficijent intenziteta naprezanja za unutrašnju kružnu pukotinu ima oblik:
U trenutku loma vrijedi KI = KIC pa vrijedi i sljedeće:

15. Eliptična i polueliptična pukotina. . .
ZADATAK 6
Za polueliptičnu rubnu pukotinu treba izračunati KI za Φ od 0˚ do 90˚ s korakom od 15˚, ako su zadane vrijednosti:
σ = 150 MPa
a = 8,0 mm
2c = 40 mm
Općenitiji slučaj od
kružne pukotine.
Eliptična i polueliptična pukotina. . .

16. Što je što u tim formulama. . .
Primjena na naš slučaj:

17. Uvrštavanjem zadanih kutova φ dobivamo rješenja, pogledajmo ih tablično i grafički. . .
Φ [˚] λs
f(Φ)
KI [MPa√m]
1,2034
0,6325
15,73 15
1,1541
0,6819
16,27 30
1,1214
0,7799
18,08 45
1,1034
0,8727
19,91 60
1,0960
0,9428
21,36 75
1,0941
0,9856
22,29 90
1,0940
1,0000
22,62
σ = 150 MPa
a = 8,0 mm
2c = 40 mm

18. ZADATAK 7
Dan je set uzoraka za ispitivanje jednake geometrije i dimenzija. Na uzorcima su zbog zamora materijala nastale pukotine raznih duljina.
Treba opisati seriju eksperimenata koji bi se izveli da se odredi funkcija f(a/h) za dane uzorke, uz pretpostavku linearne veze između koeficijenta inzenziteta naprezanja i brzine oslobađanja energije.
Poznati su nam izrazi za KI i G te njihov međusobni odnos:
→ za ravninsko naprezanje
→ za ravninsku deformaciju
Možemo pisati:

19. Jednadžba je rješiva po f(a/h):
Da bi odredili f(a/h), potrebno je odrediti popustljivost kao funkciju duljine pukotine jer su ostale vrijednosti poznate ili konstantne.
A središnja pukotina?
Ovi izrazi su izvedeni za slučaj da uzorci sadrže rubnu pukotinu. Da uzorci sadrže središnju pukotinu, postupak bi bio isti, samo što bi umjesto da koristili izraz d(2∙a).

20. ZADATAK 8
Slika prikazuje krivulju rasta središnje pukotine u ploči izrađene od aluminijske legure. Potrebno je:
Odrediti empirijske konstante materijala C i m u Parisovom i Formanovom izrazu za središnje područje rasta pukotine kada je prema slici KC = 60,8 MPa√m.
Za središnju pukotinu u ploči inicijalne duljine a0 = 25,4 mm opterećenu cikličkim naprezanjem sa σmax = 138 MPa, treba odrediti broj ciklusa nakon kojih će se duljina inicijalne pukotine povećati za Δa = 17,8 mm, odnosno kritična duljina pukotine će biti
ac = a0 + Δa = 25,4 + 17,8 = 43,2 mm.
Koeficijent asimetričnosti ciklusa naprezanja je:
Eksperimentalno utvrđivanje.
Lijevo od grafa ne dolazi do širenja pukotine (ΔK0).

21. Određivanje konstanti C i m.
Krenimo od Parisovog izraza. . .ovdje nema utjecaja asimetričnosti ciklusa.
Parisov izraz:
Sa slike očitavamo:
Očitane vrijednosti uvrštavamo u Parisov izraz i dobivamo:
Iz ta dva izraza dijeljenjem možemo dobiti da je parametar m = 2,175.
Zaključno, Parisova jednadžba ima oblik:

22. Nastavimo sa Formanovim izrazom. . .
A kad je R<0?
Formanov izraz:
Svi parametri u ovom izrazu, osim traženih, poznati su od ranije (R, KC, ΔK) pa možemo zapisati.
Iz ta dva izraza dijeljenjem možemo dobiti m = 1,776.
Zaključno, Formanova jednadžba, za R = 0, ima oblik:

23. Određivanje broja ciklusa nakon kojih će se duljina inicijalne pukotine povećati za 17,8 mm.
Krenimo od Parisovog izraza. . .
Prvo odredimo veličinu ΔK:
Kada je h >> a.
Dakle, imamo:
Slijede matematički ciklusi. . .

24. Na sličan način, prema Formanovom izrazu možemo dobiti:
Broj ciklusa da se inicijalna pukotina od 25,4 mm, prema Parisovom izrazu, poveća na kritičnu vrijednost od 43,2 mm.
Na sličan način, prema Formanovom izrazu možemo dobiti:
Dodatna literatura (uz temeljnu). . .
H. Tada, P. C. Paris, G. R. Irwin: ''The Stress Analysis of Crack Handbook'',
Third Edition, ASME Press, New York, 1997.
W. D. Pilkey: ''Formulas for Stress, Strain and Structural Matrices'',
Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2004.