1. מתמטיקה בדידה
תרגול 14

2. תורת הגרפים
גרף מורכב מקבוצת קודקודים V וקבוצת קשתות E, כאשר לכל קשת מתאימים שני קודקודים הנקראים קודקודי הקצה של הקשת.
היחס בין קשת לקודקוד הקצה שלה נקרא חילה.
דרגת קודקוד היא מספר הקשתות החלות בו. דרגה של קודקוד v מסומנת כ – d(v).
קודקוד שדרגתו 1 נקרא עלה.

3. דוגמה לגרף - סוציולוגיה
דוגמא
High school friendship
High school dating

4. דוגמה לגרף - אינטרנט
דוגמה

5. דוגמה לגרף - ביואינפורמטיקה
           
Metabolic network
דוגמה
Proteins interaction network

6. הגדרות ומשפטים גרף פשוט – אין בו קשתות מקבילות או לולאות.
גרף פשוט – אין בו קשתות מקבילות או לולאות.
גרף מכוון – לקשתות יש כיוון לא גורר בהכרח ש
גרף לא מכוון – לקשתות אין כיוון.

7. הגדרות ומשפטים (המשך) משפט: עבור גרף לא מכוון מתקיים .
משפט: עבור גרף לא מכוון מתקיים
הסבר: כל קשת נספרת פעמיים, פעם ב ופעם ב

8. תרגיל 1 (א) האם קיים גרף שדרגותיו 1,2,3,3,4,5?
פתרון: נצייר את הגרף מהקודקוד בדרגה הגבוהה ביותר – לנמוכה ביותר ...

9. תרגיל 1 (ב) האם קיים גרף שדרגותיו 1,2,3,3,4,6?
פתרון: לא, כי סכום הדרגות צריך להיות זוגי.

10. הגדרות
מרחק בין 2 קודקודים בגרף הנו המסלול הקצר ביותר ביניהם בגרף. כאשר מסלול הוא מעבר בין קודקודים דרך קשתות.
רכיב קשירות בגרף הנו תת קבוצה של קודקודים שבה יש מסלול בין כל זוג קודקודים.
גרף קשיר אם יש בו רכיב קשירות אחד.
כמה רכיבי קשירות בגרף:
פתרון: 3

11. תרגיל 2
מה המרחק הגדול ביותר בגרף קשיר עם n קודקודים?
פתרון: n-1

12. הגדרות - משלים של גרף
יהי גרף פשוט, הגרף המשלים הינו גרף על אותה קבוצת קודקודים אבל עם קבוצת קשתות המקיימת
מה הגרף המשלים של הגרף הבא:
פתרון:

13. תרגיל 3 יהי גרף פשוט, יש להוכיח כי לפחות אחד מהגרפים קשיר.
יהי גרף פשוט, יש להוכיח כי לפחות אחד מהגרפים קשיר.
הוכחה: אם הגרף G קשיר אז סיימנו. נראה שאם G לא קשיר אז קשיר.
יהיו u,v שני קודקודים בגרף נראה כי קיים מסלול בין u ל v. אם סיימנו (אחרת ).
G אינו קשיר. לכן קיים קודקוד כך שאין מסלול בין ל ובין ל .

14. תרגיל 3 (המשך) כלומר אין קשת ב G בין v לw ובין u ל w. כלומר וגם .
כלומר וגם
כלומר יש מסלול בין v ל w ב
כלומר אם G לא קשיר אז המרחק המקסימלי בין זוג קודקודים ב הוא 2.

15. הגדרה – עצים ויערות מעגל – מסלול שמתחיל בצומת מסויימת ונגמר בה.
יער – גרף חסר מעגלים.
עץ – יער קשיר.
עלה – קודקוד בדרגה 1 ביער.

16. עצים ויערות
משפט: הגרף הקשיר עם n צמתים ועם מספר מינימלי של קשתות הוא עץ. לכל עץ עם n צמתים יש n-1 קשתות.
תרגיל: מהו המספר המינימלי של קשתות, בגרף בן n קודקודים שהמרחק בין כל זוג קודקודים קטן או שווה ל 2?
פתרון: הגרף צריך להיות קשיר. כוכב עם n קודקודים ו n-1 קשתות:

17. תרגיל 4 יש להוכיח כי אם משמיטים עלה מעץ מקבלים גרף שהוא עץ.
הוכחה: השמטת עלה לא פוגעת בקשירות (כי העלה בדרגה 1) ולא פוגעת בחוסר המעגלים של הגרף.

18. תרגיל 5 יש להוכיח כי בכל עץ (בו ) יש לפחות 2 עלים.
יש להוכיח כי בכל עץ (בו ) יש לפחות 2 עלים.
יהי v קודקוד. נניח אנו מתחילים מ v ומטיילים על העץ כך שבכל שלב נעבור לקודקוד שכן מבלי לחזור על קודקוד פעמיים אזי התהליך יסתיים אחרי לכל היותר שלבים.
כיוון שבגרף אין מעגלים בסוף התהליך נגיע לקודקוד בדרגה 1.
כי לא יתכן שנגיע לקודקוד בדרגה וביקרנו את כל שכניו – זה סותר את העובדה שבגרף אין מעגלים.
כלומר מכל קודקוד ניתן להגיע לעלה.
נבחר קודקוד v נגיע ממנו לעלה u. נתחיל כעת מהעלה u ונגיע לעלה חדש w. קבלנו שני עלים u ו w.

19. תרגיל 6
נתון גרף פשוט כך שעבור כל קשת הגרף הוא עץ. יש להוכיח שכל קודקוד ב G הוא בדרגה 2 (כלומר G זה מעגל).
יהי קודקוד ב G אחרת אם נשמיט את הקשת שחלה ב v נקבל גרף לא קשיר.
תהי קשת ב G. על פי הנתון אם נשמיט את e מG נקבל עץ.
על פי התרגיל הקודם בעץ הנ"ל יש שני עלים.
עלים אלו חייבים להיות u ו v – כי השמטת הקשת e לא פוגעת בדרגות שאר הקודקודים (שדרגותיהם ).
כלומר d(u)=d(v)=2 , כיוון שאחרי השמטת הקשת דרגתם 1.

20. תרגיל 7
נתונים שני יערות , יש להוכיח כי אם אזי קיימת קשת כך שהגרף עדיין יער.
פתרון: נניח בשלילה שכל קשת , אם נוסיף אותה ל נסגור מעגל.
כל קשתות הם מרכיבי קשירות של , כלומר אין קשתות ב מרכיבי קשירות שונים של
כמות הקשתות ב גדולה או שווה לכמות הקשתות ב כלומר סתירה לכך ש
הסבר : ברכיב קשירות בגודל k ב יש k-1 קשתות לכן מספר הקשתות של
מרכיב קשירות זה k-1 .

21. הגדרות –תת-גרף מושרה, גרף שלם.
תת-גרף מושרה: אם הינו גרף, ו , אז תת-הגרף המושרה על-ידי מוגדר להיות הגרף שקבוצת קודקודיו היא , והוא מכיל את כל הקשתות ב - E ששני קודקודי הקצה שלהן ב
גרף שלם: הגרף השלם על n קודקודים מוגדר להיות גרף שבו קיימת קשת אחת לכל זוג קודקודי קצה שונים. גרף שלם על n קודקודים מסומן כ מספר הקשתות בו הוא

22. תרגיל 8
יש להראות כי בכל צביעה של קשתות בשני צבעים (למשל כחול ואדום) יהיה בו תת-גרף שקשתותיו באותו הצבע.
פתרון: יהי v קודקוד בגרף. ב – v, כבכל קודקוד אחר, חלות 5 בו קשתות, מבינהן לפחות 3 באותו הצבע (נניח שצבע זה הוא כחול).
נתבונן בשלושת הקצוות האחרים של קשתות אלו. אם יש בין שתיים מהן קשת כחולה, היא משלימה משולש כחול.
אם אין בין אף זוג קצוות קשת כחולה, הרי שעובר בין שלושה הקודקודים הללו משולש אדום.

23. הגדרה - איזומורפיזם
גרפים איזומורפים: גרפים הם איזומורפיים אם קיימת פונקצית שקילות g מ – V1 ל – V2, עבורה מתקיים: לכל זוג קודקודים a ו – b ב – V1, יש בינהם קשת ב – G1 אם ורק אם יש קשת בין g(a) ל – g(b) ב – G2 .
מהגדרת איזומורפיזם נובע בין השאר, שמספר הקשתות בגרפים איזומורפים זהה (וכמובן גם מספר הקודקודים). כמו כן לכל קודקוד a ב – V1, דרגתו ב – G1 שווה לדרגה של g(a) ב – G2 .

24. תרגיל 9
יש להוכיח כי לא קיים גרף פשוט על 6 קודקודים שאיזומורפי למשלים שלו.
פתרון: נניח בשלילה קיומו של גרף כזה. אם בגרף יש e קשתות, אז במשלים יהיו קשתות.
המספר 15 הוא אי-זוגי, ולכן לא ייתכן שבגרף ובמשלימו אותו מספר קשתות, ולכן בפרט הם לא איזומורפיים.

25. תרגיל 12 שאלה 3
יש לרשום רשום יחס רקורסיה ותנאי התחלה עבור מספר המילים בנות n אותיות מהא"ב A, B, C שלא מופיעים בהן הרצפים
א. AA
מה רע בפתרון הבא?
כלומר כל המילים
המילים החוקיות:
התו B ואחריו מילה חוקית באורך n-1.
התו C ואחריו מילה חוקית באורך n-1.
התו A ואחריו מילה חוקית באורך n-1 שלא מתחילה ב A.

26. תרגיל 12 שאלה 3 התו A ואחריו מילה חוקית באורך n-1 שלא מתחילה ב A.
כל המילים החוקיות באורך n-2 = מילים שמתחילות ב AA
נסמן ב מילה חוקית באורך n שמתחילה ב A.
בעצם קיבלנו:
אבל צריך להיות

27. תרגיל 12 שאלה 3
יש לרשום רשום יחס רקורסיה ותנאי התחלה עבור מספר המילים בנות n אותיות מהא"ב A, B, C שלא מופיעים בהן הרצפים
א. AA
פתרון אפשרי:
המילים החוקיות:
התו B ואחריו מילה חוקית באורך n-1.
התו C ואחריו מילה חוקית באורך n-1.
התוים AC ואחריהם מילה חוקית באורך n-2.
התוים AB ואחריהם מילה חוקית באורך n-2.

28. תרגיל 12 שאלה 5
מצא נוסחת רקורסיה ותנאי התחלה עבור מספר המילים הבינאריות באורך n המכילות לפחות פעם אחת את הרצף 11.
פתרון :נחפש את הקבוצה המשלימה – מילים באורך n שלא מכילות את הרצף 11
המילים החוקיות:
התו 0 ואחריו מילה חוקית באורך n-1.
התוים 10 ואחריהם מילה חוקית באורך n-2.

29. תרגיל 12 שאלה 5 (המשך)
כלומר לכן: