1. Popločavanja, kristali, kvazikristali
Franka Miriam Brückler
Vladimir Stilinović

2. KRISTALI

3. Idealni kristali su oblika konveksnih poliedara.
Stalnost kutova
In plano axis laterum et numerum et longitudinem varie mutari, non mutatis angulis.
N. Stensen, 1669.

4. 1801. Kristali se sastoje od sićušnih paralelepipeda koji se slažu jedan do drugoga – kristali su periodične građe.
R. J. Haüy (1743.–1822.)

6. Jesu li kristali stvarno periodični?
Jesu – dokazano činjenicom da difraktiraju rentgensko zračenje.

8. Ako su kristalografi u pravu...
Neka je struktura periodična...
simetrija objekta X je izometrija f (euklidskog) prostora obzirom na koju je objekt invarijantan tj. f(X) = X
može se opisati kao f(x) = Ax+b s |det(A)| = 1
f je rotacija ako je b=0 i det(A)=1 tj. ASO(3)
Eulerov teorem: u R3 to je stvarno rotacija u oko neke osi
najmanji mogući kut rotacije (koja je simetrija objekta)  > 0   najveći nN takav da je n = 2p – govorimo o osi rotacije reda n

10. Ako su kristalografi u pravu...
translacija za vektor b: tb(x) = x + b
objekt X u euklidskom prostoru posjeduje translacijsku simetriju ako postoji vektor b pripadnog vektorskog prostora t. d. tb(X) = X
obzirom na kristalografe, zanimaju nas objekti koji u n-dimenzionalnom prostoru posjeduju simetrije u n linearno nezavisnih smjerova e1,...,en (periodičnost)
ako je X takav i OX, onda X mora sadržavati beskonačno mnogo točaka tj. bar sve točke T takve da je predstavnik nekog vektora oblika
s cjelobrojnim koeficijentima

11. Ako su kristalografi u pravu...
rešetka u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru, generirana nekom bazom {e1,...,en} tog prostora, je skup
često se gleda točkovna rešetka u euklidskom prostoru, uz odabrani koordinatni sustav (O; {e1,...,en}):

12. Ako su kristalografi u pravu...
Teorem (kristalografska restrikcija): Neka je X  E3 objekt koji je periodičan. Ako X kao simetriju posjeduje rotaciju reda n, onda je n{1,2,3,4,6}.
Dokaz:
X periodičan obzirom na bazu {e1,...,en}  kao podskup sadrži rešetku L’; neka je A rotacija reda n koja mu je simetrija
(BSO: oko z-osi) za kut [0,
ona mora sve točke s cjelobrojnim koordinatama preslikavati u isto takve  obzirom na {e1,...,en} ima matricu s cjelobrojnim elementima
trag matrice je invarijanta  2cos()+1Z  {0,/3,/4,/2,}

13. Jesmo, u pravu smo...
Na kristalima se zamjećuju samo određeni elementi simetrije:
Centar inverzije (“simetrije”)
Zrcalne ravnine
Osi 2., 3., 4. i 6. reda.

14. Što su popločavanja?
popločavanje prostora R2 (R3) je (prebrojiva) familija T zatvorenih skupova pi R2 (R3) prostora takva da vrijedi
pi = R2 (R3)
i,j int pi  int pj = 
moguće je dodatno zahtijevati da pločice osim geometrijskih imaju i neka druga svojstva (npr. boje)
generirajući skup je minimalni podskup PT sa svojstvom da nikoja dva elementa iz P nisu sukladna; elementi od P se zovu protopločice

15. - šest protopločica ako uzmemo u obzir boje
- dvije protopločice
- šest protopločica ako uzmemo u obzir boje

16. Nije sve normalno... moguća su čudna popločavanja
popločavanja kojima nisu sve pločice topološki diskovi, npr. pločice s rupama
popločavanja u kojima se (bar) dvije pločice sijeku u nepovezanom skupu
popločavanja u kojima (bar jedna) pločica nije uniformno ograničena
popločavanja u kojima nema takvih anomalija: normalna popločavanja

17. Još malo o popločavanjima
najčešće protopločice: poligoni (ne nužno konveksni) – obično se zahtijeva da nijedan vrh neke pločice ne leži unutar nekog brida neke druge
za dani kvadrat stranice 2r mogu se definirati brojevi t(r), e(r), v(r), kao brojevi pločica, bridova, strana popločavanja koje se nalaze u “dijelu popločavanja određenom tim kvadratom” (skupu svih pločica koje imaju neprazan presjek s tim kvadratom i sve koje su potrebne da njihova unija bude jednostavno povezan skup)
popločavanje je metrički uravnoteženo ako za r+ postoje limesi izraza t(r)/4r2, e(r)/4r2, v(r)/4r2 i nezavisni su o izboru kvadrata tj. možemo definirati broj vrhova, bridova i strana po jediničnoj površini

18. Periodična popločavanja
jednostavnosti radi gledamo euklidsku ravninu E2
postoje dva nekolinearna vektora a i b te ograničen podskup ravnine (“jedinična ćelija”) C sa svojstvom da za svaku točku T postoje cijeli brojevi m, n te točka TCC takvi da je TCT = ma+nb
pripadna rešetka generirana je paralelogramom P određenim vektorima a i b
svako normalno periodičko popločavanje je metrički uravnoteženo

19. C a b

21. Koja je prava?

22. Kristalni sustavi
Postoji konačno mnogo tipova rešetki, obzirom na odnose baznih vektora tj. obzirom na simetrije rešetki – pet u ravnini, sedam u 3D-prostoru
a,b,c duljine baznih
vektora,
α,β,γ kutevi između
po dva od njih

23. Kako klasificirati periodična popločavanja?
17 grupa tapeta – prema simetrijama

24. Moguće simetrije u dvodimenzijskima periodičnim popločavanjima

25. Određivanje grupe tapeta:
Odredi maksimalni red n rotacije i utvrdi postoji li bar jedno zrcaljenje.
1, da  postoje li klizna zrcala koja nisu zrcala: cm ,pm
1, ne  postoji li klizno zrcaljenje: pg, p1
2, da  postoje li zrcaljenja u dva različita smjera?
da  postoje li centri rotacije na zrcalima: pmm, cmm
ne  pmg
2, ne  postoji li klizno zrcaljenje: pgg, p2
3, da  jesu li svi centri rotacije na zrcalima: p3m1, p31m
3, ne  p3
4, da  postoje li zrcala koja pod kutem 45°: p4m, p4g
4, ne  p4
6, da  p6m
6, ne  p6

26. p1
p3 (ignorirati boje)
p2 (ignorirati boje)

27. p4 (ignorirati boje)
p6 (ignorirati boje)
p6m pg

28. cm pm

29. p3m1
p4g
p31m
p4m

30. cmm (ignorirati boje)
pgg
pmg (ignorirati boje)
pmm

31. U trima dimensiama prostorne grupe (230 komada)
određene mogućim kombinacijama simetrija koje imaju jednu fiksnu točku i simetrija rešetke
različite kompozicije simetrijskih operacija: tzv. složeni elementi simetrije (klizne ravnine, vijčane osi...)

33. Kvaziperiodična popločavanja
vrsta neperiodičnih popločavanja, no: iako nemaju translacijsku simetriju, nije potpuno nepravilno
svaki ograničen podskup takvog popločavanja (neprecizno, ali praktično, dakle kristalografima draže...) se ponavlja beskonačno mnogo puta

34. Penroseova popločavanja
1974. – sir Roger Penrose (1931.-)
najpoznatija kvaziperiodična popločavanja

36. Nekoliko zanimljivosti o Penroseovim popločavanjima
uvijek neperiodično
beskonačno mnogo različitih, nijedan konačan dio ne određuje cijelo popločavanje
svaki ograničen dio nekog PP se ponovno pojavljuje u tom PP (i u svakom drugom PP)
omjer zmajeva i strijela je Φ
može imati simetriju reda 5 (no kao i svako popločavanje, može imati samo jedan centar simetrije reda 5)
statistička simetrija reda 10

38. svi uzorci su određeni s 5 smjerova pravaca pod međusobnim kutevima 72°, a susjedni pravci svakog smjera su udaljeni za jednu od 2 dužine koje su u omjeru Φ

39. A postoji li takovo što, zapravo?
KVAZIKRISTALI
Though this be madness, yet there is a method in’t...

40. KRISTALI ??? Poligonalnog oblika ali s osima 5, 8, 10... reda.
Difraktiraju rentgensko zračenje
Kvaziperiodične strukture
KRISTALI ???

41. Tako kažu !!!
Nova definicija kristala (IUCr, 1992): "by crystal we mean any solid having an essentially discrete diffraction pattern, and by aperiodic crystal we mean any crystal in which three-dimensional lattice periodicity can be considered to be absent"
KRAJ ... ?