1. Poglavlje 13: Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Odjeljak 13.1 Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Pravilo desne ruke
Pravokutne (ili kartezijeve) koordinate
Formula za udaljenost
Jednadžba sfere
Simetrija
Pravac kroz dvije točke
Koordinate polovišta
Odjeljak 13.2 Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Koordinate vektora
Geometrijska interpretacija vektora
Grafički prikaz a + b
Norma, tj. duljina vektora
Množenje skalarom
Zbrajanje vektora
Paralelni vektori
Ilustracija paralelnih vektora
Jedinični vektori
Odjeljak 13.3 Skalarni produkt
Definicija
Svojstva skalarnog produkta
Dodatna svojstva
Geometrijska interpretacija skalarnog produkta
Teorem o kosinusu
Okomiti vektori
Projekcija i komponente
Kutovi s jediničnim vektorima
Cauchy-Schwarz-Bunjakovskijeva nejednakost   
Odjeljak 13.4 Vektorski produkt
Definicija
Desne trojke vektora
Svojstva
Svojstva vektorskog produkta
Mješoviti produkt
Komponente od a x b
Teoremi
Odjeljak 13.5 Pravci
Vektorska parametrizacija
Oblici jednadžbe pravca, Presjek pravaca
Udaljenost točke od pravca
Odjeljak 13.6 Ravnine
Jednadžba I
Jednadžba II
Jedinične normale, Paralelne ravnine, Presjek ravnina
Ravnina kroz tri nekolinearne točke
Udaljenost točke od ravnine
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

2. Pravokutni koordinatni sustav u prostoru
Pravilo desne ruke: ako savijeni prsti desne ruke pokazuju od pozitivnog dijela x-osi prema pozitivnom dijelu y-osi (najmanjim kutem), palac pokazuje pozitivan smjer z-osi.
Točka na x-osi sa x-koordinatom x0 ima koordinate (x0, 0, 0);
točka na y-osi sa y-koordinatom y0 ima koordinate (0, y0, 0);
točka na z-osi sa z-koordinatom z0 ima koordinate (0, 0, z0).
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

3. Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Postoje tri koordinatne ravnine; xy-ravnina, xz-ravnina, yz-ravnina.
Točka P u trodimenzionalnom prostoru ima koordinate (x0, y0, z0) ako
(1) ravnina kroz P paralelna sa yz-ravninom siječe x-os u (x0, 0,0),
(2) ravnina kroz P paralelna sa xz-ravninom siječe y-os u (0, y0,0),
(3) ravnina kroz P paralelna sa xy-ravninom siječe z-os u (0, 0,z0).
Koordinate x0, y0, z0 se zovu pravokutne koordinate od P, ili češće u čast
Descartesu, Kartezijeve koordinate od P.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

4. Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Formula za udaljenost točaka
Udaljenost d između točaka i može se dobiti koristeći dva puta Pitagorin teorem.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

5. Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Sfera radijusa (polumjera) r sa središtem u P0(a, b, c) je skup točaka P(x, y, z) za koje je d(P, P0) = r . Za takve je točke [d(P, P0)]2 = r2. Primjenivši formulu za udaljenost dobivamo
Ovo je jednadžba sfere radijusa r sa središtem u P0(a, b, c). Jednadžba
predstavlja sferu radijusa r sa središtem u ishodištu.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

6. Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Simetrija
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

7. Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Pravac kroz dvije točke
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

8. Kartezijev koordinatni sustav u prostoru
Dužina
Polovište
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

9. Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Vektor a za nas će biti uređena trojka realnih brojeva:
a = (a1, a2, a3).
Brojeve a1, a2, a3 zovemo komponente ili koordinate vektora a.
Dva vektora su jednaki ako imaju iste koordinate;
(a1, a2, a3) = (b1, b2, b3) ako i samo ako a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3.
Zbrajanje vektora
Množenje vektora skalarom
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

10. Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Geometrijska interpretacija vektora
Orijentirane dužine i su na različitim pozicijama, ali budući da imaju istu duljinu, smjer i orijentaciju, predstavljaju isti vektor: vektor a = (a1, a2, a3).
Nulvektor 0 = (0, 0, 0) možemo predstaviti orijentiranom dužinom duljine 0. Nulvektor nema definiran smjer i orijentaciju.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

11. Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Grafički prikaz a + b
Za a = (a1, a2, a3) i b = (b1, b2, b3) definiramo
a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).
Pravilo trokuta i pravilo paralelograma
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

12. Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Norma
Norma (duljina) vektora a = (a1, a2, a3) je broj
Svojstva norme:
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

13. Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Višekratnik vektora
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

14. Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

15. Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Paralelni vektori
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

16. Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Primjer paralelnih vektora
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

17. Vektori u trodimenzionalnom prostoru
Jedinični vektori
Vektore duljine 1 zovemo jediničnim vektorima. Za svaki nenul vektor a postoji jedinstveni jedinični vektor ua s istim smjerom i orijentacijom kao a. To je
Vektori
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
su jedinični vektori koji su posebno korisni u računu jer se svaki vektor a može na jednostavan način prikazati kao jedinstvena linearna kombinacija ovih vektora:
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

18. Skalarni produkt
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

19. Skalarni produkt Svojstva skalarnog produkta
Ako skalarno pomnožimo vektor sa samim sobom dobivamo kvadrat njegove norme:
Dokaz
Skalarni produkt proizvoljnog vektora s nulvektorom je nula:
Dokaz
(a1)(0) + (a2)(0) + (a3)(0) = 0, (0)(a1) + (0)(a2) + (0)(a3) = 0.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

20. Skalarni produkt Daljnja svojstva (komutativnost, kvaziasocijativnost,
distributivnost prema zbrajanju).
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

21. Skalarni produkt Geometrijska interpretacija skalarnog produkta
Počinjemo od trokuta sa stranicama duljine a, b, c. Ako je θ jednak ½π, Pitagorin teorem nam daje c2 = a2 + b2. Teorem o kosinusu je generalizacija za proizvoljni kut θ,
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ.
Skica dokaza teorema: Iz slike je y2 + x2 = a2 i y = a cos θ. Zato je
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

22. Skalarni produkt
Duljine stranica su ||a||, ||b||, ||a − b||. Teorem o kosinusu daje
||a − b||² = ||a||2 + ||b||2 − 2 ||a|| ||b|| cos θ.
No iskoristimo li da je ||a||2 = a  a i slično za ostale dobivamo:
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

23. Skalarni produkt
Dva vektora su okomiti ako je kut među njima pravi ili ako je jedan od vektora nulvektor. Stoga su dva vektora okomiti ako i samo ako im je skalarni produkt jednak nula. Zapisano simbolima:
Jedinični vektori i, j, k su međusobno okomiti:
i · j = i · k = j · k = 0.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

24. Skalarni produkt Ortogonalna projekcija i komponente
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

25. Skalarni produkt Kutovi s vektorima i, j, k (kutovi smjera)
i, j, k komponente jediničnog vektora su kosinusi smjera.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

26. Skalarni produkt Cauchy-Schwarz-Bunjakovski nejednakost Budući je
a · b = ||a|| ||b|| cos θ,
gdje je θ kut između a i b, uzmemo li apsolutne vrijednosti i iskoristimo
| cos θ| ≤ 1, dobivamo nejednakost
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

27. Vektorski produkt smjer orijentacija duljina
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

28. Vektorski produkt Desna trojka vektora
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

29. Vektorski produkt Svojstva desnih trojki vektora
I. Budući je (a × b) · (a × b) = ||(a × b)||2 > 0, (a, b, a × b) je desna trojka.
II. Ako je (a, b, c) desna trojka, onda su i (c, a, b) i (b, c, a) desne trojke.
Množenjem bilo kojeg od triju vektora pozitivnim skalarom trojka ostaje desna: ako je (a, b, c) desna trojka i α > 0, onda su (αa, b, c), (a, αb, c), i (a, b, αc) također desne trojke.
Množenjem bilo kojeg od triju vektora negativnim skalarom trojka postaje lijeva: ako je (a, b, c) desna trojka vektora i α < 0, onda (αa, b, c), (a, αb, c), i (a, b, αc) nisu desne trojke (tj. to su lijeve trojke).
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

30. Vektorski produkt Svojstva vektorskog produkta
Vektorski produkt je antikomutativan:
Skalare možemo izlučiti:
Vrijede obje distributivnosti:
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

31. Vektorski produkt Mješoviti produkt ili umnožak
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

32. Vektorski produkt Komponente od a × b
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

33. Vektorski produkt
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

34. Pravci Vektorska jednadžba
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

35. Pravci Parametarska jednadžba pravca Kanonska ili simetrična jednadžba
Presjek pravaca, paralelni pravci
Dva različita pravca
l1 : r(t) = r0 + td, l2 : R(u) = R0 + uD
sijeku se ako i samo ako postoje brojevi t i u takvi da je
r(t) = R(u).
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

36. Pravci Udaljenost od točke do pravca
Neka je P0 točka na pravcu l i neka je d vektor smjera od l. Ako su P0 i Q kao na slici, lako vidimo da je
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

37. Ravnine Skalarna jednadžba ravnine
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

38. Ravnine Vektorska jednadžba ravnine
Jednadžbu ravnine možemo zapisati u vektorskom obliku . Neka je
Budući da je
r0 = x0i + y0j + z0k i r = xi + yj + zk,
(13.6.1) se može zapisati u obliku
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

39. Ravnine Jedinične normale
Ako je N vektor normale (tj. okomit) na danu ravninu, tada su svi ostali vektori normale na danu ravninu paralelni s N i zato skalarni višekratnici od N
Posebno, postoje dva jedinična vektora normale: i
Presjek ravnina
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

40. Ravnine Ravnina određena trima nekolinearnim točkama
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

41. Ravnine Udaljenost točke od ravnine
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.