3. 1 2 3 4 5 الوحدة السابعة : المصفوفات . تنظيم البيانات فى مصفوفات .
الوحدة السابعة : المصفوفات .
تنظيم البيانات فى مصفوفات . 1
جمع المصفوفات وطرحها . 2
ضرب المصفوفات . 3
مصفوفة الوحدة والنظير الضربى ( المعكوسات ) . 4
حل نظام من معادلتين خطيتين . 5

4. تنظيم البيانات فى مصفوفات Organising Data Into Matricies

5. أ أ Dimension of a Matrix رتبة المصفوفة - أ
المصفوفة هى تنظيم من الأعداد المرتبة فى صفوف وأعمدة
Elements الأعداد المكونة للمصفوفة تسمى عناصر -
Dimension of a Matrix رتبة المصفوفة - أ
نرمز للمصفوفة بأحد حروف الهجاء ونضع تحته خط ، مثل ونقرأ المصفوفة
عدد الصفوف ( م ) وعدد الأعمدة ( ن ) يحددان رتبة المصفوفة ونكتب م × ن
لتكن = أ أ
من الرتبة 2 × 3 2 8 4 3 7 9
عدد الأعمدة
عدد الصفوف 2 6 4 3 1 5 3 7 = ب 5 = ل = ع
من الرتبة 1 × 2 ل
من الرتبة 2 × 1 ع
من الرتبة 3 × 2 ب

6. تنظيم البيانات فى مصفوفة
تنظيم البيانات فى مصفوفة
رياضيات
الدرجات
علوم
تنظيم البيانات الأحصائية
البيانات التالية تمثل درجات جاسم ، محمد ، على فى الرياضيات والعلوم
يمكن ترتيب البيانات على الشكل
العمود الثانى
العمود الأول
علوم
رياضيات 3 5
الصف الأول
جاسم 6 8
الصف الثانى
محمد
جاسم
محمد
على 7 4
الصف الثالث
على
يمكن ترتيب البيانات بشكل آخر
من الرتبة 3 × 2
تسمى مصفوفة
على
محمد
جاسم
عدد الأعمدة
عدد الصفوف 4 8 5
رياضيات 7 6 3
علوم
من الرتبة 2 × 3
تسمى مصفوفة

7. العارضتان المتوازيتان
تنظيم البيانات الموجودة فى جدول
حاول 3 صــ 59 ـــ
أكتب جـ لتمثل النقاط الممنوحة لبعض لاعبى الجمباز
العارضتان المتوازيتان
الحلقات الثابتة
حصان المقابض
تمارين أرضية
الرياضة اللاعب
9.837
9.587
9.700
9.725
الأول
9.775
9.712
9.537
9.650
الثانى
9.512
الثالث أو
9.512
9.650
9.725
9.837
9.587
9.700
9.725
9.650
9.537
9.700
9.775
9.712
9.537
9.650 = جـ = جـ
9.650
9.712
9.587
9.712
9.650
9.650
9.512
9.712
9.775
9.837

8. ترميز عناصر المصفوفة أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ = 3 2 8 4 3 7 9 = 7
يحدد أى عنصر فى المصفوفة بدلالة رقمى الصف والعمود الواقع فيهما
( يذكر الصف أولاً ثم العمود ثانياُ ) أ 1 2 أ 1 أ 2 أ
من الرتبة 3 × 2 أ 2 1 = أ أ 3 2 أ 3 1 أ
لتكن = أ
= 3 2 8 4 3 7 9 1 2
عنصر أو مدخول من عناصر المصفوفة
العمود الأول
الصف الثانى أ 2 أ 1 3
= 7
= 4 أ 2 3 أ 1
= 9
= 2

9. المصفوفات ، العمودية ، الأفقية : المربعة Matrices أ المصفوفة المربعة أ
Square
, Horizontal
And Vertical
Matrices أ
من الرتبة 2 × 2 = أ
المصفوفة المربعة 2 8 3 7 أ
مصفوفة مربعة
هى مصفوفة فيها عدد الصفوف يساوى عدد الأعمدة
ما عدا ذلك تسمى المصفوفة : مصفوفة مستطيلة 2 6 7 1 5
من الرتبة 3 × 2 ب = ب
Rectangular Matrix
مصفوفة مستطيلة ب
المصفوفة الأفقية
من الرتبة 1 × 2 ل ل = 5
هى مصفوفة مكونة من صف واحد
مصفوفة أفقية ل
المصفوفة العمودية 3 7
من الرتبة 2 × 1 ع = ع
هى مصفوفة مكونة من عمود واحد
مصفوفة عمودية ع

10. المصفوفات المتساوية ، ، ، أ Equal Matrices
معلومة رياضية :
العناصر المتناظرة فى المصفوفات هى العناصر التى لها الموضع نفسه فى كل مصفوفة
تكون مصفوفتان متساويتين إذا وفقط إذا :
1 ـــ لهما الرتبة ( الأبعاد ) نفسها .
2 ـــ كانت عناصرهما المتناظرة متساوية . 3 4
0.2 -2
0.5
0.75 1 2 5 -2 أ ب ،
متساويتان = =
المصفوفتان
من الرتبة 2 × 2
من الرتبة 2 × 2 3 4 -2 3 4 -2 ،
ليست متساويتان ص س = =
المصفوفتان
من الرتبة 2 × 2
من الرتبة 2 × 2 3 ، ل ع
ليست متساويتان 3 = =
المصفوفتان
من الرتبة 1 × 2
من الرتبة 2 × 1

11. 25 4
ص + 18 3
2 س - 5 4
3 ص + 12 3 =
أوجد قيمة س ، ص حيث
س = 15
2 س = 30
2 س – 5 = 25
ص = 3
2 ص = 6
3 ص + 12 = ص + 18
حاول 7 صــ 62 ـــ
س = 30
38 = س + 8 أ
ص = 2
5 ص = 10
4 ص - 10 = - ص ب
س = - 3
3 س = - 9
ص = 7
- 3 + ص = 4
س + ص = 4
المعادلة الثالثة --- ليس لها معنى

12. Adding and Subtracting Matrices
جمع المصفوفات وطرحها
Adding and Subtracting Matrices

13. جمع المصفوفات أ أ ، أ أ أ أ مثالــــــــــــــــــ
لجمع مصفوفتين ، ب أ
جمع المصفوفات أ
من الرتبة م × ن ،
من الرتبة م × ن ب
يجب أن تكونا من الرتبة نفسها
مصفوفة الجمع لها رتبة كل من المصفوفتين ، ب أ
حيث جـ = ب أ
من الرتبة م × ن جـ و س أ
جـ = ب
نجمع كل عنصرين لهما الموقع نفسه فى ، ب أ
مثالــــــــــــــــــ
0 - 3
-2 + 9
1 + 3
- 3 7 4 3 9
- 3
- 9 6 12 1
- 2 12
- 5 7 = + 19 1 3
7 + 12
-5 + 6
12 - 9
يمكن الجمع والناتج
من الرتبة 2 × 3
من الرتبة 2 × 3
من الرتبة 2 × 3

14. خواص جمع المصفوفات أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ حاول 2 صــ 66 ـــ ب = + + =
حاول 2 صــ 66 ـــ
- 10 5 3 6 5
- 7 2 2 10
- 4
- 3 11 6 ب 13 16 = +
الطرف الأيمن = 6 1
- 10 5 2 10
- 4
- 3 11 6 3 6 5
- 7 2 +
الطرف الأيسر = 13 16 = 6 1
الطرفان متساويان
خواص جمع المصفوفات
م×ن
مصفوفة صفرية
إذا كان ، ب ، جـ مصفوفات من الرتبة م × ن فإن : أ
جميع عناصرها أصفار ب أ +
خاصية الإقفال ( الإنغلاق )
من الرتبة م × ن ب أ + ب أ +
Commutative
خاصية الإبدال =
+ جـ ) ب أ
+ (
( ) + جـ ب أ +
Associative
خاصية التجميع = أ أ
م×ن أ +
م×ن أ + أ
النظير الجمعى لـ
خاصية المحايد الجمعى = = أ
+ ( ــ )
م×ن
خاصية المعكوس الجمعى ( النظير الجمعى ) =

15. ، ، ، ، ، ، ، أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ حاول 3 صــ 66 ـــ = = = + +(
حاول 3 صــ 66 ـــ أ 2 4 3 -1 = جـ 3 4 7 -2 = ب 5 -2 -1 = ، ،
إذا كانت أ
+ ( ــ )
2× 2 أ +
+ جـ ) ب أ +(
( ) + جـ ب أ + ب أ + ب أ + ، ، ، ، ،
أوجد ب أ + ب أ + 1 7 1 7
خاصية الإبدال = = -1 3 -1 3
( ) + جـ ب أ + 5 10 + 3 4 -2 7 = 7 1 3 -1 = 6 1
خاصية التجميع
+ جـ ) ب أ +( 5 10 2 8 = 2 3 4 -1 = + 6 1 7 -3
2× 2 أ + أ 3 2 + = 2 3 4 -1
خاصية المحايد الجمعى = = -1 4 أ
+ ( ــ ) -3 -2 = 2 3 4 -1
2× 2 = = +
خاصية المعكوس الجمعى 1 -4

16. طرح المصفوفات أ ، ، أ أ أ أ أ أ أ أ أ مثالــــــــــــــــــ ــ
يمكن طرح مصفوفتين ( لهما نفس الرتبة ) باستخدام خاصية مصفوفة المعكوس الجمعى
إذا كان لمصفوفتين ، ب الرتبة نفسها فإن أ ب أ ــ ب أ
= ( ــ )
مثالــــــــــــــــــ ب أ ــ ب أ ــ أ = 3 2 4 -1 ، = 1 4 3 -2 2 ب ،
أوجد
إذا كانت ب أ ــ 1 -2 2 -3 -4 -1 = 3 2 4 -1 = + -4 -4 2 1 -2 2 ب أ ــ -1 2 -2 -4 -2 -3 = 1 4 3 -2 2 = + 4 -2 -1 -4 1 ب أ ــ ب أ ــ
عملية طرح المصفوفات ليست إبدالية

17. حل المعادلات المصفوفية Solving Matrix Equations

18. المعادلة المصفوفية : هى معادلة مكونة من مصفوفات إحدى المصفوفات غير معلومة ( المتغير )
لأى مصفوفات ، ب ، جـ لها الرتبة نفسها أ جـ أ ــ جـ أ + ب أ = ،
ـــ جـ ب =
+ جـ ب =
فإن
إذا كان :
حاول 5 صــ 68 ـــ 10 7 4
- 4
- 1 5 2 = س
ـــ
- 1 5 2 10 7 4
- 4
- 1 5 2
- 1 5 2 + = + س ــ 7 9 = س 9
- 2

19. Matrix Multiplication
ضرب المصفوفات
Matrix Multiplication

20. ضرب مصفوفة فى عدد أ أ أ أ ، أ أ أ أ مثالــــــــــــــــــ
Multiplying a Matrix by a Scalar
الضرب القياسى هو عملية ضرب مصفوفة فى عدد قياسى ك أ
ورتبتها هى نفس رتبة أ
والناتج هو المصفوفة ك أ
نحصل على المصفوفة ك بضرب كل عنصر من فى ك أ
إذا كان ك = 0 يكون الناتج مصفوفة صفرية
مثالــــــــــــــــــ أ = 2 3 -4 5 4 ب أ
5 ــ 3 = 1 2 -2 -1 3 ب ،
إذا كانت
أوجد
× 3
× 5
5 = أ 6 3
-20 15 10 ب
3 = 9 -3 -6 15 20 25 ب أ
5 ــ 3
-26 12 10 3 6 -6 -3 9 10 15
-20 25 20 = ــ = 6 23 31

21. حاول 2 صــ 71 ـــ حجم صغير حجم كبير اساسى 0.240 دينار 0.400 دينار
حاول 2 صــ 71 ـــ
تناقصت مبيعات الشراب فى مطعم ــ وضع صاحب المطعم إعلاناً كتب عليه تخفيض الأسعار بنسبة 20 % ــ ضع لأئحة بالأسعار الجديدة
حجم صغير
حجم كبير
بعد التخفيض
اساسى
0.300 دينار
0.500 دينار
لبن قليل الدسم
0.600 دينار
0.900 دينار
عصير برتقال
0.800 دينار
عصير مانجو
0.240 دينار
0.400 دينار
0.480 دينار
0.720 دينار
0.400 دينار
0.640 دينار
تخفيض 20 % فيكون السعر بعد التخفيض أصبح 80 % من السعر الأساسى
( نضرب فى 0.8 )
0.24
0.4
0.5
0.9
0.8
0.3
0.6
0.8 ×
0.48
0.72 =
0.4
0.64

22. خواص الضرب القياسى أ أ أ أ أ أ خاصية الإغلاق خاصية التجميع للضرب
إذا كان ، ب ، 0 مصفوفات من الرتبة م × ن ، ك ، د عددان قياسيان فإن : أ أ
ك مصفوفة من الرتبة م × ن
خاصية الإغلاق أ
ك د = ك ( د )
خاصية التجميع للضرب ب أ
ك ( ) = ك ك +
خاصية التوزيع من اليمين ب أ
( ) ك = ك ك +
خاصية التوزيع من اليسار أ
0 × =
خاصية الضرب فى العدد صفر

23. مثال 3 صــ 71 ـــ 4 4 4 × 4 = ثم تحقق من إجابتك = + = = + 1 = = 4 + =
مثال 3 صــ 71 ـــ 10 2 4 3 4 1 -2 =
+ 2 س 4
ثم تحقق من إجابتك
حل المعادلة : 10 2 4 8 6 = س 4 + 2 -4 10 2 4 -8 4 -8 -6 = = س 4 + 8 -2 4 -2 1 4 -8 8 1 4 = × = س 2
التحقيق : 3 4 1 -2 8 6 -8 4 1 -2 2 + =
+ 2 4
الطرف الأيمن = 2 -4 8 10 =
= الطرف الأيسر 2 4

24. ضرب المصفوفات أ Matrices Multiplication تكون مصفوفة الضرب معرفة
إذا كان عدد الأعـمـدة فى المصفوفة الأولى
مساوياً عدد الصفوف فى المصفوفة الثانية أ جـ ب = ×
م × ر
ن × ر
م × ن

25. أ أ أ جـ ب = × مثالـــ = = = × = × 21 23 = المحل الثانى أفضل
يريد حمد شراء 5 علب حلوى ، 4 كجم تفاح ، 2 كجم مانجو وكانت الاسعار بالنسبة لمحلين كما فى الجدول ــ فاى محل يختار
1 كجم مانجو
1 كجم تفاح
علبة الحلوى
2 دينار
1 دينار
3 دينار
المحل الاول
2.5 دينار
1.5 دينار
المحل الثانى
محل - 2
محل - 1
مانجو
تفاح
حلوى أ
سعر علبة الحلوى 2 3 5 2 4 = ب
سعر 1 كجم تفاح
1.5 1 = أ
1 × 3
2.5 2
3 × 2
سعر 1 كجم مانجو
ضرب الصف الأول من المصفوفة الأولى فى العمود الثانى من المصفوفة الثانية
ضرب الصف الأول من المصفوفة الأولى فى العمود الأول من المصفوفة الثانية جـ ب = ×
1 × 2
3 × 2
1 × 3 3 1 2
1.5
2.5 2 3 أ 2
جــ 1 1
جــ =
1.5 1 × 5 2 4 = ب ×
2.5 2 21 23 =
ثمن الاشياء من المحل الثانى
ثمن الاشياء من المحل الأول
المحل الثانى أفضل

26. لايمكن أجراء عملية الضرب ـــ الضرب غير معرف
أوجد ناتج :
مثالـــ 2
جــ 1 1
جــ 3
- 6
0 + 3
0 - 6
- 1 1 3
- 4 2 4 4 =
0 - 4
-4 + 8 ×
- 4 4 2
جــ 1
جــ 2 = 1 1 1
- 2
- 2 2
0 + 2 2
جــ 3
4 - 4 1
جــ 3
3 × 2
2 × 2
3 × 2
لايمكن أجراء عملية الضرب ـــ الضرب غير معرف 7
- 1 4 3 5 2
- 1 5 2 × 2
3 × 2
2 × 2 1
-15+15 2
جــ 1
6 - 5 1
جــ
- 5
- 5 2 2 3 5 2 1 و = = = × 3 2
جــ 1
-5 + 6
2 - 2 1
جــ 2 3 3
- 1
- 1
2 × 2
2 × 2
2 × 2
مصفوفة الوحدة

27. لضرب المصفوفات بعض خصائص ضرب الأعداد
خواص ضرب المصفوفات المربعة
إذا كان ، ب ، جـ مصفوفات من الرتبة م × م فإن : أ أ
× ب مصفوفة من الرتبة م × م
× جـ ) ب أ
× (
( ) × جـ ب أ ×
خاصية التجميع للضرب = جـ أ × ب أ ×
( جـ ) ب أ ×
خاصية التوزيع من اليمين + = جـ أ × ب أ ×
( جـ ) ب أ ×
خاصية التوزيع من اليسار + = أ
م×م × أ
م×م ×
م×م
خاصية الضرب فى المصفوفة الصفرية = =

28. ضرب المصفوفات ليس إبدالى
مثالـــ أ
ب × أ
× ب أ = 2 3 1 ، = 1 5 3 ب ،
أوجد
إذا كانت أ
× ب 11 15
2 + 9
0 + 15 1 × 1 5 3 = 2 3 1 = = 3 5 3 5
0 + 3
0 + 5 أ
ب × 1
0 + 1
0 + 0 3 × 2 3 1 2 = 1 5 3 = = 1 18 10
15 + 3
10 + 0 أ
ب × أ
× ب
ضرب المصفوفات ليس إبدالى

29. مربع المصفوفة ، = × ، أ أ أ أ أ أ أ أ أ Square Matrix أ
( مربع ) أ أ 2
فإن المصفوفة × يرمز إليها بالرمز
إذا كانت مصفوفة مربعة أ أ 3
، = × 4 أ
وبالمثل = × × 3
مثال 7 صــ 78 ـــ ، أ 3 أ 2 أ = 2 -1 1
أوجد
إذا كانت أ 2 -2 3
-2 + 0
4 - 1 -1 × 2 -1 1 2 = 2 -1 1 = = 1 -1 2
-1 + 0
2 + 0 أ 2
= × 3 -3 4
-3 + 0
6 - 2 -1 × 2 -1 1 2 = 3 -2 2 -1 = = 1 -2 3
-2 + 0
4 - 1

30. مصفوفات الوحدة والنظير الضربى ( المعكوسات )
Identity and Inverse Matrices

31. هى العنصر المحايد الضربى للمصفوفات المربعة من الرتبة الثانية
المصفوفة الوحدة
Identity Matrix
المصفوفة المربعة التى عناصر قطرها الرئيسى 1 وبقية العناصر صفر تسمى مصفوفة الوحدة للضرب ويرمز إليها بـ و 1 و 1 و = =
3×3
2×2 ، أ = ب جـ د هـ 1 و =
إذا كانت أ
× و أ جـ ب
0 + جـ
ب + 0 1 1 = ب جـ د هـ = = = × هـ د
0 + هـ
د + 0 1 أ أ
و × =
وبالمثل
هى العنصر المحايد الضربى للمصفوفات المربعة من الرتبة الثانية 1 أ أ
و × أ
× و و = = = و
هى العنصر المحايد الضربى للمصفوفات المربعة من الرتبة ن
ن×ن

32. النظير الضربى أ أ أ ، أ أ أ Multiplicative Inverse أ و
إذا كانت ، س مصفوفتين مربعتين من الرتبة نفسها بحيث يكون أ
× س و =
وتكتب س = أ -1
فإن س هى النظير الضربى للمصفوفة أ
حاول 1 صــ 80 ـــ أ = 2 1
2.5 = -2 2 5 -4 ب ، أ
× ب 1
4-4
-4+ 5 × -2 2 5 -4 2 -2 = 2 1
2.5 = = 1
5-4
-5+ 5 -4 5 أ
× ب و = أ
هى النظير الضربى لـ ب

33. أ أ أ أ محدد مصفوفة مربعة من الرتبة الثانية أ حاول 2 صــ 81 ـــ
Determinant of a 2x2 Katrix
محدد مصفوفة مربعة من الرتبة الثانية
ترتبط كل مصفوفة مربعة بعدد حقيقى يسمى محدد ويرمز إلى هذا العدد بالرمز أ
محدد حيث = أ أ جـ ب د
ــ ب جـ
هو أ د أ = أ جـ ب د
= أ د ــ ب جـ
ونكتب
حاول 2 صــ 81 ـــ أ أ = 4 2 = 4 2
= 0
= ( 4 × 2 ) ـــ ( 2 × 4 ) = 8 7 2 10 ب = 8 7 2 10 ب
= 66
= ( 8 × 10 ) ـــ ( 2 × 7 ) = ك 3
3-ك -3 جـ = ك 3
3-ك -3 جـ
= ( ك × (-3)) ـــ ( 3 × (3- ك) )
= -3 ك ـــ ك
= - 9

34. المصفوفة التى محددها يساوى صفر
خاصية :
النظير الضربى لمصفوفة
معلومة رياضية :
تغيير أشارة
تبديل أ = ب جـ د
المصفوفة التى محددها يساوى صفر
وكان أ د ــ ب جـ
بفرض أن
فإن لها نظير ضربى هو أ -1
ليس لها نظير ضربى
وتسمى أ -1
ــ ب د
مصفوفة منفردة 1
= ــــــــــــــــــــــــــ
حيث أ
ــ جـ
أ د ــ ب جـ
حاول 3 صــ 82 ـــ = 1 2 3 4 ب = 1 2 3 4 ب
= - 2
= ( 1 × 4 ) ـــ ( 2 × 3 ) ب -1
ــ 2 4 1 1 -2
= ــــــــــــ = -2 1
ــ 3
-0.5
1.5 = 6 8 -3 -4 جـ = 6 8 -3 -4 جـ
جـ ليس لها نظير ضربى
= 0
= ـــ ( - 24 )

35. حاول 5 صــ 83 ـــ س = - 4 = 5 × 2س - 10 × ( - 4 ) = 0 10 س = - 40 5 10
حاول 5 صــ 83 ـــ = 5 10 -4 2س ب
مصفوفة منفردة
5 × 2س × ( - 4 ) = 0
10 س = - 40
س = - 4

36. أ أ أ حاول 7 صــ 85 ـــ أرسل مساعدة 15 ض 1 أ 16 ط 2 ب 17 ظ 3 ت 18 ع 4
حاول 7 صــ 85 ـــ 15 ض 1 أ 16 ط 2 ب 17 ظ 3 ت 18 ع 4 ث 19 غ 5 ج 20 ف 6 ح 21 ق 7 خ 22 ك 8 د 23 ل 9 ذ 24 م 10 ر 25 ن 11 ز 26 هـ 12 س 27 و 13 ش 28 ى 14 ص أ أ = 6 2 1 = 6 2 1
= 2
= 6 ـــ 4 أ -1 -1
0.5
ــ 2 1
= ـــــــ 1 2 = 3 -1 6
ــ 2 1 أر = 26 12 ×
0.5 -1 3 10
س ل = 12
118 47 ×
0.5 -1 3 23
م س 24 =
168 60 ×
0.5 -1 3 12 1 أع = 42 20 ×
0.5 -1 3 18 8
د هـ =
100 42 ×
0.5 -1 3 26
أرسل مساعدة

37. حل نظام من معادلتين خطيتين
Solving a System of
Tow Linear Equations

38. الضرب من جهة اليمين ـــ الضرب ليس ابدالى فى المصفوفات
الحل باستخدام المعكوس الضربى للمصفوفة المربعة
Solving by Using Inverse Matrix 5 5 = ص 2 2 + س 1 3 3 = ص 9 9 + س 7 7
مصفوفة المعاملات أ
مصفوفة الثوابت ب
مصفوفة المتغيرات ع س = × ص
2×1
2×1
2×2
معامل ص
معامل س أ ب = ع × أ
- 1 أ
الضرب من جهة اليمين ـــ الضرب ليس ابدالى فى المصفوفات أ
- 1 ب × = ع × × أ
- 1 ب × = ع

39. حل النظام أ أ أ أ × × × × الحل هو ( 5 ، - 2 ) س + ص = 3 س - ص = 7 = =
باستخدام المعكوس الضربى للمصفوفات ( النظير الضربى )
س - ص = 7 3 7 س ص 1
- 1 = × أ ب = ع × أ
= - 2
= ( 1 ) ( - 1 ) - ( 1 ) ( 1 ) أ
- 1
- 1 1 1 =
- 2 أ
- 1 3 3
- 1 1 1 1 × = ب × = ع =
- 2 7 7
- 2 5 س ص
س = 5 =
الحل هو ( 5 ، - 2 )
- 2
ص = - 2

40. Using Crammer’s Rule to Solve Two Linear Equations
استخدام قاعدة كرامر ( المحددات ) لحل معادلتين خطيتين 7 7 7 = ص 3 3 3 + س 2 2 2
حل النظام 6 6 6 = ص 4 4 4 - س 5 5 5 أ
( محدد ) = أ
- 4 3 5 2
= - 23
= ( - 8 ) – ( 15 ) = - أ س
( محدد ) = أ س
- 4 3 6 7 =
= - 46
= ( - 28 ) – ( 18 ) - أ ص
( محدد ) = أ ص 6 7 5 2
= - 23
= ( 12 ) – ( 35 ) = ص
ص = س
س = ، =
- 23 =
- 46
- 23
= 1
= 2
الحل هو ( 2 ، 1 )