1. Lineárny regresný model
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

3. Pri regresenej a korelačnej analýze pôjde
skúmanie príčinnej - kauzálnej závislosti,skúmanie vzťahov medzi príčinou a účinkom kedy jeden resp viac javov (znakov, nezávisle prememnných veličín ) vyvoláva účinok - výsledný jav - závisle prememnnú veličinu
Y = f (X1 X2…... Xk ,Bo , B1 ,….Bp ) +e
Nezávislé premenné
veličiny
- príčiny
Neznáme
parametre
funkčného vzťahu
Náhodné,
Nešpecifikované vplyvy
Závislé premenná
- účinok

4. Príklad zdanlivej korelácie
Jedna z preslávených
zdanlivých korelácií :
ak sa dĺžka sukní skracuje
kurzy akcií stúpajú .
Odhliadnúc od toho, že to
nie vždy platí, išlo by
skutočneo zdanlivú,
alebo nezmyselnú
koreláciu

5. Damodar Gujarati
Econometrics by Example

6. Opakom štatistickej závislosti je funkčná závislosť
Y = f(X1 X2…... Xk ,Bo , B1 ,…., Bp)
kedy je závisle prememnná veličina jednoznačne určená funkčným vzťahom, príklady z fyziky, chémie - takýto druh vzťahov nie je predmetom štatistického skúmania

7. Regresná analýza regresná úloha (RÚ) jej podstatou je
a) nájsť funkčný vzťah podľa ktorého sa mení závislé premenná so zmenou nezávisle premenných - nájsť vhodnú regresnú funkciu.
b) Súčasne je potrebné odhadnúť parametre regresnej funkcie.

8. Lineárny regresný model
Všeobecná forma viacnásobného regresného modelu:
Yi = B1 + B2X2i + B3X3i + … + BkXki + ui
Skrátená forma:
Yi = BX + ui
Y vysvetlovaná premenná (regressand), X je vektor vysvetlujúcich premenných (regressorov), and u je náhodná chyba (reziduá).
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

9. Regresné koeficienty
B1 je lokujúca konštanta - vyjadruje očakávanú úroveň závislé premennej pri nulovej hodnote nezávisle premennej
B2 až Bk sú regresné koeficienty (smernice)
Každý regresný koeficient meria (parciálnu) mieru zmeny v priemernej hodnote Y pri jednotkovej zmene v hodnote vysvetlujúcej premennej, ceteris paribus.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

10. Typy údajov Časové rady
Súbor pozorovaní ktoré nadobúda premenná v rôznych časových obdobiach ako napríklad denné (napr. ceny akcií), Týždenné (napr. ponuka peňazí), mesačné (napr. miera nezamestnanosti), kvartálne čiže štvrťročné (napr. HDP), ročné (napr. štátny rozpočet), päťročné (napr. sčítanie výrobcov), alebo desaťročné (napr. sčítanie obyvateľov).
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

11. Typy údajov Prierezové údaje
Údaje o jednej alebo viacerých premenných získané v jednom bode v čase.
Príkladom sú napríklad sčítanie obyvateľov vykonávané štatistickým úradom, rôzne prieskumy preferencií, či namerané teploty v danom čase na rôznych miestach.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

12. Typy údajov Panelové, longitudálne alebo mikropanelové údaje
Kombinujú prvky oboch predchádzajúcich, tak časových radov ako aj prierezových údajov
Rovnaké prierezové jednotky sú sledované v čase
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

13. Metóda najmenších štvorcov
Metóda najmenších štvorcov (MNŠ) neminimalizuje sumu odchýlok, ale minimalizuje sumu štvorcov odchýlok:
Pre získanie regresných koeficientov sú parciálne derivácie podla jednotlivých regresných koeficientov dané do rovnosti s nulou.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

14. Klasický lineárny regresný model
Predpoklady klasického lineárneho regresného modelu (CLRM):
A-1: Model je lineárny v parametroch.
A-2: Vysvetľujúce premenné sú nestochastické a konštantné v opakovaných výberoch.
A-3: Pre dané X, stredná hodnota reziduí je 0, alebo E(ui |X) = 0.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

15. Klasický lineárny regresný model
Predpoklady klasického lineárneho regresného modelu:
A-4: Homoskedastický, alebo konštantný rozptyl ui, zapísané ako var(ui|X) = σ2.
A-5: Žiadna autokorelácia rezíduí, alebo cov(ui,uj|X) = 0, i ≠ j.
A-6: Žiadna multikolinearita, teda žiadna perfektná lineárna závislosť medzi vysvetľujúcimi premennými.
A-7: Žiadne chyby špecifikácie.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

16. GAUSS-MARKOV TEORÉM
Na základe predpokladov A-1 až A-7, dáva MNŠ najlepšie lineárne nevychýlené odhady ak:
(1) Estimátory sú lineárnou funkciou závisle premennej Y.
(2) Estimátory sú nevychýlené; pri opakovanom použití metódy dosahujú odhady svoje skutočné hodnoty.
(3) V kategórii lineárnych odhadov, estimátory majú estimátory získané metódou najmenších štvorcov minimálny rozptyl; teda sú efektívnymi alebo aj „najlepšími“ odhadmi.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

17. Testovanie hypotéz: t TEST
Testujeme nasledujúce hypotézy:
H0: Bk = 0
H1: Bk ≠ 0
vypočítame testovaciu štatistiku podľa nasledujúceho vzorca a použijeme tabuľky studentovho rozdelenia aby sme získali t kritické s n-k stupňami voľnosti pre danú hladinu významnosti (alebo α, rovné 10%, 5%, alebo 1%):
Pokiaľ je táto hodnota vačšia ako t kritické, zamietneme H0.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

18. Testovanie hypotéz: t TEST
Alternatívnou metódou je určiť, či sa v intervale spolahlivosti nachádza 0:
Pokiaľ nula leží v intervale spoľahlivosti nemôžeme zamietnuť H0.
p-value označuje presnú hladinu významnosti, alebo najnižšiu hladinu významnosti na ktorej môžeme zamietnuť H0.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

19. Koeficient determinácie, R2
Koeficient determinácie je všeobecnou mierou presnosti modelu.
Percentuálny podiel celkovej variability závislej premennej ktorá je vysvetlená nezávislými premennými.
Nadobúda hodnoty medzi 0 a 1 <0% , 100%>.
Nech:
Potom:
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

20. Index korelácie a index determinácie V základnom súbore Iyx odhadom z výberových údajov je iyx est Iyx = iyx . Princíp spočíva v rozklade variability závisle premennne Y
Variabilita
nevysvetlená
regresnou
funkciou
- reziduálna
variabilita
Variabilita
závisle
premennej
vysvetlená
regresnou
funkciou
Celková
variabilita
závisle
premennej

21. Index korelácie iyx
Index determinácie iyx2 v %

22. Testovanie hypotéz: F TEST
Testovanie nasledujúcich hypotéz je ekvivalentné testovaniu hypotéz že sú všetky regresné koeficienty rovné 0:
H0: R2 = 0
H1: R2 ≠ 0
Vypočítame nasledujúcí vzťah a použijeme tabuľky F rozdelenia pre získanie kritickej F hodnoty s k-1 stupňami voľnosti v čitateli a n-k stupňami voľnosti v menovateli pre danú hladinu významnosti:
Pokiaľ je vypočítaná hodnota vyššia ako F kritické zamietame, H0.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

24. Funkčné formy regresných modelov
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

25. LOG-LINEÁRNY, LOG-LOG, ALEBO MODEL S KONŠTANTNOU ELASTICITOU
Cobb-Douglasova produkčná funkcia:
môže byť transformovaná na lineárny tvar po zlogarigmovaní oboch strán:
Regresné koeficienty môžu byť interpretované ako elasticity.
Ak (B2 + B3) = 1, konštantné výnosy z rozsahu.
Ak (B2 + B3) > 1, rastúce výnosy z rozsahu.
Ak (B2 + B3) < 1, klesajúce výnosy z rozsahu.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

26. LOG-LIN alebo rastový model
Miera rastu reálneho GDP:
môže byť transformovaný na lineárny po zlogaritmovaní oboch strán:
Pokiaľ B1 = ln RGDP1960 a B2 = ln (l+r), môžeme to prepísať nasledovne:
ln RGDPt = B1 +B2 t
B2 je semi-elasticita, alebo aj okamžitá miera rastu.
Zložená miera rastu (r) je rovná (eB2 – 1).
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

27. LIN-LOG MODEL Lin-log má všeobecnú formu:
Všimnite si že B2 je absolútnou zmenou vY zodpovedajúcou percentuálnej (alebo relatívnej) zmene v X
Ak X vzrastie o 100%, predikované Y vzrastie o B2 jednotiek
Používané pri odhade Engelovej výdajovej funkcie: “Celkové výdavky vynaložené na potraviny rastú aritmetickou mierou zatial čo celkové výdavky rastú geometrickou mierou.”
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

28. Reciproký regresný model (hyperbola)
Všeobecná forma modelu:
Všimnite si že:
Ak X vzrastie nekonečne, člen dosiahne nulu a Y dosiahne limitnú teda asymptotickú hodnotu B1.
Sklon sa vypočíta:
Platí teda, ak B2 je pozitívne, sklon je negatívny, a pokiaľ B2 je negatívne, sklon je pozitívny.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

29. POLYNOMICKÉ REGRESNÉ MODELY
Nasledujúci príklad modelu predikujúceho HDP je príklad kvadratickej funkcie, alebo vo všeobecnosti, polynóm druhého stupňa vysvetlujúcej premennej čas:
Sklon je nelineárny:
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

30. Zhrnutie funkčných foriem
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

31. Štandardizované premenné
Problému s premennými meranými v rozdielnych jednotkách môžeme predísť ich vyjadrením v štandardizovanom tvare:
kde SY a SX sú výberové štandardné odchýlky a sú výberové priemery Y a X
Stredná hodnota štandardizovanej premennej je vždy nulová a jej štandardná odchýlka je vždy 1.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example

32. Miery kvality modelu
R2: Meria podiel variability závisle premennej ktorá je vysvetlená nezávisle premennými, resp. modelom.
Korigovaný R2: označuje sa ako , zohľadňuje počet vysvetľujúcich premenných v modeli:
Akaikeho informačné kritérium (AIC): Tvrdšie penalizuje pridanie ďalších premenných do modelu:
Zvyčajne je vybratý model s najnižšou hodnotou AIC.
Schwarzove informačné kritérium (SIC): Alternatíva k AIC kritériu vyjadrená ako:
Penalizačný faktor je prísnejší ako pri AIC.
Damodar Gujarati
Econometrics by Example