1. Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu Vibrirajuće membrane
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Zavod za matematiku
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu Vibrirajuće membrane
Studenti: Ana Babić; Hrvoje Šoprek

2. Teorijska pozadina PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
jednadžba koja uključuje jednu ili više parcijalnih derivacija neke nepoznate funkcije koja sadrži dvije ili više nezavisnih varijabli
red najviše derivacije naziva se redom jednadžbe
dolaze do izražaja kada su u vezi s različitim fizičkim i geometrijskim problemima, odnosno kada zadana funkcija ovisi o dvije ili više nezavisnih varijabli
nezavisne varijable mogu biti vrijeme ili neka od koordinata u prostoru
Insert a map of your country.

3. Teorijska pozadina
PDJ je linearna ako je prvog stupnja zavisne varijable i njenih parcijalnih derivacija
u slučajevima, kada svaki član takve jednadžbe sadrži zavisnu varijablu ili jednu od njenih derivacija, za jednadžbu kažemo da je homogena
inače je takva jednadžba nehomogena
Insert a picture of one of the geographic features of your country.

4. Teorijska pozadina
rješenje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi jest područje R prostora nezavisne varijable u funkciji koja sadrži sve parcijalne derivacije i zadovoljava jednadžbu svugdje u R
jedinstveno rješenje PDJ koje odgovara zadanom fizičkom problemu može se dobiti upotrebom dodatnih informacija koje potječu iz same fizičke situacije
npr. u nekim slučajevima bit će dane vrijednosti rješenja problema na granicama neke domene ( rubni uvjeti ), ili kad je t – vrijeme, jedna od varijabli, mogu biti dana rješenja za t=0 ( početni uvjeti )
ako znamo da je obična diferencijalna jednadžba linearna i homogena , tada možemo iz poznatih rješenja doznati i ostala rješenja preko superpozicije
za homogene linearne PDJ situacija je vrlo slična
Insert a picture illustrating a season in your country.

5. Vibrirajuće membrane
DVODIMENZIJSKA VALNA JEDNADŽBA
kao jedan od važnih problema u području vibracija razmotrit ćemo titranje membrana
na početku postavljamo važne pretpostavke:
1. masa membrane po jedinici površine je konstantna  „homogena membrana“ ; membrana je posve fleksibilna i tako tanka da ne pruža nikakav otpor savijanju
2. membrana je raširena i fiksirana preko cijele svoje granice u xy-ravnini ; napetost membrane po jedinici duljine T, koja je posljedica rastezanja membrane, jednaka je u svim točkama i njezin smjer se ne mijenja tijekom vibriranja
3. otklon u (x,y,z) membrane tijekom vibriranja je malen u usporedbi s veličinom membrane, a svi kutevi nagiba su također maleni
Insert a picture of an animal and or plant found in your country.

6. Vibrirajuće membrane
da bi mogli doći do diferencijalne jednadžbe koja opisuje pomicanje membrane, moramo razmotriti sile koje djeluju na malim dijelovima membrane
y+y y
x x+x
MEMBRANA
Add key points in the history of your country to the timeline.

7. Vibrirajuće membrane
kako su otklon membrane i kutevi nagiba mali, stranice isječka membrane su jednake x i y
napetost, T, je sila po jedinici duljine
sila koja djeluje na rubovima isječka aproksimirana je Tx i Ty
kako je membrana fleksibilna, ove sile su tangencijalne na membranu
Insert a picture illustrating a custom or tradition here.

8. Vibrirajuće membrane
gibanje dijelova membrane u horizontalnom smjeru je zanemarivo maleno
membrana se giba transverzalno, odnosno svaki djelić membrane se giba vertikalno
vertikalne komponente sila preko krajeva paralelnih s yu-ravninom su:
kako su kutevi mali, njihove sinuse možemo zamijeniti s tangensima
rezultanta dviju vertikalnih komponenti
rezultante druge dvije nasuprotne strane isječka su:

9. Vibrirajuće membrane

10. Vibrirajuće membrane ako se x i y približe 0, slijedi:
ova jednadžba naziva se DVODIMENZIJSKA VALNA JEDNADŽBA
može se izraziti pomoću Laplace-a i tako pisati u obliku:

11. Vibrirajuće membrane PRAVOKUTNE MEMBRANE
da bi mogli riješiti problem vibrirajuće membrane, moramo odrediti rješenje u(x,y,t) za dvo-dimenzijsku valnu jednadžbu:
koja zadovoljava rubne uvjete:
te početne uvjete:

12. Vibrirajuće membrane Prvi korak.
pomoću metode razdvajanja varijabli, prvo ćemo odrediti rješenje jednadžbe
koje će zadovoljiti uvijet: y x R b a

13. Vibrirajuće membrane
zato što funkcija na lijevo ovisi jedino o t, dok funkcije na desno ne ovise o t, izrazi na obje strane moraju biti jednaki konstanti

14. Vibrirajuće membrane
funkcija na lijevo ovisi jedino o x dok funkcija na desno ovisi jedino o y
izraz na obje strane mora biti jednak konstanti

15. Vibrirajuće membrane

16. Vibrirajuće membrane Drugi korak. opća rješenja su:
F=HQ mora iznositi nula na granici, koja je zadana s x=0, x=a, y=0, te y=b
uvjeti su slijedeći:
H(0)=0, H(a)=0, Q(0)=0, Q(b)=0
H(0) =A=0, H(a)=B sinka=0

17. Vibrirajuće membrane moramo uzeti u obzir B0 jer je inače H0 i F0
sin ka=0 ili ka=m , odnosno (cijeli m)
C=0, a p mora biti sužen na vrijednosti p=n/b gdje je cijeli n
dolazimo do rješenja
slijedi da je funkcija
rješenje jednadžbe koje iznosi nula na granici pravokutne membrane

18. Vibrirajuće membrane k=m/a i p=n/b odgovara
slijedi da je funkcija na duljini
sa mn , rješenja valne jednadžbe, koja iznose nula na granici pravokutne membrane
ove funkcije nazivaju se karakteristične funkcije, a iznosi mn se zovu karakteristične vrijednosti vibrirajuće membrane
frekvencija umn je mn/2
ovisno o a i b, nekoliko funkcija može odgovarati istoj karakterističnoj vrijednosti,a fizički to znači da mogu postojati vibracije s jednakim frekvencijama, ali različitim krivuljama koje čine nepomične točke

19. Vibrirajuće membrane Treći korak.
ovi redovi nazivaju se dvostruki Fourier-ovi redovi
ako pretpostavimo da se f(x,y) mogu razviti u takve redove, tada Fourier-ove koeficijente Bmn za f(x,y) možemo odrediti pomoću

20. Vibrirajuće membrane
za fiksni y ovo su Fourier-ovi sinusni redovi za f(x,y), shvaćen kao funkcija x, pa slijedi da su koeficijenti ove ekspanzije
Fourier-ov sinusni red za Km(y) pa su koeficijenti
opća Euler-ova formula
za Fourier-ove koeficijente za f(x,y) u dvostrukim Fourier-ovim redovima
Bmn je sada određen za f(x,y)

21. Vibrirajuće membrane
pretpostavljamo da g(x,y) može biti razvijen u dvostruke Fourier-ove redove
tada dobivamo
rezultat je taj, da bi jednadžba zadovoljila početne uvjete, koeficijenti Bmn i B*mn moraju biti izabrani prema ovim izrazima

22. m=3
m=2
m=1
n=3
n=2
n=1
Primjeri

23. Primjeri
1,1
1,2
2,1
2,2

24. Primjeri

25. n=3
n=2
n=1
m=2
m=1
m=0
Primjeri

26. Primjeri
0,1
1,1
2,1
0,2
1,2
0,3

27. HVALA NA PAŽNJI