1. بسم الله الرحمن الرحیم

2. درونیابی در ابعاد بالاتر
استاد دکتر گلبابایی

3. ارائه دهندگان :
مهتاب میرکوشش
مرجان روشنی
پریسا قدس

4. اگرfتابعی با دامنه Xباشد ) ) و یک مجموعه از نقاط را به ما بدهند و برای یک مقدار مشخص داده شود به نقاط داده شده گره گفته می شود وبه
داده میگوییم .
مسئله درونیابی:
یافتن تابع مناسب است بطوریکه این n داده را بگیرد یا اصطلاحا درونیابی کند .
Fمعمولا باید از خانواده ای تعیین شده از توابع انتخاب شود
مساله درونیابی خطی :
یک نمونه خاص است برای زمانی که F از یک فضای برداری n بعدی از توابع روی Xانتخاب شود.
اگر Uاین فضای برداری باشد و پایه اش باشدتابعی که بدنبال آن هستیم
به شکل

5. = که با اعمال شرایط درونیابی داریم:
1≤j≤n
این یک دستگاه است با nمعادله خطی وnمجهول که فرم ماتریسی آن به شکل زیر است :
( ) که به ماتریس ماتریس درونیاب می گوییم.
مسئله حل پذیر است اگر وتنها اگر Aغیر تکین باشد .
(دترمینان Aمخالف صفر باشد.)
پس حالت ایده آل زمانی است که ماتریس Aغیر تکین باشد برای هر n تا گره دلخواه. =

6. و این شرط برای AC=0تنها زمانی می تواند درست باشدکهC=0 است
قضیه 1:فرض کنید U یک فضای n بعدی خطی از توابع روی X باشدو nگره متمایز در X باشند .Uقادر به درونیابی n گره در مقادیر دلخواه اگروتنها اگر صفر درونیابی شود تنها با عامل (تابع ) صفر درU
اثبات :فضای Uمیتواند یک درونیاب فراهم کند برای مقادیر دلخواه اگر وتنها اگر ماتریس درونیابش غیر تکین باشد
(طبق نکته*).
و این شرط برای AC=0تنها زمانی می تواند درست باشدکهC=0
است
مثال :فرض کنیم X=Rو ≤ j≤n ماتریس درونیاب برای این مورد خاص واندرموند نامیده می شود
و به شکل زیر است :

7. دترمینان v توسط فرمول زیر به دست می آید:
det𝑉= 1≤𝑗≺𝑖≤𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗
دترمینان v توسط فرمول زیر به دست می آید:
واضح است که دترمینان ناصفر است اگر وتنها اگر گره ها متمایز باشد.
بنابراین مسئله درونیابی فوق برای هر انتخابی از گره ها یک جواب یکتا دارد .
با کمک قضیه یک هم می توان غیر تکین بودن ماتریس v را نشان داد.
کافی است همگن بودن مسئله خطی را در آن قسمتی که
می خواهیم صفر را درونیابی کنیم بررسی نماییم .
جواب چند جمله ای از درجه حداکثر n-1خواهد بود که مقدار صفر را در هر n گره می گیرد .
چون یک چند جمله ای حداکثر ازدرجه n-1می تواند حداکثر n-1 ریشه داشته باشد .نتیجه می شود چند جمله ای صفر تنها جواب ممکن است .
ماتریس واندرموند معمولا در ریاضیات رخ می دهد و برای کارهای عددی یک حالت بد وضع به حساب می آید.

8. یک تابع حقیقی مقداراز Sمتغیر حقیقی نگاشتی به صورت
چند جمله ای چند متغیره :
به منظور برخورد کاراتر با چندجمله ای های چند متغیره از یک نوشتار چند اندیسی استفاده می کنیم .بیایید توابعS-متغیره را در نظر بگیریم .متغیر هارا بنامیم می توانند در یک بردار به نام x قرار گیرند پس:
یک تابع حقیقی مقداراز Sمتغیر حقیقی نگاشتی به صورت
است و یک چند جمله ای s-متغیره نیز نوعی نگاشت است .
مانند همیشه فرض میکنیم Zمجموعه اعدا صحیح باشد مجموعه اعداد نامنفی را نمایش می دهیم .
𝜉 𝑠 ,..., 𝜉 2 , 𝜉 1
𝑥=( 𝜉 1 , 𝜉 2 ,..., 𝜉 𝑠

9. یعنی مجموعه Sتایی هایی که پس به Sتایی چند اندیسه گفته می شود .
فرض 𝜶و𝜷 عواملی از باشند .
برای چند اندیسه 𝜶داریم
نماد|.|معنی اش تغییر کرده است .
اگر و داشته باشیم .
بردار به توان بردار تعریف میکنیم :
تابع یک تک جمله ای است .
بعنوان مثال برای s=3 5 چند تا تک جمله ای نوشته ایم .
که اینها قطعه های چند جمله ای ها را می سازند.

10. درجه یک تک جمله ای
تعریف می شود |𝜶| برای مثال فوق داریم :
1و1و1و10و9و3
فرم یک چند جمله ای با S متغیر:تابعی به صورت زیر است :
که سیگمایش متناهی است و مقادیر حقیقی می گیرند .
ودرجه یک چند جمله ای تعریف می شود :
اگر تمام صفر باشند آنگاه P(X)=0و ما درجه چند جمله ای هارا∞-
قرار داد می کنیم .
چند جمله ای درجه صفر یک تابع ثابت است .
مثال S= 3:
الف : که درجه اش 13 است .
ب: که درجه اش 9 است.

11. درکل چند جمله ای از درجه حداکثر k را به صورت نوشته می شود که این سیگما می تواند جمله داشته باشد.
عملگر مشتق :
از چند جمله ای ها می توان در تعریف عملگر مشتق استفاده کرد .
می دانیم :
پس برای مشتق می توانیم تعریف کنیم :
با توجه به مجموعه چند اندیسه ها :
می توان جمع را تعریف کرد :
همچنین می توان یک رابطه ترتیبی را بدین صورت بیان کرد:

12. تعریف بعدی فاکتوریل است.(فاکتوریل چند تایی (بردار))
تبعا می توان را نیز تعریف کرد :
که اگر𝜷≤𝜶 آن گاه 𝜷_𝜶 یک چند تایی است (چند اندیسه) است که مولفه هایش است .

13. Binomial قضیه دو جمله ای For all x, y∈ and Multinomial
قضیه چند جمله ای
فرض انگاه :

14. تبعا مجموعه تک جمله ای های را تولید می کند .
تعریف:فضای خطی از همه چند جمله ایها از درجه حداکثر nبا s متغیر حقیقی نمایش داده میشود.
هر عامل این فضا بصورت :
تبعا مجموعه تک جمله ای های
را تولید می کند .
بعنوان مثال در اگر((x,y= 𝜶 در نظر بگیریم .
یک پایه برای است .
قضیه :مجموعه تک جمله ای های در بصورت خطی مستقل هستند .یعنی

15. اگر Uفضای خطی (برداری ) n بعدی از توابع روی Xباشد.
قضیه بعد :فضا ی بعدش است .
تعریف فضای هار:
اگر Uفضای خطی (برداری ) n بعدی از توابع روی Xباشد.
یک فضای هار است هرگاه :
تنها تابعی در Uکه بیشتر از n-1ریشه درXدارد تابع صفر می باشد .
قضیه :فرض پایه U باشد گزاره های زیر معادلند
الف)Uیک فضای هار است .(تنها تابع n ریشه اش تابع صفر است .)
ب) برای هر مجموعه ای از گره های متمایز
در X
یعنی اگر ماتریس درونیابش را در نظر بگیریم .
دترمینانش مخالف صفر باشد
برای هر nگره متمایز.

16. تعریف:به هر پایه برای فضای هار یک دستگاه چیبیشف گوییم.
دستگاه چبیشف:
chebyshev
تعریف:به هر پایه برای فضای هار یک دستگاه چیبیشف گوییم.
مثالهایی از دستگاه چبیشف:
مثالهایی از دستگاه چبیشف روی (0,∞)

17. مثالی از دستگاه چیبیشف روی دایره 1,cosθ,sinθ,…,cosnθ,sin nθ
که R\2π مشخص می کند یک مجموعه از اعداد حقیقی که
سوال :آیا دستگاه چیبیشف (پایه های فضای هار) از توابع پیوسته روی یا فضای هار دیگر با بعد بیشتر وجود دارد ؟ خیر
قضیه : د ر زیر فضای هاری از توابع پیوسته موجود نیست(بجز روی فضای تک بعدیR)
اثبات فرض خلف :فرض کنیم یک پایه فضای هار روی دستگاه چیبیشف از توابع پیوسته
روی وs≥2با شد طبق قضیه **باید برای هر مجموعه دلخواه از نقاط متمایز
در یک مجموعه بسته در که شامل است وشامل بقیه نیست انتخاب می کنیم .
به وسیله حرکت بطور پیوسته در طول یک مسیر جای این دو گره را عوض می کنیم .
بدون انطباق بر یکدیگر یا گره های دیگر .در دترمینان فوق جای سطر اول و دوم جا بجا می شود
و علامت دترمینان عوض می شود .و چون دترمینان یک تابع پیوسته از است .که یک جا مثبت و
و یک جا منفی است .پس جایی مقدار صفر را در این فرآیند اختیار می کند که خلاف قضیه ** است .

18. 𝐷( 𝑥 2 , 𝑥 1 )≺0

19. و توضیحی و مثالی برای طرز حرکت پیوسته بدون اینکه انطباقی رخ دهد در طول مسیر
فرض کنید Xیک زیر فضا به شکل حرف Yاست مثلا در یعنی اجتماع دو خط غیر موازی است .
طبق قضیه فضای پیوسته هار از بعد 2 یا بیشتر نمی تواند در Xموجود باشد .

20. پس درونیابی توسط برای مجموعه های دلخواه گره ای که همواره ممکن نیست.
با توجه به قضیه قبل دیدیم که هیچ زیر فضای هاری روی هر یک از زیر فضاهای با بعد بیشتر از یک وجود ندارد.
پس درونیابی توسط برای مجموعه های دلخواه گره ای که همواره ممکن نیست.
(چون رخ می دهد.)
با یک مثال این مفهوم را نشان می دهیم .

21. مثال: فرض و باشد . تک جمله ای های هستند و فرض 3گره داریم .
فرض و باشد تک جمله ای های
هستند و فرض 3گره داریم .
دترمینان این ماتریس دو برابر مساحت مثلثی را نشان می دهد که گره ها رئوس ان هستند .اگر گره ها در یک امتداد باشند دترمینان برابر صفر می شود (ستون دوم ضریبی از ستون سوم )که در ان حالت مسئله ی درونیابی حل نشدنی است.

22. قضیه : درونیابی داده های دلخواه توسط زیر فضای برروی یک مجموعه
درونیابی داده های دلخواه توسط زیر فضای برروی یک مجموعه
از گره (بعد فضای )امکان پذیر است
اگر گره ها بر روی خطوط به طریقی قرار
گیرند که به ازای هر دقیقا شامل گره باشد .

23. حال می خواهیم توسیع قضیه قبل را در ابعاد بالاتر بیان کنیم.
بعد فضای است.
یاداوری:
تعریف :
یک ابرصفحه یک زیر مجموعه ی بعدی از یک فضای بعدی است که
و با نقطه مشخص می شود.به عنوان مثال خط یک ابرصفحه در
فضای دو بعدی است که با دو نقطه مشخص می شود و بعدش یک است.

24. قضیه : فرض مفروض باشند و قرار دهید . فرض کنید مجموعه ای از
فرض مفروض باشند و قرار دهید فرض کنید مجموعه ای از
گره در داده شده باشند .اگر ابر صفحه های در
با موجود باشند به طوری که:
انگاه داده های دلخواه بر روی مجموعه گره ای می توانند توسط چند جمله ای های درونیابی شوند.

25. درونیاب بیشتر از تعداد گره ها باشد ولی در این حالت درونیاب یکتا نیست.
قضیه :
فضای قادر به درونیابی داده های دلخواه بر روی هر مجموعه گره متمایز در می باشد.
این قضیه با استفاده از درونیابی نیوتن اثبات می شود.
نتیجه گیری:
در حالت کلی شرط وجود درونیاب در به ازای با گره های دلخواه این است که بعد
درونیاب بیشتر از تعداد گره ها باشد ولی در این حالت درونیاب یکتا نیست.

26. قضیه: فرض Xیک فضای فشرده Hausdorfباشد.
C(X)یک زیر فضای هار از بعد 2 یا بیشتر داشته باشد .
آنگاه Xهم ریخت است با یک زیر مجموعه از محیط یک دایره .

27. درونیابی ضرب تانسوری: مساله درونیابی:
مساله درونیابی برای توابع چند متغیره مشکلی است که هم در گذشته وهم در حال توجه زیادی را به خود معطوف داشته است.حالت چند متغیره خصوصیات نامعمولی را بروز می دهد که در حالت تک متغیره دیده نمی شود.
ابتدا درونیابی دو متغیره را بیان می کنیم.
مساله درونیابی:
یک مجموعه ی نقاط درونیابی (گره ها ) در صفحه ی مفروض هستند .که به صورت زیر نشان می دهیم: فرض می کنیم این گره متمایزباشند.به هر نقطه ی یک عدد حقیقی متناظر شده است و هدف ما یافتن یک تابع هموار با محاسبات ساده مانند است به قسمی که این طور استنباط می شود که برروی همه ی یا لااقل برروی دامنه بزرگی که شامل گره ها باشد تعریف شده است.

28. حاصل ضرب دکارتی و شبکه:
مساله درونیابی بیان شده گاهی اوقات می تواند با یک حاصل ضرب تانسوری از روش های درونیابی یک متغیره حل شود.
روش به وضعیتی محدود می شود که در ان مجموعه گره ها که در اینجا با 𝓝 نشان داده می شود یک
حاصل ضرب دکارتی است : 𝓝 or =𝓝
به عنوان مثال اگر داشته باشیم دراین صورت چنین ارایه ای از گره ها یک شبکه دکارتی نامیده می شود.

29. فرض کنیم که یک طرح درونیابی خطی برای داشته باشیم
فرض کنیم که یک طرح درونیابی خطی برای داشته باشیم .این یک فرایند یک متغیره
خواهد بود .انرا به صورت یک عملگر خطی وبا شکل زیر در نظر می گیریم که در ان توابع دارای
خاصیت کاردینال زیر هستند.
خاصیت کاردینال :
به عنوان مثال در درونیابی چند جمله ای معمولی توابع با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شوند.

30. اگر تابعی از باشد می توانیم بنویسیم :
عملگر را می توان گسترش داد تا بر توابع دو متغیره یا چند متغیره عمل کند .
اگر تابعی از باشد می توانیم بنویسیم :
تابعی از دو متغیر است که را روی خطوط عمودی درونیابی می کند.

31. فرض کنیم عملگر دیگری برای درونیابی موجود باشد می نویسیم:
فرض کنیم عملگر دیگری برای درونیابی موجود باشد
می نویسیم:
که ها می توانند هر تابعی با خاصیت اصلی زیر باشند.
دوباره را بر روی توابع دو متغیره گسترش می دهیم.
تابع را روی همه خطوط افقی زیر درونیابی می کند .

32. چون بدون مشکلی ملاحظه می کنیم که
اکنون عملگر درونیاب دو متغیره مفید ضرب تانسوری به کمک می تواند ساخته شود.
چون بدون مشکلی ملاحظه می کنیم که
یک تابع است که را در گره های درونیابی می کند .از
نماد ضرب تانسوری برای عملگر نیز استفاده می شود.

33. مثال :
فرمولی برای چند جمله ای دو متغیره ای که مقادیر بالا را داراست ارائه دهید:

34. حل :
ابتدا ملاحظه می کنیم که گره ها یک شبکه دکارتی را تشکیل می دهند و روش ضرب تانسوری قابل اجرا است.

35. نکته:

36. قضیه: اثبات: اگر یک مجموعه مستقل خطی از توابع روی 𝑿 باشد.
اگر یک مجموعه مستقل خطی از توابع روی 𝑿 باشد.
و یک مجموعه مستقل خطی از توابع روی 𝒀 باشد.
𝑢 𝑖 𝑣 𝑗 :1≤𝑖≤𝑛,1≤𝑗≤𝑚
ان گاه یک مجموعه مستقل خطی از توابع روی 𝒀 𝑿 است.
اثبات:
فرض انگاه :

37. از طرفی ها نیز مستقلند پس
ها که مستقلند پس
از طرفی ها نیز مستقلند پس

38. ضرب تانسوری دو فضا:
اگر 𝑼 فضایی خطی باشد که عواملش توابعی از 𝑿 به 𝓡 باشند و 𝑽 نیز یک فضای خطی که عواملش توابعی از 𝒀 به 𝓡 باشند ان گاه :
تعریف می شود یک فضای خطی تولید شده توسط 𝑼⨂𝑽
جایی که 𝓥𝓤 تابعی است روی 𝒀 𝑿
بنابراین
و همان طور که قبلا گفته شد می توان نوشت:

39. قضیه : مثال: اگر یک پایه برای 𝑼 و یک پایه برای 𝑽 باشد ان گاه
اگر یک پایه برای 𝑼 و یک پایه برای 𝑽 باشد ان گاه
یک پایه برای است.
مثال:
در حالت دو متغیره یک پایه برای توسط داده های زیر بدست می اید.
به عنوان مثال اگر تابع درونیاب مثال قبل را به صورت جملات بنویسیم 12 جمله زیر حاصل می شود .

40. بنابراین فضای شامل عنصری از درجه یعنی
بنابراین فضای شامل عنصری از درجه یعنی
خواهد بود . همان طور که می دانیم درجه تک جمله ای
است و درجه یک چند جمله ای از بزرگترین درجه جملات موجود در چند جمله ای
تعریف می شود .

41. قضیه: یک پایه برای مجموعه توابع زیر هستند :
این قضیه حالت خاصی از قضیه قبل است.
یک پایه برای مجموعه توابع زیر هستند :

42. قضیه :
هر مجموعه دلخواه از داده ها می توانند به صورت یکتا توسط فضای ضرب
تانسوری بر روی هر مجموعه از گره ها که به فرم
باشند درونیابی شوند.

43. ? ما برای حالت دو متغیره توضیح دادیم وبرای سه متغیره داریم :
پس از طی مراحلی مشابه حالت دو متغیره به این نتیجه می رسیم:

44. طرح نیوتنی برای درونیابی :
برای پیاده سازی عملی هر روش درونیابی داشتن الگوریتمی مانند رویه
نیوتن در درونیابی چندجمله ای یک متغیره مفید است.یاداوری می کنیم یک
شکل روش نیوتن این است که از یک چند جمله ای 𝐏که تابع 𝐟را در گره
های درونیابی می کند می توانیم به سادگی یک چند
جمله ای را که تابع 𝐟 را در گره های
درونیابی می کند با اضافه کردن یک جمله به 𝐏 به دست اوریم. در حقیقت
قرار می دهیم:

45. مزیت این الگوریتم این است که چند جمله ای درونیاب می تواند گام به گام با اضافه کردن یک گره درونیابی جدید ویک عبارت جدید به 𝐏 در هر مرحله ساخته شود.

46. خلاصه الگوریتم نیوتن: مجموعه ای از گره ها : 𝓝
مجموعه ای از گره ها : 𝓝
تابعی که 𝐟 را روی 𝓝 درونیابی می کند : 𝐏
روی 𝓝 صفر می شود ) 𝐪(
انگاه را روی درونیابی می کند.
به شرط انکه:

47. حالت کلی تر الگوریتم نیوتن با مجموعه های گره ها سر کار دارد .
فرض کنیم 𝐪 تابعی از 𝑿 به 𝓡 باشد وفرض کنیم 𝒁 مجموعه صفرهایش باشد .اگر 𝐏 𝐟
را بر روی درونیابی کند و 𝒓 را بر روی
درونیابی کند .
انگاه 𝒇 را بر روی 𝓝درونیابی می کند.
این فرایند نیوتن برای اثبات قضیه ای که قبلا بیان شد استفاده می شود.

48. قضیه1: قضیه 2: فضای قادر به درونیابی داده های دلخواه بر روی هر
فضای قادر به درونیابی داده های دلخواه بر روی هر
مجموعه از گره متمایز در می باشد.
ℝ 2
قضیه 2:
درونیابی داده های دلخواه توسط زیر فضای بر روی مجموعه ای
از گره امکان پذیر است اگر گره ها بر روی خطوط
به طریقی قرار گیرند که به ازای هر
دقیقا شامل گره باشد.

49. قضیه: #(𝓝∩ 𝐻 𝑖 )=𝑖+1 بسط قضیه 2 به این صورت است که 𝓝مجموعه
بسط قضیه 2 به این صورت است که 𝓝مجموعه
گره از باشد فرض کنیم ابر
صفحه هایی در باشند که :
𝓝⊂ 𝐻 0 ∪ 𝐻 1 ∪...∪ 𝐻 𝑘
#(𝓝∩ 𝐻 𝑖 )=𝑖+1
انگاه داده های دلخواه در 𝓝 می توانند توسط درونیابی شوند.
توجه شود که تنها وقتی بعد برابر تعداد گره ها است.

50. درونیابی شپارد :
یک روش بسیار کلی از این نوع (که در ان زیر فضا به گره بستگی دارد )به درونیابی
شپارد معروف است فرض کنیم که گره ها ی متمایز به صورت زیر باشند.
از 𝒑 و 𝒒 برای نمایش عناصر در استفاده می کنیم.سپس یک تابع حقیقی مقدار بر روی
تحت تنها شرط زیر انتخاب می کنیم.

51. در نتیجه یک درونیاب برای 𝒇 در گره های مفروض توسط فراهم می گردد.
مثال هایی برای :
سپس مشابه فرمول های لاگرانژ در تقریب یک متغیره تعدادی توابع کاردینال (اصلی)تولید می کنیم.این کار به صورت زیر انجام می پذیرد:
به راحتی ملاحظه می شود که این توابع ویژگی اصلی را دارند:
در نتیجه یک درونیاب برای 𝒇 در گره های مفروض توسط فراهم می گردد.

52. مثال:
فرمول های درونیابی شپارد وقتی

53. گونه دیگر درونیابی شپارد:
در این روش شرط نامنفی بودن را نیز برای تابع در نظر می گیریم.
بنا بر فرض هایمان بر روی داریم اگر و
برای تمام نقاط به جز نتیجه می شود که
و خوش تعریف است .

54. بنابر طرز ساخت و .به علاوه معادله درونیابی به صورت زیر ارائه می شود .
بنابر طرز ساخت و به علاوه
معادله درونیابی به صورت زیر ارائه می شود .
این نوع درونیابی شپارد دو مزیت نسبت به نوع قبلی دارد :
1.اگر داده ها نامنفی باشند ان گاه درونیاب تابعی نامنفی است.
2.اگر تابع ثابت باشد 𝑓
یعنی وارث ویژگی های معینی از تابعی است که درونیابی می کند.

55. اگر مشتق پذیر باشد انگاه یک نقطه مسطح را در هر گره نمایش خواهد داد.
اگر مشتق پذیر باشد انگاه یک نقطه مسطح را در هر گره نمایش خواهد داد.
این بدان علت است که بنابراین گره ها اکسترمم های
هر هستند. لذا مشتقات جزیی در هر گره صفر هستند.ودر نتیجه همین موضوع
برای نیز درست است.

56. گونه دیگر درونیابی شپارد:
به صورت توانی از فاصله اقلیدسی ارائه می شود .
می توانند نقاطی از باشند.
مشتق پذیر است : اگر
مشتق پذیر نیست : اگر

57. کافی است تابع ساده تر را در صفر بررسی کنیم
کافی است تابع ساده تر را در صفر بررسی کنیم
مشتق سویی ان در صفر با مشتق گیری از تابع
به دست می اید که در ان بردار واحد تعریف کننده جهت می باشد.
چون مشتق در وقتی که وجود ندارد
اما برای
فرمول به دو طریق ارائه می شود :
از معادله دوم باید با احتیاط استفاده کنیم چون طرف راست در به حالت مبهم در می اید.

58. از توجه شما متشکریم

59. منابع :
1. E. Ward Cheney, W. Allan Light, A course in Approximation Theory, American Mathematical Society, 2000.
2.انالیز عددی.دیوید کینکید و وارد چنی .مترجمان :فائزه توتونیان و منصوره صائمی.
(عنوان اصلی کتاب :
Numerical analysis Matematics of scientific computing.)