1. One- and Two-Dimensional Flows
Introduction to Mathematical Methods in Neurobiology: Dynamical Systems
Oren Shriki
2009
One- and Two-Dimensional Flows

2. Recommended Book

3. Basic Concepts in Dynamical Systems: 1. One-Dimensional Flows

4. One-Dimensional Dynamical Systems
Let us first discuss a dynamical system which is described by a first-order equation of the form:
We assume for simplicity that f does not depend explicitly on time.
A system with no explicit time-dependence is called autonomous.
Time-dependent systems are called non-autonomous.

5. An example Separating the variables and integrating:
Substituting the initial condition:

6. Can we answer the following questions?
What will be the qualitative behavior for the initial condition x0=1.2 ?
What happens as t?
Although we have the exact solution, it is not simple to use it for answering these questions.

7. A Geometric Way of Thinking
נניח כי מדובר בחלקיק הנע על הישר.
x הוא מקום החלקיק והנגזרת של x לפי הזמן היא המהירות.
המשוואה הדיפרנציאלית מגדירה שדה וקטורי על הישר:

8. Fixed Points
הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת מכונות נקודות שבת (Fixed points).
אם תנאי ההתחלה הוא בנקודת שבת החלקיק לא יזוז ממקומו.

9. Stability of Fixed Points
כאשר מסיטים את החלקיק קלות מנקודת השבת ישנן שתי אפשרויות:
נקודת שבת יציבה (מסומנת בנקודה שחורה): כאשר החצים מצביעים לכיוון הנקודה. הנגזרת של f שלילית.
נקודת שבת לא-יציבה (מסומנת בנקודה לבנה): כאשר החצים מצביעים החוצה מהנקודה. הנגזרת של f חיובית.

10. A Qualitative picture

11. Linear stability analysis
כדאי לנתח באופן כמותי (ולא רק גיאומטרי) את ההתנהגות ליד נקודת שבת יש לבצע לינאריזציה ליד הנקודה:
נסמן נקודת שבת על-ידי:
ננתח את ההתנהגות של הפרעה קטנה ביחס לנקודת השבת:

12. Linear stability analysis
קיבלנו משוואה לינארית עבור הסטייה מנקודת השבת:
אם הנגזרת של f לפי x בנקודת השבת חיובית – הסטייה תגדל אקספוננציאלית. אם הנגזרת של f לפי x בנקודת השבת שלילית – הסטייה תדעך אקספוננציאלית.

13. Comments
הערך המוחלט של ההופכי של הנגזרת בנקודת השבת: מייצג את סקלת הזמן האופיינית של השינויים ב- x.
אם הנגזרת של f בנקודת השבת מתאפסת, המשמעות היא שהקירוב הלינארי אינו מספיק ויש לקחת בחשבון איברים מסדר גבוה.

14. An example of linear stability analysis
Let us determine the stability of the fixed points in the sine function example:
- Unstable fixed points
- Stable fixed points

15. Impossibility of Oscillations in First-Order One-Dimensional Systems
In the examples we saw, the systems either converged to fixed points or diverged to infinity.
In fact, these are the only things that can happen for a vector field on the real line.
In such systems, the convergence to a stable fixed point must be monotonic and there will be no oscillations.
However, vector fields on the circle can exhibit periodic solutions.

16. Potentials
דרך נוספת להסתכל על הדינמיקה של מערכות מסדר ראשון היא באמצעות הרעיון הפיזיקלי של אנרגיה פוטנציאלית.
הפוטנציאל מוגדר כך שמתקיים:
משמעות הסימן השלילי היא שהחלקיק נע במורד הפוטנציאל לכיוון נקודות המינימום של הפוטנציאל.

17. Potentials מתקיים: כלומר, הפוטנציאל קטן כל הזמן.
נקודות שבת הן נקודות אקסטרמום מקומי של הפוטנציאל.
נקודות מינימום של הפוטנציאל הן נקודות שבת יציבות.
נקודות מקסימום של הפוטנציאל הן נקודות שבת לא-יציבות.
העובדה כי הדינמיקה נשלטת על-ידי פוטנציאל היא דרך נוספת לראות כי לא יתכנו תנודות – המערכת תמיד מתכנסת לנקודת שווי-משקל.

18. An Example צייר את הפוטנציאל עבור המערכת הבאה ואתר את נקודות השבת:
פתרון: הפוטנציאל יהיה מהצורה:
לשם נוחות ניקח C=0.
נקודת השבת היחידה היא x=0.

19. Numerical Integration
Will be discussed at the exercise lesson.

20. Bifurcations
כאשר משנים פרמטרים במערכת דינמית עשויים להתרחש שינויים איכותיים בהתנהגות הדינמית.
למשל, נקודות שבת יכולות להיווצר או להיעלם.
שינויים איכותיים אלו מכונים ביפורקציות, וערכי הפרמטר שבהם הן מתרחשות מכונים נקודות ביפורקציה.
נעסוק כעת בביפורקציות במערכות חד-מימדיות מסדר ראשון, ויותר מאוחר נפגוש ביפורקציות במערכות ממימד גבוה יותר.
במערכות פיזיקליות, ביפוקרציות מכונות לעתים "מעברי פאזה".

21. Saddle-Node Bifurcation
נתבונן במערכת הבאה:
הפרמטר r יכול להיות חיובי,שלילי או אפס.
נסתכל על תבנית הזרימה כתלות ב- r:

22. Saddle-Node Bifurcation
עבור r<0 ישנן שתי נקודות שבת והן מתקרבות זו לזו כש- r מתקרב ל- 0.
עבור r=0 הנקודות מתאחדות לנקודה חצי-יציבה.
עבור r>0 אין נקודות שבת כלל.

23. Saddle-Node Bifurcation
באופן איכותי, ההתנהגות שונה עבור r<0 לעומת r>0, ולכן נאמר כי מתרחשת ביפורקציה עבור r=0.
ניתן לשרטט דיאגרמת ביפורקציות:
המונח ביפורקצית אוכף קשור בהכללה של מקרה זה לשני מימדים.

24. Transcritical Bifurcation
נראה כעת מקרה שבו לא נעלמות או נוצרות נקודות שבת אך משתנה היציבות של נקודות שבת.
נתבונן במערכת הבאה:
לכל ערך של r קיימת נקודת שבת ב- x=0.
תבנית הזרימה כתלות ב- r:

25. Transcritical Bifurcation
The bifurcation diagram:

26. Pitchfork Bifurcation
דוגמא טיפוסית היא המערכת הבאה:
תבנית הזרימה כתלות ב- r:

27. Pitchfork Bifurcation
The bifurcation diagram:

28. One-Dimensional Systems: Summary of Concepts
Flow lines
Fixed points
Phase portrait
Linearization
Stability of fixed points
Potentials
Bifurcations (saddle-node, transcritical, pitchfork)

29. Basic Concepts in Dynamical Systems: 1. Two-Dimensional Flows

30. ניתוח של מערכת לינארית עם שני משתנים
בהשוואה למערכות חד-מימדיות, למערכות דו-מימדיות יש "מרחב תמרון" גדול יותר ולכן התנהגות דינמית עשירה יותר.
נכיר כעת כלים לניתוח של מערכות דינמיות דו-מימדיות באמצעות דוגמה פשוטה של מערכת לינארית.
נבנה מודל פשטני ל"רומן" בין זוג נאהבים.
לצורך העניין נכנה את הגיבורים שלנו רומיאו ויוליה.

31. מודל רומיאו ויוליה R – מידת החיבה של רומיאו ליוליה.
J – מידת החיבה של יוליה לרומיאו.
נניח כי חיבתו של רומיאו ליוליה גדלה כאשר היא "מתקרבת" אליו וקטנה כאשר היא "מתרחקת" ממנו.
נניח כי יוליה מורכבת יותר, וכי היא מגדילה את חיבתה דווקא כשרומיאו "מתרחק" ומקטינה אותה כשהוא "מתקרב".

32. מודל רומיאו ויוליה
משוואות המודל הן:
כאשר:

33. מודל רומיאו ויוליה מהן נקודות השבת? נדרוש:
מקבלים כי נקודת השבת היחידה היא כאשר:
כלומר, מצב "משעמם" בו אף אחד מבני הזוג אינו מחבב או שונא את השני.
מה יקרה אם נתחיל מנקודה שאינה בראשית?

34. ניתוח במישור המופע (Phase-plane Analysis)
ראינו שבמקרה החד-מימדי ניתן להציג את הדינמיקה באמצעות שדה וקטורי על הישר.
באופן אנאלוגי, במקרה הדו-מימדי ניתן להציג את הדינמיקה באמצעות שדה וקטורי במישור.
כל נקודה במישור מייצגת מצב כלשהו של המערכת והוקטורים הם וקטורי הנגזרות (הגרדיינט) בכל נקודה.
הערה: שיטות הניתוח במישור המופע ניתנות ליישום עבור מערכות שבהן אין תלות מפורשת של המשוואות בזמן (מערכות אוטונומיות).

35. ניתוח מודל רומיאו ויוליה במישור המופע
נבחר כתנאי התחלה נקודה כלשהי על ציר ה- R.
מתקבל "רומן מחזורי" – אך לפחות רבע מהזמן היחסים חיוביים והדדיים.

36. ניתוח מודל רומיאו ויוליה במישור המופע
למעשה, מכל תנאי התחלה שאינו בראשית נקבל אליפסה.

37. מסילות במישור המופע כל פתרון במישור המופע מכונה "מסילה" (trajectory).
נהוג להוסיף חצים המסמנים את כיוון השינוי על המסילה.
הנקודה ההתחלתית של כל מסילה מייצגת את תנאי ההתחלה.
השיפוע של המסילה בכל נקודה מייצג את היחס בין קצבי השינוי של שני הגדלים. במקרה של מודל רומיאו ויוליה:

38. עקומות אפס (nullclines)
נשים לב כי במודל שאנו בוחנים כעת, על כל אחד מהצירים מתאפסת אחת הנגזרות – על ציר ה- R מתאפסת הנגזרת של R. על ציר ה- J מתאפסת הנגזרת של J.
עקומות שעליהן מתאפסת אחת הנגזרות מכונות באופן כללי עקומות אפס (nullclines).
בנקודות שבהן המסילות חוצות את עקומות האפס אחת הנגזרות מתאפסת, ולכן השיפוע של המסילה שם יהיה אופקי או אנכי.

39. התנהגות מחזורית
במודל שבחנו כעת, אם מתחילים מנקודה שאינה נקודת השבת מקבלים התנהגות מחזורית.
ראינו כבר כי במערכות חד-מימדיות מסדר ראשון הדבר אינו אפשרי (אלא אם כן מדובר במשתנה שהוא מראש מחזורי, כגון זווית).
מעניין לציין כי במודל שבחנו כעת, ישנם אינסוף מחזורים אפשריים.

40. הרחבות של המודל נבחן כעת מודל כללי יותר:
במודל זה לפרמטרים יכול להיות כל סימן אפשרי.
למשל, a<0, פירושו שרומיאו הוא "מאהב זהיר" – כשהוא תופס את עצמו מתאהב באופן חזק מדי הוא מקרר את עצמו.
a>0 פירושו שרומיאו הוא "המאהב המתלהב" (“eager beaver”) – רגשותיו ליוליה מחזקות את עצמן עוד יותר.
מה יקרה לרומן בין "מאהב זהיר" ו"מאהבת מתלהבת"?
מהן ההתנהגויות האפשריות במודל הכללי?

41. כתיב מטריציוני ניתן לרשום את המערכת גם באופן הבא: כאשר
כדי לנתח את ההתנהגות נלכסן תחילה את A. באופן זה, נפריד את המשוואות המצומדות לשתי משוואות שאינן מצומדות.

42. מטריצת הוקטורים העצמיים - מטריצת המעבר מהבסיס המלכסן למקורי
לכסון ופתרון המערכת
אנו מחפשים את הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים שמקיימים:
או בכתיב אחר:
כאשר:
מטריצת הערכים העצמיים
מטריצת הוקטורים העצמיים - מטריצת המעבר מהבסיס המלכסן למקורי

43. לכסון ופתרון המערכת
מציאת הערכים העצמיים:
כאשר :
הערכים העצמיים הם:

44. לכסון ופתרון המערכת בבסיס המלכסן המערכת היא: והפתרון הוא:
בבסיס המקורי הפתרון הוא:

45. לכסון ופתרון המערכת
המקדמים C1 ו- C2 נקבעים לפי תנאי ההתחלה:

46. דוגמא נבחן את התפתחות הרומן כאשר: הערכים העצמיים:
הוקטורים העצמיים יוצאים:

47. דוגמא
הפתרון הכללי הוא:
נציב את תנאי ההתחלה:
הפתרון יוצא:

48. דוגמא כיצד תיראה המערכת במרחב המופע?
נשרטט את שני הפתרונות העצמיים – כל אחד הוא אקספוננט בזמן לאורך ישר מסוים במישור. באחד יש התכנסות לכיוון הראשית ובשני בריחה מהראשית.
בזמן ארוך, מסילה טיפוסית שואפת לאחד הפתרונות הלא יציבים.
הראשית במקרה זה היא נקודת אוכף.

49. מיון ההתנהגויות האפשריות לפי הערכים העצמיים
נבחן כעת את האפשרויות האיכותיות השונות מבחינת הערכים העצמיים:
ממשיים שליליים: שני הפתרונות העצמיים דועכים אקספוננציאלית. נקודת השבת היא צומת יציב (Stable node).

50. מיון ההתנהגויות האפשריות לפי הערכים העצמיים
ממשיים חיוביים: שני הפתרונות העצמיים מתבדרים אקספוננציאלית. נקודת השבת היא צומת לא-יציב (Unstable node).

51. מיון ההתנהגויות האפשריות לפי הערכים העצמיים
ממשיים כאשר אחד חיובי ואחד שלילי: אחד הפתרונות העצמיים מתבדר אקספוננציאלית והשני מתכנס. נקודת השבת היא נקודת אוכף (Saddle node).

52. מיון ההתנהגויות האפשריות לפי הערכים העצמיים
מה קורה כשהערכים העצמיים מרוכבים? הערכים העצמיים יהיו צמודים זה לזה: באופן כללי, הפתרונות יכללו אוסילציות עם מעטפת אקספוננציאלית:

53. מיון ההתנהגויות האפשריות לפי הערכים העצמיים
מרוכבים מדומים: הפתרונות יהיו אוסילטוריים ללא דעיכה או התבדרות. נקודת השבת היא מסוג מרכז (Center).

54. מיון ההתנהגויות האפשריות לפי הערכים העצמיים
מרוכבים עם חלק ממשי שלילי: הפתרונות יהיו אוסילטוריים עם דעיכה אקספוננציאלית. נקבל ספירלה שמתכנסת לנקודת השבת (Stable spiral).

55. מיון ההתנהגויות האפשריות לפי הערכים העצמיים
מרוכבים עם חלק ממשי חיובי: הפתרונות יהיו אוסילטוריים עם התבדרות אקספוננציאלית. נקבל ספירלה מתבדרת (Unstable spiral).

56. מיון ההתנהגויות האפשריות לפי הערכים העצמיים
מה קורה אם שני הערכים העצמיים זהים?
אם שני הוקטורים העצמיים שונים נקבל התכנסות או התבדרות מכל כיוון ונקודת השבת תהיה צומת כוכב (Star node).
אם יש רק וקטור עצמי יחיד נקבל צומת מנוון (Degenerate node).

57. Summary of Possible Behaviors
ניתן לסכם את האפשרויות השונות במישור שבו ציר אחד הוא ה- det והציר השני הוא ה- Tr.

58. Nonlinear Systems כיצד נטפל במערכות לא לינאריות?
בשלב הראשון נמצא את נקודות השבת ונבצע לינאריזציה סביב כל אחת כדי לחקור לאיזה סוג היא משתייכת.
באופן כללי, תיתכן התנהגות מורכבת יותר שלא ניתן לאתר בעזרת ניתוח יציבות של נקודות שבת. אין טכניקה כללית לניתוח של התנהגויות מורכבות יותר והדבר דורש שילוב של כלים שונים.
נפגוש דוגמאות לכלים כאלו בניתוח הדינמיקה הלא-לינארית של אקסיטביליות בנוירונים.

59. Rabbits vs. Sheep
As an example, let us consider the Lotka-Volterra model of competition between two species.
Both species are competing for the same food supply (grass) and the amount available is limited.
Main assumptions:
Each species would grow to its carrying capacity in the absence of the other.
Conflicts between the species occur at a rate proportional to the size of each population.
The carrying capacity for rabbits is higher but the effect of encounters is more severe for rabbits.

60. Rabbits vs. Sheep
Notations: x(t) – population of rabbits y(t) – population of sheep x and y are nonnegative.
Model equations:

61. Rabbits vs. Sheep To find the fixed points we solve:
There are 4 fixed points:

62. Rabbits vs. Sheep We linearize and find the Jacobian matrix:
Next, we have to consider each point and analyze the behavior around this point.

63. Rabbits vs. Sheep (0,0): The eigenvalues are 3 and 2.
This is an unstable node. If there are small populations, they will grow up.

64. Rabbits vs. Sheep (0,2): The eigenvalues are -1 and -2.
The fixed point is a stable node.

65. Rabbits vs. Sheep (3,0): The eigenvalues are -3 and -1.
The fixed point is a stable node.

66. Rabbits vs. Sheep
(1,1):
This is a saddle point.

67. Rabbits vs. Sheep
Combining the figures we get:

68. Rabbits vs. Sheep
Using common sense we fill in the rest of the phase portrait:

69. Rabbits vs. Sheep A computer generated phase portrait:
Trajectories starting below the stable manifold lead to eventual extinction of sheep, while those starting above lead to eventual extinction of the rabbits.

70. Rabbits vs. Sheep
For each attracting fixed point we define its basin of attraction:
The boundary between the basins of attraction is called separatrix.

71. Limit cycle
מחזור גבולי הוא מסלול מבודד במרחב המופע – מסלולים שכנים מתכנסים בספירלה אליו או יוצאים ממנו.
אם כל המסלולים הסמוכים מתכנסים אל המחזור הגבולי נאמר כי הוא יציב.
אם כל המסלולים הסמוכים יוצאים מהמחזור הגבולי נאמר כי אינו יציב.

72. Limit cycle מחזור גבולי הוא תכונה של מערכות לא לינאריות.
למערכת לינארית יתכנו פתרונות מחזוריים אך הם לא יהיו מבודדים.
במערכת לינארית משרעת התנודות נקבעת על-ידי תנאי ההתחלה. לעומת זאת, במערכת עם מחזור גבולי משרעת התנודות היא תכונה פנימית של המערכת ואינה תלויה בתנאי ההתחלה.

73. An Example of a Limit Cycle (1)
נתבונן במערכת הבאה:
יש למערכת נקודת שבת ב-
כדי לחפש נקודת שבת עם נחלק את המשוואה הראשונה ב- x ואת השנייה ב- y:

74. An Example of a Limit Cycle (2)
קיבלנו מערכת משוואות מהצורה:
למערכת כזו אין פתרונות ממשיים ומכאן שנקודת השבת היחידה היא ב-
נבצע לינאריזציה בקרבת הנקודה כדי לנתח את ההתנהגות:

75. An Example of a Limit Cycle (3)
נמצא את הערכים העצמיים:
החלק הממשי של הערכים העצמיים חיובי ולכן מדובר בספירלה מתבדרת.
האם זה כל מה שניתן לומר על המערכת? נעבור לקואורדינטות קוטביות.

76. An Example of a Limit Cycle (4)
מעבר לקוטביות:

77. An Example of a Limit Cycle (5)
המשוואות שמתקבלות הן:
נקודות השבת של הרדיוס הן ב- 0 וב- 1. הנקודה ב- 0 אינה יציבה ולכן הרדיוס יגדל עד ל- 1.
העובדה שקצב השינוי בזמן של הזווית שונה מ- 0 מעידה על כך שמדובר במחזור גבולי (אחרת היינו מקבלים מעגל של נקודות שבת יציבות).

78. An Example of a Limit Cycle (6)
התמונה במישור המופע היא:
כל אחד מהמשתנים x ו- y יבצע לבסוף תנודות:

79. Attractors
מושך – נקודת שבת או מחזור גבולי במרחב המופע שמתכנסים אליהם בזמן ארוך מכל תנאי התחלה באזור קטן סביבם.
שאלה מהותית בנוגע לאטרקטורים היא מהו אגן המשיכה שלהם.

80. Bifurcations in 2-Dimensional Systems
גם במערכות דו-מימדיות נקודות שבת יכולות להיווצר, להיעלם או לשנות יציבות כאשר משנים פרמטרים במערכת.
בנוסף, גם מסלולים סגורים יכולים להיווצר, להיעלם או לשנות יציבות כאשר משנים פרמטרים במערכת. כלומר, נוכל לדון כעת במנגנונים בהם ניתן לעורר תנודות או לכבותן.

81. Saddle-Node, Transcritical and Pitchfork Bifurcations
לביפורקציות שתיארנו במערכות חד-מימדיות יש אנאלוגיות במערכות דו-מימדיות.
ההכללה לשני מימדים היא פשוטה יחסית – ההתנהגות "המעניינת" מוגבלת לתת-מרחב חד-מימדי במישור המופע, שלאורכו מתרחשת הביפורקציה. במימד השני נקבל התנהגות פשוטה של דחייה או משיכה.
נדגים זאת כעת עבור ביפורקצית אוכף.

82. Saddle-Node Bifurcation
מערכת טיפוסית היא:
כאשר ערך הפרמטר חיובי נקודות השבת הן צומת יציב ואוכף.
הנקודות מתקרבות זו לזו כשערך הפרמטר מתקרב ל- 0 ונעלמות כשהוא הופך לשלילי.
גם לאחר שנעלמו יש האטה של הדינמיקה במקום בו היו ("רוח רפאים").

83. Hopf Bifurcation
נניח כי למערכת דו-מימדית ישנה נקודת שבת יציבה. מהן האפשרויות שבהן נקודת השבת תוכל לאבד יציבות כאשר נשנה את ערכו של פרמטר?
עבור נקודה יציבה החלק הממשי של שני הערכים העצמיים צריך להיות שלילי, ולכן ישנן שתי אפשרויות:
שני הערכים ממשיים שליליים
שני הערכים מרוכבים צמודים
כדי לאבד יציבות דרוש שהחלק הממשי של אחד הערכים העצמיים או של שניהם יהפוך לחיובי.

84. Hopf Bifurcation
המקרים שבהם ערכים עצמיים ממשיים חוצים את ה- 0 הם הכללות של הביפורקציות החד-מימדיות (אוכף, טרנסקריטית וקלשון).
נבחן כעת את המקרה שבו שני ערכים עצמיים מרוכבים חוצים את הציר המדומה לתוך המחצית הימנית של המישור המרוכב.

85. Supercritical Hopf Bifurcation
נניח שבמערכת מסוימת ישנן תנודות דועכות וקצב הדעיכה נשלט על-ידי פרמטר כלשהו.
נניח גם שכאשר הפרמטר מתקרב לערך קריטי כלשהו הדעיכה נעשית איטית יותר ויותר ולבסוף הופכת לתנודות גדלות.
במקרים רבים מסוג זה, המערכת תתייצב לאחר זמן-מה על תנודות מחזוריות במשרעת קבועה.
ביפורקציה מסוג זה מכונה ביפורקצית Hopf סופרקריטית.

86. Supercritical Hopf Bifurcation
דוגמא פשוטה למערכת שעוברת ביפורקציה כזו היא:
- קובע את היציבות של נקודת השבת בראשית.
- קובע את תדר התנודות במשרעת קטנה.
- קובע את התלות של התדר במשרעת בתנודות גדולות יותר.

87. Supercritical Hopf Bifurcation
נקודות השבת של המשוואה הראשונה הן:
עבור
עבור

88. Supercritical Hopf Bifurcation
גרפים של הפונקציה

89. Supercritical Hopf Bifurcation
גרפים של הפוטנציאל

90. Supercritical Hopf Bifurcation
ההתנהגות במישור המופע נראית כך:
רדיוס המחזור הגבולי

91. Supercritical Hopf Bifurcation
משרעת המחזור הגבולי גדלה באופן רציף מ- 0 ובקרבת הביפורקציה פרופורציונית לשורש הסטייה מהערך הקריטי,
תדר התנודות סמוך לביפורקציה הוא בקירוב: כלומר זמן המחזור הוא בקירוב:

92. Subcritical Hopf Bifurcation
נתבונן במערכת:
- קובע את היציבות של נקודת השבת בראשית.
- קובע את תדר התנודות במשרעת קטנה.
- קובע את התלות של התדר במשרעת בתנודות גדולות יותר.

93. Subcritical Hopf Bifurcation
כאשר הפרמטר שלילי יש נקודת שבת יציבה בראשית ומחזור גבולי יציב. ביניהם ישנו מחזור גבולי לא יציב.
כאשר ערך הפרמטר גדל המחזור הלא יציב מתכווץ סביב נקודת השבת ולבסוף, כשערכו אפס, הופך את הנקודה בראשית ללא יציבה.
במצב זה המושך היחידי הוא המחזור הגבולי הרחוק.

94. Subcritical Hopf Bifurcation
בביפורקציה משרעת המחזור הגבולי גדלה באופן לא רציף לערך סופי.
המערכת מציגה היסטרזיס – לאחר שהתחילו תנודות במשרעת גדולה לא ניתן לכבותן על-ידי הקטנת הפרמטר חזרה לאפס. יש להקטין את הפרמטר לערך שלילי מספיק כדי לכבות את התנודות.

95. Two-Dimensional Systems: Summary of Concepts
Phase plane
Trajectories
Stability analysis using linearization and eigenvalues.
Periodic behavior
Limit cycles
Bifurcations (Hopf)