2. المحاضرة السادسة حل معادلة شرود نجر في بعد واحد (1) الجهد اللانهائي
المحاضرة السادسة حل معادلة شرود نجر في بعد واحد (1) الجهد اللانهائي

3. طرق حل معادلة شرودنجر:
عند حل معادلة شرودنجر نجد طريقتين شائعتين في حلها تعتمدان على شكل الجهد
الطريقة الرياضية القياسية Standard Mathematical Method
إذا كان شكل دالة الجهد مباشرا وسهلا , بحيث يمكن الحصول على تكامل صريح للمعادلة التفاضلية بدلالة دوال رياضية قياسية وهذا هو الحل التحليلي لمعادلة شرودنجر .
إذا كان شكل دالة الجهد معقدا بحيث لا تستطيع الحصول على حل تحليلي للدالة إبساي فحينئذ يمكن أن نطبق طرق عددية لحل معادلة شرودنجر .
وتعالج معادلة شرودنجر نوعين من المسائل :
مسائل الحالة المقيدة bound state وفيها يكون الجهد معلوما بينما الطاقة والدالة الموجية يكونان مجهولين .و تأخذ الطاقة فيها كميات محددة .
مسائل التصادم وفيها يكون الجهد والطاقة معلومين بينما تكو ن الدالة الموجية مجهولة وهنا نجد أن الطاقة لا تأخذ كميات محددة بل تأخذ أي قيمة .

4. الحل العام لمعادلة شرودنجر غير المعتمدة على الزمن:
الصورة العامة لمعادلة شرودنجر غير المعتمدة على الزمن في بعد واحد هي :
(1)
والهدف من حل معادلة شرودنجر في أغلب الأوقات هو معرفة الطاقات المميزة للنظام , وغالبا ما نتعرض لشكلين من أشكال المعادلات التفاضلية وذلك أثناء حل معادلة شرودنجر وهما :
الشكل الأول
ويكون على الصورة
(2)
حيث a مقدار حقيقي , وحل هذه المعادلة هو
(3)
حيث A,B ثوابت

5. حيث a مقدار حقيقي , ويمكن حل هذه المعادلة بإحدى طريقتين :
الشكل الثاني :
(4)
حيث a مقدار حقيقي , ويمكن حل هذه المعادلة بإحدى طريقتين :
الطريقة الأولى :
(5)
حيث C,D ثوابت
ويوضح هذا الحل أن هناك اتحاد خطي لحلين غير معتمدين على بعضهما البعض فالجزء الأول يمثل موجة تتحرك في الاتجاه الموجب لمحور x والجزء الثاني قي (5) يمثل موجة تتحرك في الاتجاه السالب لمحور x .

6. والطريقة الثانية :
(6)
حيث ثوابت , مع العلم بأن
والآن سنحاول تطبيق ذلك في بعض مسائل علما بأن المقصود بالحل الكامل لمعادلة شرودنجر هو معرفة الآتي :
الدالة المميزة للمسألة تحت الدراسة ,عادة يشمل ذلك تحديد الثوابت في الدالة المميزة.
معرفة القيم المميزة للطاقة .

7. حل معادلة شرودنجر في حالة الجهد اللانهائي Solution Of Schrödinger Equation in Infinite Potential well
تعتبر الطاقة الكامنة داخل بلورات المعادن مساوية للصفر وبالتالي فإن الالكترونات داخل البلورة تعتبر حرة الحركة , إلا أن حدود البلورة الخارجية تمثل جدارا يصعب اجتيازه بحيث يكون الجهد تقريبا لانهائي , ويمكن وصف المسألة كالتالي :
نحن نتعامل مع جسيم كتلته m يتحرك بحرية داخل بئر جهد ذي بعد واحد في المدى
تحت تأثير دالة الجهد التالية :
(7)

8. وهذا يعني أن الجسيم مقيد بالحركة داخل بئر الجهد فقط وتمثل هذه المشكلة حركة إلكترون داخل حيز معين لا يمكن الهرب منه , لذلك فإن احتمال وجود الإلكترون خارج هذا الحيز غير موجود أي يساوي صفرا وبناء عليه فإن الدالة الموجية التي تصف حركة الجسيم خارج المدى ليس لها وجود . ويمكن كتابة معادلة شرودنجر غير الزمنية التي تصف هذا النوع من الحركة على الصورة :
(8)
وحيث أن الدالة إبساي غير موجودة خارج المدى وقيمة الجهد في هذا المدى تساوي الصفر , لذلك فإن معادلة شرودنجر الموجية غير الزمنية (8) تؤول إلى الصورة

9. (9) وحلها يكون على الصورة (10) حيث (10-1)
ولكي يكون الحل (10) مستقرا تاما لابد وأن نطبق عيه شروط الحدود boundary conditions وهي
(11)

10. وبالتعويض بالشرط الأول
نحصل على وبالتالي نجد أن الدالة تصبح على الصورة
(12)
وبالتعويض بالشرط الثاني في 12 نحصل على
(13)
وفي هذه المعادلة لو فرضنا أن الثابت B يساوي صفرا لتلاشت المعادلة وهذا يعني عدم وجود الجسيم في أي مكان , لذا يمكن أن نعتبر أن دالة الجيب المثلثية هي التي تساوي الصفر ولكي يتحقق ذلك لابد وأن يكون
أي أن

11. وبصورة عامة
(14)
وحيث أنه عند القيمة n=0 تصبح الدالة إبساي مساوية للصفر وتنعدم الدالة وبالتالي ينعدم وجود الجسيم لذا يتغير الشرط أعلاه ليصبح
وبذلك تصبح الدالة الموجية على الصورة
(15)
ومن العلاقة (14) نحصل على
(16)

12. كما أنه من العلاقة (10-1) ومن 16 بمساواة المعادلتين نحصل على
(17)
ومن ذلك يتضح أن طاقة الجسيم تأخذ قيما مكممة أي كميات محددة (متقطعة ) , وليست متصلة معتمدة على الرقم الكمي n , كما يلاحظ أنه لايوجد مايسمى بالطاقة صفر , أو السكون لأن العدد الكمي يبدأ من الواحد الصحيح .
والآن للوصول إلى الشكل الكامل للدالة المميزة إبساي يجب معرفة قيمة الثابت فيها وهو مانسميه بثابت المعايرة normalization coefficient ويمكن معرفته من شرط المعايرة كالتالي :
(18)

13. وباستخدام التعويض التالي

14. وبالرجوع للعلاقة 18 واستخدام التعويض أعلاه نحصل على

15. وعلى ذلك فالحل الكامل هو : الدوال المميزة هي
الطاقات المميزة
فهي :
أما كثافة الاحتمال لوجود الجسيم في المدى

16. يوضح الشكل أعلاه الدالة المميزة في جهة اليسار ومن اليمين يوضح كثافة الاحتمالات للجسيم في المدى , وتجدر الملاحظة أن مستويات الطاقة وبالتالي مقدار الفواصل بين هذه المستويات يتناسب عكسيا مع , ولهذا فإن الكتل الكبيرة والمسافات الطويلة تجعل المستويات المميزة بجوار بعضها البعض وكأنها مستمرة , أي أنها تتصرف كلاسيكيا , ويمكن في هذه الحالة تطبيق ميكانيكا نيوتن عليها.ومن الأمثلة التي يمكن تطبيق ميكانيكا الكم عليها وكأنها جسيمات داخل صندوق الإلكترون الحر بداخل بلورة , وكمثال أيضا البروتون داخل النواة .

17. ويعطي حساب مستوى الطاقة الأول دليلا على مدى تباعد مستويات الطاقة , ولهذا يسمى بمعامل تباعد مستويات الطاقة energy levels spacing factor وتمثله المعادلة :
(19)
مثال :
أحسبي مستويات الطاقة لإلكترون داخل بلورة عرضها 1 A , ولكرة صلبة كتلتها 10 gm في صندوق عرضه 10 cm مع إيضاح مدلول النتائج علما بأن

18. الحل :
الإلكترون جسيم له كتلة ويتحرك في بلورة بعدها
وبتطبيق ذلك في علاقة الطاقة المميزة نحصل على

19. وعلى هذا فإن مستويات الطاقة المميزة للإلكترون بداخل البلورة هي :
ومن الواضح أن معامل تباعد المستويات كبير بحيث يمكن قياسها وتمييزها عن بعضها البعض

20. أما في الحالة الثانية (حالة الكرة ) حيث
نجد أن

21. وتكون مستويات الطاقة المميزة للكرة بالصندوق هي :
ومن الواضح أن معامل تباعد مستويات الطاقة صغير جدا لدرجة عدم تمييزها عن بعضها , ولكي تتخيل وصول الكرة إلى مستوى كمي يصل إلى المستوى الأرضي للإلكترون , فلا بد من وصول الكرة إلى عدد كمي حوالي n= وهو رقم خيالي , لذلك فإن حركة الكرة تظهر وكأنها حركة مستمرة

22. ولو حاولنا تخيل سرعة الكرة في المستوى الكمي الأول أي عند :
وهي بالطبع سرعة لا يمكن تمييزها عن حالة السكون , لأن السرعات المعتادة للكرة تكون في حدود ~m/sec ولعل هذا المثال يوضح سبب نجاح ميكانيكا نيوتن في تفسير الظواهر والمشاهدات اليومية.

23. تمرين (2) :
أحسبي معامل تباعد مستويات الطاقة للإلكترون داخل بلورة عرضها 2انجستروم
, وللبروتون بداخل النواة , ولجزيء النيتروجين في صندوق طوله 10سم علما بأن