1. Znanstveni kolokvij o univerzalnom krigiranju
Predavač: Ivana Mesić Kiš, dipl.ing.
Mentor: Tomislav Malvić, izv.prof.
Zagreb, 15. siječnja 2016.

2. SADRŽAJ Uvodni dio – općenito o krigingu Variogramska analiza
Metoda običnog kriginga
Metoda univerzalnog kriginga
Područje analizirano metodama OK i UK
Primjena metode OK
Primjena metode UK
Usporedba metoda postupkom krosvalidacije
Zaključci

3. 1. Kriging
Metoda kriginga predstavlja naprednu statističku metodu procjene i jednu od najčešćih determinističkih interpolacijskih metoda
Linearnost procjene dana je izrazom:
Vrijednosti varijable na odabranoj lokaciji (Zk) procjenjuju se na temelju postojećih okolnih vrijednosti (Zi)
Svakom podatku pridružen je i odgovarajući težinski koeficijent (λ)

4. gdje su: 1. Kriging Najčešće tehnike:
jednostavni kriging
obični kriging
indikatorski kriging
univerzalni kriging
disjunktivni kriging
Kod jednostavnog kriginga matrična jednadžba glasi:
gdje su:
ɣ- vrijednost semivariograma na udaljenosti dviju točaka;
λ - težinski koeficijent za lokaciju 'i';
Z1,...Zn - mjerene vrijednosti u točkama.

5. 2. Variogramska analiza
Variogram (2ɣ) je jedan od temeljnih geostatističkih alata koji služi za određivanje prostorne zavisnosti
Matematički se izražava jednadžbom:
gdje je:
2γ(h) - vrijednost variograma;
N(h) - broj parova podataka uspoređenih na udaljenosti ‘h’;
zn - vrijednost na lokaciji ‘n’;
zn+h - vrijednost varijable na lokaciji udaljenoj za 'h' od promatrane lokacije 'n'.

6. 2. Variogramska analiza
Parametri semivariograma

7. 2. Variogramska analiza
Sljedećim jednadžbama se određuje ponašanje varijable određene odabranim teorijskim modelom:
Teorijski modeli

8. 3. Metoda običnog kriginga
Najčešće upotrebljavana tehnika kriginga
Minimiziran je iznos varijance kriginga pomoću linearnog vanjskog parametra, nazvanog Lagrangeov faktor (μ)
Matrična jednadžba tehnike običnog kriginga glasi:
gdje su:
γ- vrijednost variograma;
z1....zn - stvarna vrijednost na lokaciji 1 do n;
x - lokacija u kojoj se procjenjuje nova vrijednost;
μ - Lagrangeov faktor.

9. 4. Metoda univerzalnog kriginga
Kriging pretpostavlja kako se varijabla Z može prikazati kao zbroj determinističke komponente m(x) (trenda) i stohastičke komponente R(x) jednadžbom:
Metoda univerzalnog kriginga pretpostavlja kako sredina ima funkcionalnu ovisnost o prostornom položaju te se može aproksimirati odgovarajućim modelom oblika:
gdje je
a1 l-ti koeficijent koji će biti procijenjen iz skupa podataka,
fl je l-ta osnovna funkcija prostornih koordinata koje opisuju prostorni trend (engl. drift), a
k je broj funkcija upotrijebljenih pri modeliranju prostornog trenda

10. 4. Metoda UK
Sredina može biti funkcija koordinata X i Y u linearnom, kvadratnom ili drugom obliku
Tako na primjer vrijednost varijable Z na lokaciji s može biti izražena kao:
ili
Procijenjena vrijednost Z(s0) na lokaciji s0 će biti linearna kombinacija promatranih Z(si), i = 1, n vrijednosti:

11. 4. Metoda UK
Jednadžba univerzalnog kriginga na primjeru linearnog trenda u obliku matrice dana je jednadžbom: =

12. 4. Metoda UK
Postupak uporabe univerzalnog kriginga može se opisati kroz sljedeće korake:
potrebno je razumjeti zašto određeni trend postoji,
potrebno je uporabiti jednostavan oblik trenda ukoliko je moguće;
nakon odabira trenda on se oduzima od promatranih podataka koji se svode na „ostatke“ (engl. residuals);
zatim se ti ostatci koriste za izračun variograma te prostornu procjenu;
na kraju se toj procjeni ponovno dodaje trend i dobiva završna karta.

13. 5. Područje analizirano metodama OK i UK
Položaj polja Šandrovac (modificirano prema Novak Zelenika i Malvić, 2011)

14. 5. Područje analizirano metodama OK i UK
Strukturna karta Bjelovarske subdepresije po plohi EK-markera Z' (Malvić, 2011) i položaj polja Šandrovac

15. 5. Područje analizirano metodama OK i UK
Ulazni podatci za izradu karata dubina metodama OK i UK:
Gauss – Krueger (X)
Gauss – Krueger (Y)
Dubina [m] (Z)
1120
1200
1150
1280
1240
950
1000
880
1300
1040
1320
1430
1500
1520
1700
1480

16. 6. Primjena metode OK
u Variowinu je napravljena karta variogramske površine za varijablu „dubina“ uz parametre:
X: veličina ćelije: 1000 broj ćelija: 6
Y: veličina ćelije: 1000 broj ćelija: 6

17. 6. Primjena metode OK

18. 6. Primjena metode OK
Eksperimentalni variogram i Gaussov variogramski aproksimacijski model polja Šandrovac za varijablu „dubina“ i glavnu os pružanja 135°-315° dobiveni su uz sljedeće parametre:
odstupanje 0
doseg 2280
prag 45000

19. 6. Primjena metode OK
Eksperimentalni variogram i Gaussov variogramski aproksimacijski model polja Šandrovac za varijablu „dubina“ i sporednu os pružanja (45°-225°) dobiveni su uz sljedeće parametre:
odstupanje 2300
doseg 4000
prag 33120

20. 6. Primjena metode OK
Karta dobivena običnim krigingom za varijablu „dubina“ u polju Šandrovac

21. 7. Primjena metode UK

22. 7.1. Višestruka regresijska analiza
Regresijska analiza predstavlja statistički postupak za procjenu odnosa među varijablama s ciljem utvrđivanja statističke ovisnosti
Ako nezavisna varijabla X ima vrijednosti x1,...., xn, a zavisna varijabla y1,..., yn, odnos između dvije varijable X i Y može se prikazati preko modela:
gdje je
f(x) regresijska funkcija,
e1, ,en nezavisne slučajne varijable.

23. 7.1. Višestruka regresijska analiza
Opći model višestruke regresije je:
ili
Ukoliko se pretpostavi kako je veza između zavisne i nezavisnih varijabli linearna, model iz gornje jednadžbe je model višestruke linearne regresije:

24. 7.1. Višestruka regresijska analiza
Procjena koeficijenata β dobije se iz rješenja normalnih jednadžbi metode najmanjih kvadrata:

25. 7.1. Višestruka regresijska analiza
Iz tablice su dobiveni su sljedeći podatci:

26. 7.1. Višestruka regresijska analiza
Uvrštavanjem dobivenih konkretnih vrijednosti u normalne jednadžbe dobije se:
Rješavanjem navedenih sustava jednadžbi dobiju se koeficijenti linearne regresije:
što znači da je procijenjena regresijska jednadžba:

27. 7.1. Višestruka regresijska analiza
y, dubina
x1, x koordinate
x2, y koordinate ŷi ei e2 1
1120
1051,118152
68,
4744,709 2
1200
1231,105511
-31,
967,5528 3
1150
1120,931916
29,
844,9535 4
1280
1351,94621
-71,
5176,257 5
1240
1260,559444
-20,
422,6907 6
950
854,
95,
9045,657 7
1000
1077,785912
-77,
6050,648 8
880
921,
-41,
1757,197 9
1147,599676
-27,
761,7421 10
1212,079888
-12,
145,9237 11
1300
1346,373864
-46,
2150,535 12
1040
1104,453672
-64,
4154,276 13
1320
1279,107479
40,
1672,198 14
1430
1385,221212
44,
2005,14 15
1500
1449,701424
50,
2529,947 16
1520
1491,334944
28,
821,6854 17
1700
1714,229514
-14,
202,4791 18
1480
1429,640905
50,
2536,038
Suma
22430
45989,63

28. 7.1. Višestruka regresijska analiza
Vrijednosti varijable „ostatci“ dobivene u Excelu

29. Na konkretnom primjeru može se izračunati i procjena varijance prema sljedećoj jednadžbi:
gdje je
SSE – suma kvadrata odstupanja empirijskih vrijednosti varijable y od (odstupanja ne protumačena modelom), ili u tablici 7.6. suma od e2,
n – broj podataka,
p – broj parametara, u našem slučaju 3 (dubina, x i y koordinate).

30. Dobivena vrijednost služi nam kako bi izračunali koeficijent varijacije regresije:

31. 7.2. Variogram reziduala
Iz ostataka dobivenih višestrukom linearnom regresijom dobivena je variogramska površina u programu Variowin prikazana uz sljedeće parametre:
X: veličina ćelije: 800 broj ćelija: 5
Y: veličina ćelije: 800 broj ćelija: 5

32. 7.2. Variogram reziduala
Eksperimentalni variogram i sferni variogramski aproksimacijski model polja Šandrovac za varijablu „ostatci (residuals)“i glavnu os pružanja (135°-315°), dobiveni su uz sljedeće parametre:
odstupanje 0
doseg 1638
prag 2450

33. 7.2. Variogram reziduala
Eksperimentalni variogram i sferni variogramski aproksimacijski model polja Šandrovac za varijablu „ostatci (residuals)“i sporednu os pružanja (45°-225°), dobiveni su uz sljedeće parametre:
odstupanje 0
doseg 2280
prag 2470

35. Karta dobivena univerzalnim krigingom za varijablu „dubina“ u polju Šandrovac

36. 8. Usporedba metoda postupkom krosvalidacije
gdje je:
MSE = srednja kvadratna pogrješka (kros-validacija) procjene odabrane metode;
izmjerena vrijednost = izmjerena vrijednost odabrane varijable na bušotini 'i';
procjena = procijenjena vrijednost odabrane varijable na bušotini 'i'.
metoda procjene koja ima nižu vrijednost krosvalidacije predstavlja metodu s manjom pogrješkom, odnosno bolju metodu za pojedinačni slučaj

37. Rezultati krosvalidacije metode OK:
kvadratna pogrješka varijable „dubine“ 29269;
korijen srednje kvadratne pogrješke varijable „dubine“ 171;

38. Rezultati krosvalidacije metode UK:
kvadratna pogrješka varijable „dubine“ 3473;
korijen srednje kvadratne pogrješke varijable „dubine“ 59;

39. 9. Zaključci
Interpolacija krigingom daje vrlo preciznu procjenu vrijednosti varijabli te je uglavnom najprecizniji interpolacijski deterministički algoritam.
Nedostatak je što zahtijeva pouzdan variogramski model.
Dubinskogeološke karte često pokazuju trend u ulaznim podatcima pa je preporučljivo koristiti UK u odnosu na OK.
UK je preporučljivo koristiti i u slučaju kada zavisna varijabla ne ispunjava uvjet stacionarnosti drugog reda potrebnog za većinu tehnika kriginga.
Kada se opisuje neka «lokalna» pojava, najčešće strukturna, ova tehnika bi trebala biti primjenjena te rezultat uspoređen s drugim tehnikama kriginga i tada odlučujemo hoćemo li ju koristiti za predmetni zadatak.

40. Literatura
Davis, J.C. (1973): Statistics and Data Analysis in Geology. Wiley, New York, 550 p.
Isaaks, E. & Srivastava, R. (1989): An Introduction to Applied Geostatistics, Oxford University Press Inc., New York, 561 p.
Kastelec, D. & Košmelj, K. (2002): Spatial interpolation of mean yearly precipitation using universal kriging. In: Mrvar, A. and Ferligoj, A. (eds) Developments in Statistics, FDV, Ljubljana, Slovenia,
Kumar, V. (2007): Optimal contour mapping of groundwater levels using universal kriging – a case study, Hydrological Sciences Journal, 52 (5), DOI: /hysj
Malvić, T. (2003): Naftnogeološki odnosi i vjerojatnost pronalaska novih zaliha ugljikovodika u Bjelovarskoj uleknini, Doktorska disertacija (Sveučilište u Zagrebu, Rudarsko-geološko-naftni fakultet, 123 p.
Malvić, T. (2011): Geological maps of Neogen sediments in the Bjelovar Subdepression (northern Croatia), Journal of Maps, 7 (1), 304 – 317.
Malvić, T., Cvetković, M. & Balić, D. (2008): Geomatematički rječnik (HGD, Zagreb, 77 p.
Malvić, T. & Balić, D. (2009): Linearity and Lagrange Linear Multiplicator in the Equations of Ordinary Kriging, Nafta, 59 (1),
Mesić Kiš, I. & Malvić, T. (2014): Zonal estimation and interpolation as simultaneous approaches in the case of small input data set (Šandrovac Field, Northern Croatia), RGN Zbornik, 29 (1), 9-16.
Novak Zelenika, K. & Malvić, T. (2011): Stochastic simulations of dependent geological variables in sandstone reservoirs of Neogene age: A case study of the Kloštar Field, Sava Depression, Geologia Croatica, 64 (2),
Zornjak, D. (2009): Poroznost i propusnost ležišnih stijena u Savskoj i Dravskoj depresiji, Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Rudarsko-geološko-naftni fakultet, Studij naftnog rudarstva, 54 p.