1. قصر 216: ”تحليل كمي تطبيقي“ “Applied Quantitative Analysis” شعبة XXXX
قسم الاقتصاد الزراعي
كلية علوم الأغذية والزراعة
جــــــــامعة الملك سعود
قصر 216: ”تحليل كمي تطبيقي“ “Applied Quantitative Analysis” شعبة XXXX
د. كمال الدين علي بشير ابراهيم
محاضرات
الفصل الأول 1438/1437

2. Fac.ksu.edu.sa/kbashir

3. السرقة العلمية / الاقتباس / القص / اللزق/ الأمانة العلمية / حقوق الملكية الفكرية / plagiarism

6. The … Internet: to trust or not?
من منا لا يستخدمها للبحوث واستقاء المعلومات ؟ لا أحد .
القاعدة والنصيحة الذهبية هنا: خذ أي معلومة ( مطلقا) منها بشىئ من الحذر!! استصحب هذه الاحتياطات:
استخدم مصادر متعددة وليس واحدا
بحيث تعضد المعلومة من أكثر من مصدر
على أن تكون هذه المصادر مستقلة عن بعضها! كيف؟
في حالة بعض المصادر «المفتوحة» والتي تسمح بالنقل وإعادة النشر مثل Wikipedia
في حالة السرقات والنسخ المخالف لقواعد الملكية الفكرية
في الحالتين أعلاه سوف تأخذ نفس المعلومة على أساس أنها من مصدرين مختلفين لكن في الحقيقة؟؟

7. تابع: Books vs. Internet
قد تكون الكتب أكثر مصداقية؟؟؟
لكن ال Internet :
أكثر مواكبة
أكثر تفصيلا
أسهل أيسر؟

8. Summary Slide
الأساليب الكمية والكيفية: مالفرق؟ َQuantitative Qualitative Methods
الأساليب الكيفية
التحليل الكيفي في الاقتصاد
الأساليب الكمية
مرتكزات التحليل الكمي

9. Summary Slide (cont.) الاساليب الكمية / الكيفية: مقارنة
علم الإحصاء والتحليل الكمي
أقسام الأساليب الكمية
النمذجة (البرمجة) الرياضية
النمذجة القياسية / الاحصائية
الأساليب الكمية تطبيقيا
بيانات وعينات الدراسات السوقية

10. Summary Slide (cont.) عينة الدراسة العينات وأنواعها
(1)العينات العشوائية
العينة العشوائية البسيطة
العينة العشوائية المنتظمة:
العينة العنقودية (متعددة المراحل)
العينة الطبقية

11. الأساليب الكمية والكيفية: مالفرق؟ َQuantitative Qualitative Methods
ما هي الأساليب الكمية وما هي استخداماتها وما هي نقاط القوة والضعف فيها؟
ما هي الأساليب الكيفية وما هي استخداماتها وما هي نقاط القوة والضعف فيها؟
متي نستخدم كل؟ وأيهما أفضل؟

12. الأساليب الكيفية
طرق تجمع بين مرتكزات (في مختلف فروع المعرفة:( الاجتماع / علم النفس /الاقتصاد...) وتهدف الي فهم متعمق للسلوك البشري (وربما غير البشري).
يراد من هذه الأساليب الوصول الي الأسباب وراء سلوك معين؛ أي الإجابة علي: لماذا ؟ وكيف؟
في الغالب لتحقيق ذلك يتم استخدام وسائل مثل: دراسة ”عينة“ صغيرة / المشاركة في الأحداث / المراقبة / المعاينة المركزة / فحص المستندات والمدونات ...

13. تابع: الأساليب الكيفية
التحليل الكيفي في الغالب يلجأ اليه في الدراسات الاستكشافية.
علي ضوء نتائج التحليل الكيفي يمكن: المضي قدما أو لا
من تطبيقات الأساليب الكيفية: دراسة اطلاق منتج جديد في السوق ومعرفة تقبل المستهلك له ومدي قدرة المنتج علي اختراق السوق وسط المنافسة القائمة؟ كيف يمكننا عمل ذلك؟
هل يمكن الاعتماد علي نتائج التحليل الكيفي؟
ماذا عن غياب البعد الكمي: الدقة في النتائج؟

14. تابع: الأساليب الكيفية
ما هي أوجه القصور الأخرى في الأساليب الكيفية؟
هل يمكن تعميم النتائج؟

15. التحليل الكيفي في الاقتصاد
يختلف هذا المفهوم عن ما سبق عن أساليب التحليل الكيفي
عبارة عن تحليل اقتصادي يعني باتجاه ( وليس بمقدار) التغير في متغير ما
الغرض تحديد العلاقة ”نظريا“ بين متغيرين: هل هي طردية أم ايجابية
مثل هذا التحليل مكون رئيس في الاقتصاد الكلي والجزئي يعرف بـ: Comparative statics
مثال ذلك:

16. مثال: كيف يتأثر إنفاق المستهلك علي سلعة ما بمرونة الطلب؟

17. تابع التحليل الكيفي في الاقتصاد
ما لعلاقة بين ”أداء سوق الأسهم“ و ”الأسعار في سوق العقار“
ما لعلاقة بين ”الناتج الإجمالي الكلي“ وبين كل من ”الضرائب“ و ”عرض النقود“؟
مثل هذا التحليل مكون رئيس في الاقتصاد الكلي والجزئي يعرف بـ: Comparative

18. مثال آخر f (x, p) = 0 for all x, f '1(x, p)dx + f '2(x, p)dp.
dx /dp = −  f 2'(x, p) / f 1'(x, p) .

19. Relationship between Marginal Cost and Average Cost Functions
example:

20. Applications To Comparative-static Analysis: Market Model

21. Applications To Comparative-static Analysis: Market Model
Four partial derivatives:
Conclusion:

22. Applications To Comparative-static Analysis: National Income Model

23. Applications To Comparative-static Analysis: National Income Model

24. أرقام مرعبة!

25. الأساليب الكمية
تقدير مؤشرات كمية من واقع البيانات وباستخدام معادلات وعلاقات رياضية.
يحاول الاجابة علي أسئلة من نوع: كم؟ كم مرة ؟ ما مدي قوة.....؟ ما نسبة؟ هل محددات السلوك قادرة علي التنبؤ به بصورة معنوية؟
نحتاج لكثير من المعايير الكمية لاتخاذ القرارات التسويقية
عادة ينطوي علي أخذ عينة ”ممثلة“ بحجم ”معقول“.
يتطلب إجراء استبيان لجمع بيانات ”كمية / يمكن معاملتها ككمية“

26. تابع : الأساليب الكمية
تصميم الاستبيان مهم ويستحسن الاستعانة بذوي الخبرة.
من القضايا المهمة هنا: العينة / وضوح الأسئلة / صلاحية المقاييس / تجريب الاستبيان / امكانية الاعتماد علي المتغيرات.....
توجد طرق عدة للمعاينة: شخصية / بالبريد / التلفون / علي الشبكة
هل تري فوارق بين هذه الطرق؟ هل تتأثر نتائج الدراسة بالطريقة التي تختارها؟

27. تصميم الاستبيان

28. تقييم ومقارنة بين الطرق المختلفة
تمرين (1) : خمس (5) درجات sun13/9/2015/. هل تري فوارق بين هذه الطرق؟ هل تتأثر نتائج الدراسة بالطريقة التي تختارها؟
الدرجة/5
المقدم
الطريقة
Mohd fagih
البريد
Faisal otaibi
الشخصية
Walid alzamil
التلفون
Omer a/aziz
الشبكة
Fahad almaliki
تقييم ومقارنة بين الطرق المختلفة
Mohd alfaraj
إدارة الحوار

29. مرتكزات التحليل الكمي ترتكز عملية التحليل الكمي علي:
وجود نظرية اقتصادية محددة
جمع بيانات ممثلة للمجتمع عن الظاهرة محل الدراسة
استخدام الأدوات المناسبة لتقدير مؤشرات كمية
استخدام المؤشرات لتفسير الظاهرة / اتخاذ القرار المناسب
وربما التنبؤ بالمستقبل من واقع المؤشرات التي قمنا بتقديرها.

30. أي الاسلوبين تفضل ؟؟ للإجابة علي هذا السؤال، نسأل:
ما هي مزايا الأساليب الكمية؟
ما هي عيوبها؟
ما هي مزايا الأساليب الكيفية؟

31. الاساليب الكمية / الكيفية: مقارنة
استبيان
معاينة مجموعات صغيرة بعمق
نختبر فروض بنظرية معينة
نريد بناء نظرية جديدة
أكثر موضوعية
أكثر ذاتية (آراء المستطلعين)
تعتمد علي الأرقام
لفظية / وصفية
التغطية أهم من العمق
العمق أهم من التغطية
تستخدم الاختبارات الاحصائية
لا تستخدم الاختبارات الاحصائية
وقت أكثر للتخطيط أقل للتحليل
وقت أقل للتخطيط أكثر للتحليل
يسهل تعميم النتائج
يصعب تعميم النتائج
الأسئلة: مغلقة، ردود محددة
الأسئلة مفتوحة

32. العمليات الجبرية للأسس والكسور وتطبيقاتها
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم

33. الأسس:powers
عملية رياضية توضح عدد المرات التي يضرب فيها العدد في نفسه.
يتكون المقدار الأسي من شقين: الأس و الأساس
في المقدار الأسي يكون الأساس مرفوعا للأس (القوى) أي أن الأساس يكون مضروبا في نفسه بقدر الأس
يمكن للأس أن يكون:
عدد صحيحا موجبا أو سالبا
كسرا (مقدارا نسبيا)

34. تابع

35. هذأ يبدو سهلا حتى الآن

36. تابع

37. تابع أو ويمكن تعميم تعبير المقدار ألأسي من المثال السابق بــ:
(سن ) وتعني ؟؟؟ أو
(س- ن ) وتعني؟؟

38. الجذور roots/radicals:

39. تابع لا حظ أنه يمكننا أيضا استخدام اللوغاريثمات للحصول على قيمة الأس:
ص = (سن )
إذا :اللوغاريثم هو ؟ الأس
لوس ص = ن

40. مثال الأس exponent 125 = الأساس base لوغاريثم (لو) 125 للأساس 5 = 3
لو = 3

41. المقادير الجبرية algebraic expressions
أية تشكيلة من الأعداد والرموز والمرتبطة فيما بينها بعمليات جبرية أساسية ويسمى كل جزء منفصل (الفواصل هي علامات سالب أو موجب ) حدا في المقدار الجبري.
أمثلة: x/y x2 +⅖y + ⅞z – 5+ مقدار جبري يتكون من (4) حدود.
لاحظ أن (5) مقدار ثابت
أمثلة أخرى؟؟؟

42. تطبيقات المقادير الجبرية
للمقادير الجبرية تطبيقات مهمة في مجال علم الاقتصاد والعلوم الاجتماعية والانسانية الأخري:
تستخدم الدوال (functions) كعلاقة تربط المتغيرات التابعة (التي تتأثر بالتغيرات المستقبلية) والمتغيرات المستقلة (العناصر المؤثرة في غيرها).

43. Exponential functions العلاقات (الدوال) الأسية
هنا يظهر المتغير المستقل في صورة أس أو قوة بينما المقدار الثابت هو الأساس.
الصورة العامة: ص = د(س) = نس
ص = المتغير التابع
س = المتغير المستقل
ن = الأساس، ن > 1

44. ص = د(س)؟؟ هذه الصيغة العامة لكتابة مقدار جبري من هذا النوع
ص = د(س) أي أن (ص) دالة في (س)
أي أن ص معبر عنها بدلالة (س)
أي أنه توجد علاقة من نوع ما بين (ص) و (س)
بهذا التعبير }ص = د(س){ نحن نقول أنه توجد علاقة ولكننا لا ندري كنهها
هذا التعبير يصف أية علاقة يمكنك تخيلها بين (ص) و (س)، مثلا:
ص=2س، ص= س2 ، ص=20س+30س2 +40س3 ، و...و...و؟؟؟؟؟

45. قواعد الأسس
الأس (كما سلف) هو عدد المرات التي يضرب
فيها الأساس في نفسه
x مضروبة في نفسها n مرة

46. (2) الضرب: عند ضرب حدود (مقادير جبرية) أسية بنفس الأساس نجمع الأسس (ونحتفظ بالأساس).
آها، عند ضرب مقادير لنفس الأساس أقوم بجمع الأس للأساس المشترك !

47. (3) القسمة: عند ضرب حدود (مقادير جبرية) أسية بنفس الأساس نطرح الأسس (ونحتفظ بالأساس).
آها، عند ضرب مقادير لنفس الأساس أقوم بطرح الأس للأساس المشترك !

48. أمثلة

49. الحلول

50. الحلول

51. (4)أس الأس: عند رفع مقدار أسي لأس نضرب الأس في بعضها
يعني عند رفع مقدار أسي لأس آخر أقوم بضرب الأسس في بعضها!

52. (5) الأس لمضروب مقدارين (حدين): الأس لمضروب مقدارين هو مضروب المقدارين مرفوعين لذلك الأس.
ها عند رفع المضروب لأس تكون النتيجة مضروب المقدارين بعد رفع كل منهما للأس المشترك!

53. (5) الأس لحاصل قسمة مقدارين (حدين): الأس لحاصل قسمة مقدارين هو حاصل قسمة المقدارين مع رفع كل منهما لذلك الأس.
ها عند رفع حاصل القسمة لأس تكون النتيجة حاصل قسمة المقدارين بعد رفع كل منهما للأس المشترك!

54. أمثلة

55. الحلول

56. SOLUTIONS

57. (7) المعكوس لأس سالب: الأساس مرفوعا لأس سالب يساوي معكوس الأساس مرفوعا لنفس الأس بالموجب
يعني إذا كان عندي أساس مرفوع لأس سالب آخذ معكوس ذلك الأساس مرفوعا لنفس الأس بالموجب__والعكس صحيح: إذا كان الأساس المرفوع لأس سالب موجودا بالمقام أحوله للبسط مع عكس علامة الأس!

58. (8) الأس الصفري: أي أساس مرفوع للقوة صفر يساوي واحدا.
اوكي اذا رفعت اي اساس لأس صفري تكون النتيجة واحد!

59. أمثلة

60. الحلول

61. الحلول

62. خواص أخرى للجذور (1) (after slide 37)
حاصل ضرب جذرين بنفس الدليل (n) لمقدارين (x) , (y) يساوي جذر مضروب المقدارين لذلك الدليل، مثلا:

63. (2)
حاصل قسمة جذرين بنفس الدليل (n) لمقدارين (x) , (y) يساوي جذر مضروب المقدارين لذلك الدليل، مثلا:

64. إذا كانت (n) عددا زوجيا
إذا كانت (n) عددا فرديا

65. Test 1 upto here 1/11/2015

66. حل مسائل العلاقات الأسية: أساسيات
في حالة الضرب والقسمة:
حلل الاساسات الى عواملها الأولية (2،3،5,...).
ادمج الاساسات المتشابهة في أساس واحد متبعا القوانين السالفة.
اختصر المقدار
في حالة الجمع والطرح:
حلل الاساسات الى عواملها الأولية (2،3،5,...).
فك الاقواس وتخلص من الجذور متبعا القوانين السالفة).
ادمج الاساسات المتشابهة في أساس واحد متبعا القوانين السالفة.
استخرج عامل مشترك باصغر اس.
اختصر المقدار

67. أمثلة (1):
يبلغ مصروفك الشهري 1000 ريال فإذا كان انفاقك على تسليتك المفضلة (Bowling?) هو:
أحسب قيمة انفاقك على هذه اللعبة.

68. الحل باتباع الاساسيات السالفة:
اولا نفكك مقادير كل من البسط والمقام الى عواملها الاولية:
نأخذ عامل مشترك لكل من البسط والمقام:

69. نختصر:
وبذا يكون انفاقك على لعبتك المفضلة: = 1/4*1000= 250 ريال

70. مثال(2): مصروف محمد الشهري ألف ريال بينما يحصل أحمد على
ألف ريال، أي المصروفين أكبر؟
مصروف محمد الشهري
الحل:

71. تطبيقات اقتصادية: المنفعة الكلية/الحدية توازن المستهلك
يطلب الفرد السلع المحددة بهدف اشباع حاجاته ورغباته أي بهدف الحصول على المنفعة التي تحصل باستهلاك السلع.
يمكن قياس المنفعة المتحصلة من الاستهلاك بــ“وحدات المنفعة“.
يميز الاقتصاديون بين نوعين من المنفعة:
المنفعة الكلية (Total Utility) (TU):
“مجموع المنفعة التي يحصل عليها المستهلك نتيجة استهلاك كمية معينة من سلعة أو خدمة ما.”
المنفعة الحدية (Marginal Utility) (MU)
”معدل التغير في المنفعة الكلية نتيجة تغير الكمية المستهلكة بوحدة واحدة، أي: منفعة الوحدة الأخيرة أو الوحدة الاضافية“.

72. اذا رمزنا للكمية (Quantity) بالرمز(Q) يمكن التعبير عن المننفعة الحدية عند الوحدة النونية (n)كالتالي:
حيث ∆ تعني التغير

73. لاحظ عندما تتغير الكمية بوحدة واحدة تكون المنفعة الحدية كالتالي:

74. مثال:الجدول يمثل المنافع المتحصلة (بالوحدة) جراء استهلاك سلعة ما:
المنفعة الحدية
المنفعة الكلية
الكمية المستهلكة - 3 1
2.5
5.5 2
7.5
1.5 9 4 10 5
0.5
10.5 6 7
-0.5 8
ماهي ملاحظاتك على قيم المنفعة الكلية؟الحدية؟ أية علاقات بينهما؟

75. تتزايد المنفعة الكلية لكن بمعدل متناقص؟ كيف وأين نقرأ ذلك في الجدول؟
أقصى مستوى للمنفعة عند 7 وحدات للسلعة؛ ثم تتناقص بعد ذلك.
تتناقص المنفعة الحدية؛ تصبح صفرا ثم تصير سالبة بعد ذلك.
عندما تكون المنفعة الحدية صفلرا تكون المنفعة الكلية عند أقصى حد لها.
العلاقة بين المنفعة الكلية والكمية المستتهلكة طردية الى حد (؟) ثم تصير عكسية.

76. معدل الزيادة (؟؟) في المنفعة الكلية --الناتج عن زيادة استهلاك سلعة ما– يتناقص كلما زادت الوحدات المستهلكة– هذا ما يعرف بــ «قانون تناقص المنفعة الحدية Law of Diminishing Marginal Utility»

77. مثال من الجدول السابق : أحسب المنفعة الحدية عند استهلاك: 3 وحدات؟
6 وحدات؟
الحل: من القانون:
عوض n=3; n=6 :

78. توازن المستهلك
يتحقق توازن المستهلك عند حصوله على أقصى منفعة ممكنة في حدود دخله.
يشترط عند التوازن:
المنفعة المكتسبة = الثمن المدفوع مقابلها
المنفعة الحدية = الثمن
MU=P
أي:
P=price

79. لاحظ أن هذا يعتبر توازنا إذ أن أي تغيير بعيدا عنه في أي اتجاه لن يكون مرضيا للمستهلك:
MU>P
في هذه الحالة المنفعة الحدية تفوق الثمن المدفوع (يوجد فائض) والأفضل للمستهلك أن يستمر في شراء وحدات اضافية من السلعة
MU< P
في هذه الحالة المنفعة الحدية أقل من الثمن الدفوع (توجد خسارة) والأفضل للمستهلك أن يتوقف ويقلل الوحدات االمشتراة من السلعة

80. مثال هذه بيانات لمستهلك ما بين توازن هذا المستهلك
كيف يتأثر المستهلك إذا فرضت الدولة ضريبة استهلاك قدرهها ثلاثة ريال على الوحدة الواحدة؟
متى يحقق المستهلك فائضا/خسارة؟ أحسب كل من الفائض والخسارة؟ 8 7 6 5 4 3 2 1
الوحدات المشتراة 13 14 15 16 17 18 19 20
المنفعة الحدية (ريال)
الثمن (ريال)
الثمن بعد الضريبة

81. أي عند استهلاك 6 وحدات من السلعة
الحل
يتحقق التوازن عند:
يتحقق فائض للمستهلك (Surplus)عند:
ويتحقق خسارة (Loss)للمستهلك عند:
MU=p=15
أي عند استهلاك 6 وحدات من السلعة
MU >15
إي عند شراء الوحدات من (1) إلى (5)
MU <15
إي عند شراء الوحدات من (7) إلى (8)

82. حساب الفائض: يمكن حساب الفائض للمستهلك من المعادلة:
يمكن حساب الخسارة للمستهلك من المعادلة:

83. من المثال السابق: حساب الفائض والخسارة قبل الضريبة:8 7 6 5 4 3 2 1
الوحدات المشتراة 13 14 15 16 17 18 19 20
المنفعة الحدية (ريال)
الثمن (ريال)
الثمن بعد الضريبة
الفائض= (20-15)+(19-15)+(18-15)+(17-15)+(16-15)=15 ريال
الخسارة= (14-15)+(13-15)= -3 ريال
حساب الفائض والخسارة قبل الضريبة:

84. من المثال السابق:
أحسب الفائض والخسارة بعد الضريبة؟؟؟

85. تطبيقات اقتصادية:قانون Pareto لتوزيع الدخل
حيث: N هو عدد الافراد الذين يزيد دخل كل منهم عن x وحدة نقد في المجتمع
A هو عدد سكان المجتمع
α معامل ثابت ويساوي ≈ 1.5
لاحظ أن هذه معادلة في مجهولين: N و x متى ما عرف احدهما يمكن
بسهولة ايجاد الآخر

86. مثال: لمجموعة معينة وجد أن قانون Pareto لتوزيع الدخل هو:
احسب عدد المليونيرات في ذلك المجتمع؟
أحسب عدد الأفراد الذين يتراوح دخلهم بين 3600 و ريال
ماهو أقل دخل بين أغنى 80 فردا في هذا المجتمع؟

87. الحل عدد المليونيرات أي عدد الأفراد الذين يفوق دخلهم المليون: مليونير
عدد الأفراد الذين يفوق دخلهم 3600 ريال:
عدد الأفراد الذين يفوق دخلهم ريال:
مليونير
شخص
شخص

88. = شخص
بالتالي يكون عدد الأفراد الذين يتراوح دخلهم بين 3600 و ريال:
أقل دخل بين أغنى 80 فردا في هذا المجتمع:
ريال

89. تطبيقات اقتصادية:الانتاج الكلي/المتوسط/الحدي
الانتاج الكلي :(TP)Total Product :الانتاج الناتج من استخدام كل عناصر الانتاج
الانتاج الحدي Marginal Product (MP)
هو مقدار التغير في الانتاج الكلي إذا تغيرت وحدات العنصر المتغير بوحدة واحدة
الانتاج المتوسط Average Total Product (ATP)
متوسط انتاجية العنصر المتغير أي الاانتاج الكلي مقسوما على عدد وحدات العنصر المتغير

90. إذا رمزنا للانتاج بـ (Y) وللعنصر المتغير بـ (x):

91. مثال
معطي:
احسب كلا من الانتاج المتوسط والحدي عند وحدات العنصر المتغير: 4؛7؛ 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 13 15 16 y

92. تطبيقات اقتصادية:الايراد الكلي/المتوسط/الحدي
الايراد الكلي :(TR)Total Revenue :اجمالي عائدات الوحدة الانتاجية من بيع منتجاتها.
الايراد الحدي Marginal Revenue (MR)
هو مقدار التغير في الايراد الكلي إذا تغيرت الوحدات المباعة بوحدة واحدة
الايراد المتوسط Average Revenue (AR)
حاصل قسمة الالايراد الكلي على الوحدات المباعة (يساوي سعر الوحدة في حالة المنافسة الكاملة)

93. إذا رمزنا للانتاج بـ (Y) ولسعر الوحدة من الانتاج بـ (p)

94. موقع المادة على شبكة الـ Internet
مادة «التحليل الكمي التطبيقي»

95. النسب والكسور :بعض التطبيقات الاقتصادية
النسب المئوية (percentage--%): تكون في صورة كسر أو عدد بجانب علامة (%) –بالمائة: مثلا: 5% أو 0.05
مثال: حسب لوائح جامعة الملك سعود غياب 25% من المحاضرات يعرض الطالب للحرمان: كم محاضرة يجب أن تغيب لكي تحرم من دخول الامتحان اذا فرض ان الفصل الدراسي به 48 محاضرة؟
0.25x48=12
مثال: يعطي المحاضر خمس درجات حافز حضور وذلك بحسب نسبة حضورك للمحاضرات؛ اذا كانت نسبة غياب أحمد خلال الفصل 10%، كم درجته من حافز الحضور؟
(1 -0.1)x5=0.9x5=4.5
حصل حمد على علاوة انجاز قدرها 15% من راتبه الشهري البالغ 3000 ريال، كم يصير راتبه بعد العلاوة؟
(1+0.15)x3000=3450 SR

96. عمليات الكسور:fractions
الجمع والطرح:
القسمة والضرب:

97. مثال
أجر العمليات التالية

98. الكسور: تطبيقات
الميل slope: هو مقياس للتغير الذي يحدث في المتغير التابع (y) نتيجة للتغير في المتغير المستقل (x) أي مساهمة الوحدة الاضافية من المتغير المستقل. الميل بين أي نقطتين:

99. الميل: الاستهلاك والادخار
دخل (Income (I))المستهلك القابل للصرف يتوزع بين الاستهلاك (Consumption (C))والادخار(Savings (S)):
الزيادة في الدخل تؤدي الى زيادة كل من الاستهلاك والادخار.
من المهم معرفة نسب الزيادة في هذين المتغيرين (لماذا؟؟)
نسبة الزيادة في كل من الاستهلاك والادخار تعتمد على متغيرات كثيرة (مثل ماذا؟؟).

100. الميل الحدي للاستهلاك/الادخار
الميل الحدي للاستهلاك : Marginal Propensity to Consume
التغير اللحظي في الاستهلاك نتيجة تغيير طفيف في الدخل:
الميل الحدي للادخار: Marginal Propensity to Save
التغير اللحظي في الادخار نتيجة تغيير طفيف في الدخل:

101. لاحظ الآتي حول قيم هذين الميلين:
أي زيادة في أحدهما تعني نقصا في الآخر أي أن العلاقة بينهما كالتالي:

102. مثال: فيما يلي بيانات الدخل والادخار القومي لاحدى الدول
الادخار (مليون دولار)
الدخل (مليون دولار)
السنة
1500
2000
2012
3000
4000
2013
أحسب الميل الحدي لكل من الاستهلاك والادخار
الحل:
للعام 2012 الاستهلاك = 2000 – 1500 = 500
للعام 2013 الاستهلاك = 4000 – 3000 = 1000

103. المرونات Elasticities
المرونة (Elasticity (E))هي مقياس لدرجة استجابة المتغير التابع (y) للتغير في المتغير المستقل (x) وتحسب بقسمة التغير النسبي في المتغير المستقل على التغير النسبي في المتغير التابع
مثال: اذا زاد سعر احدى السلع بـ 5% وقل الطلب عليها بـ 3% ،
أحسب مرونة الطلب للسعر

104. مثال
إذا تغير دخل المستهلك (I) من 5 ألف إلى 8 ألف ريال وتغير تبعا لذلك طلبه) (Qd لإحدى السلع من 20 إلى 25 وحدة؛ أحسب مرونة الطلب بالنسبة للدخل؟

105. مثال: من الجدول أدناه أحسب المرونةx y 4 50 2
100 y1 x1 x2 y2

106. ملاحظات على المرونة المرونة من أهم المقادير الاقتصادية على الاطلاق
لا تمييز للمرونة: يمكن مقارنة سلع مختلفة ومناطق جغرافية مختلفة.
كلما زادت القيمة المطلقة للمرونة كانت السلعة أكثر مرونة

107. Test 1: 26/10/2014
Upto here

108. تطبيق: تحويل العملات

109. تطبيق: تحويل العملات
للعملات SR و USD اذا علم سعر صرف احداهما مقابل الاخرى يمكن بسهولة التحويل بينهما.
مثال: اذا كان سعر صرف الريال السعودي أمام الجنيه السوداني، حول ألف جنيه سوداني الى ريالات سعودية.
بالضرب التبادلي:

110. مثال
بلغت رسوم الاشتراك في دورة تدريبية 300 دولار امريكي (USD)؛ من البيانات أدناه احسب قيمة الرسوم بالريال السعودي (SR)و اليورو (€) والين (¥).

111. تطبيق: الزكاة
أودع أحمد 100 ألف ريال في حسابه في 10/محرم 1432 وفي 1/ ذو القعدة 1435تذكر أنه لم يزكى، أحسب مقدار الزكاة الواجبة عليه؟
أولا الزكاة الواجبة 2.5% في السنة
ثانيا مضى ثلاث سنوات لم يزكي فيها أحمد
عليه تكون الزكاة الواجبة: 0.025*100000*3=7500 ريال

112. تطبيق: التحليل المالي
يرتكز التحليل المالي على حساب وتحليل مجموعة من النسب المالية، منها:
تعريفها
النسبة
(صافي الدخل (الربح))/الايراد الكلي)
الهامش الكلي
(صافي الدخل/اجمالي الأصول)
العائد على الأصول
(اجمالي الدين/اجمالي الأصول)
نسبة الدين
(توزيعات الأرباح/صافي الربح)
معدل توزيع الأرباح
(الأرباح المحتجزة/صافي الربح)
معدل الاحتفاظ بالارباح

113. مثال
لاحدى السنوات للمنشأة (س) بلغ صافي الربح 9500 ريال والايراد الكلي ريال واجمالي الاصول ريال كما بلغت الديون المستحقة على المنشاة ريال: أحسب كلا من النسب التالية:الهامش الكلي؛ العائد على الأصول؛ نسبة الدين
أولا: الهامش الكلي =(صافي الدخل (الربح))/الايراد الكلي)
=212560/9500= 0.045
ثانيا:
ثالثا:

114. تطبيق: توزيع التركات (المواريث)
تركت امرأة لورثتها (أب، أم، زوج، أبنان، بنت) مبلغ ريال، كيف يتم توزيعها؟
يراعى التالي: السدس لكل من الأبوين، الربع للزوج، والباقي للأبناء (مع مراعاة للدكر مثا حظ الانثيين).
الحل:
مجموع أنصبة الأبوين والزوج= 1/6+1/6+1/4=7/12
نصيب الأبناء=5/12 (2/12 لكل ولد و 1/12 للبنت)
تقسم التركة لـ 12 سهما: كل سهم = 12/100000=
كل من الأبوين سهممين ( ريال)
الزوج 3 أسهم (25000 ريال)
كل ولد سهمين ( ريال)
البنت سهم ( ريال)

115. الدوال وتطبيقاتها الاقتصادية
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم

116. مفهوم الدالة قاعدة (قانون) تربط بين مقدار (أو أكثر) متغير وآخر تابع.
مثلا مساحة الدائرة (Area (A)) تعتمد على نصف قطرها (Radius (r))):
فنقول:
A و r هي متغيرات (π ثابت =؟؟).
المساحة (A) دالة لـ (أو في) نصف القطر (r)
هذه القاعدة (القانون) أو الدالة تعطي قيمة واحدة للمتغير (A) لكل قيمة للمتغير (r).
يسمى المتغير (A) تابعا (Dependent)والمتغير (r)مستقلا (Independent).

117. وبصورة عامة
تكتب العلاقة بين أي متغير تابع (y) وأي متغير مستقل (x) هكذا:
وتقرأ: y equals f of x
الحرف (f) هنا يشير الى (function) أي دالة.
الصورة العامة توضح فقط أن هناك علاقة ما لكننا لا ندري كنه وطبيعة القانون الذي ينظم هذه العلاقة.
فمثلا هي دالة خاصة محددة من الدالة العامة أعلاه.
y= x2
صور خاصة
الصورة العامة
ص+14 =2س أو ص=س2+س أو: ...
أو: ص = د(س)

118. تمييز مهم:الدوال والعلاقات
عندما يكون لكل قيمة تنتمي لمجموعة المتغير (x) قيمة واحدة فقط تنتمي لمجموعة المتغير (y) عندهه فقط تكون (y) دالة في (x).
أما إذا وجدت عدة قيم للمتغير (y) مقابل قيمة واحدة للمتغير (x) فيكون لدينا «علاقة» وليست دالة.
بالتالي الدالة حالة خاصىة من العلاقة: أي أن كل الدوال علاقات ولكن ليست كل العلاقات دوال.
عـــــلاقات
دوال

119. علاقة
دالة

120. Test 2 2_3637 upto here:tue 5/4/2016

121. أساسيات رسم بياني (مراجعة)
يمكن تمثيل أي نقطة على المستوى (Cartesian)(ذو البعدين) .
النقطة على ذلك المستوى تمثل بإحداثيين: الاحداث السيني (المحور الأفقي) والاحداث الصادي (الرأسي).
المحورين يقسمان المستوى ألى أربعة أرباع: الأول، الثاني، الثالث والرابع
تختلف اشارات إحداثي النقطة بحسب الربع الذي تقع فيه؟؟
النقطة و(0،0) حيث يتقاطع المحوران تعرف بنقطة الأصل.
الاحداث الصادي لكل نقطة على المحور السيني = صفر
الاحداث السيني لكل نقطة على المحورالصادي = صفر

122. الاحداث الصادي لأي نقطة هو بعدها من المحور السيني
الاحداث السيني لأي نقطة هو بعدها من المحورالصادي

124. الأحداثيين y الثاني ب(-3،2) الأول أ(2،5) و(0،0) -x x الثالث ج(4 ،5- )
االرابع
د(-5،-2) -y

128. Test 2 upto here 6/12/2015

129. الدالة الخطية (معادلة الخط المستقيم)
الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم:
المتغير المستقل
الميل
القاطع
المتغير التابع
ص = ق + م س
لاحظ :
يشترط: (ق،م) عددان حقيقيان، م≠ صفر
هذه معادلة من الدرجة الأولى أي أن أس (س) هو الوحدة
القاطع يعطي قيمة ص عند س= صفر

130. أمثلة ص = د(س) = 7 – 5س (ق = 7، م = - 5)
ص = د(س) = 7 – 5س (ق = 7، م = - 5)
ص = د(س) = س (ق = -21 ، م = 3)
ص = د(س) = س (ق = صفر ، م = 1)
ما رأيك في: ص = د(س) = 6
(ق = 6 ، م = صفر)
هذا ليس خطا مستقيما وإنما فقط نقطة على المستوى (أو خط أفقي يمثل علاقة حيث كل قيم س تعطي نفس القيمة لـ ص)

133. ص = ق + م س
نلاحظ:
ق هي قيمة (ص) عندما تكون قيمة المتغير المستقل (س) مساوية للصفر
م تعطي مقدار التغير في قيمة (ص) عندما تتغير (س) بوحدة واحدة.
برهن ذلك عمليا ورياضيا؟؟؟؟

134. مالفروقات بين الخطين؟؟؟؟؟x y x y
y = -2x + 3

135. الميل سالب/موجب؟ للخطوط المستقيمة أدناه (d) (e) (a) (c) (b)
هل يمكنك تقسيمهم لمجموعتين؟ مالأساس للتقسيم؟?
ميل موجب
(a) (c) و (d) تنحدر من أسفل أعلى من اليسار لليمين
ميل سالب
(b) و (e) تنحدر من أعلى لأسفل من اليسار لليمين

136. Test 2 tuesday 12/5/2015

137. البعد بين نقطتين وميل الخط الواصل بينهما
للنقطتين (x1,y1) و (x2,y2) يمكن حساب المسافة بينهما من القانون:

138. المسافة بين نقطتين للنقطتين (x1,y1) , (x2,y2) (x2,y2) ? y2 – y18
للنقطتين (x1,y1) , (x2,y2) 7
(x2,y2) 6 5 ? 4
y2 – y1 3
(x1,y1) 2 1 2 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 5 7 3 4 6 8
x2 - x1 -2 -3
نظرية بايثاغورس -4 -5 -6 -7
نحل المعادلة لايجاد قيمة c :
نكمل المثلث قائم الزاوية برسم الاضلاع
هذا هو قانون المسافة

139. ميل الخط بين نقطتين
من الرسم السابق فإن ميل الخط المستقيم الواصل بين النقطتين (x1,y1) و (x2,y2) هو:

140. للنقطتين: (-3،1) ، (4، 15): ص2 س2 ص1 س1 أحسب المسافة بينهما
أوجد ميل الخط المستقيم الواصل بينهما

141. مثال الحل المسافة بين نقطتين = ((س2-س1)2 +(ص2-ص1)2) ½
= ((4-(-1)) 2 +(15-3)2) ½ = (25+144) ½ = 169 ½ =13 وحدة مساحة
ميل الخط المستقيم الواصل بينهما م = (ص2-ص1) / (س2-س1)
=(15-3) / (4-(-1)) = 12/ 5 = 2.4
(أرسم رسم تقريبي للخط؟؟)

142. الدالة الخطية بمعلومية نقطتين
بمعلومية النقطتين: A(x1,y1) و B(x2,y2) يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم AB كالتالي:
أوجد معادلة الخط الكستقيم المار بالنقطتين: (3،5) و (2،1)

143. الدالة الخطية بمعلومية الميل ونقطة واحدة
المستقيم الذي ميله (م) ويمر بالنقطة (س1،ص1) تكون معادلته كالتالي:
أوجد معادلة المستقيم الذي يصنع مع الاتجاه الموجب لمحور السينات زاوية ظلها (-3) ويمر المستقيم بالنقطة (3،-2)
ص-ص1 = م(س-س1)

144. تمثيل الدالة الخطية بيانيا
يتم ذلك كالآتي:
افتراض قيم للمتغير المستقل (س)
ومن ثم ايجاد قيم (ص) المناظرة،
وهكذا يكون لدينا عدة نقاط (احداثيات) تقع على المستقيم.
وبرسم هذه النقاط على المحورين بيانيا وتوصيلها ينتج الخط المستقيم المعطى معادلته.
مثال: ارسم الدالة 4س – ص – 5 = صفر

145. 4س – ص – 5 = صفر ص = 4س – 5 ص س
- 9
- 1
- 5 3 2 7 11 4

146. مثال
أوجد ميل الخط المستقيم الذي معادلته 2x+4y-7 =0

147. تطبيقات على الدالة الخطية
دالة الطلب: ماهو الطلب؟ الكميات التي يرغب ويستطيع المستهلكون شراءها من السلعة في فترة معينة عند أسعار مختلفة.
محددات الطلب: أي مجموعة العوامل المؤثرة عليه سلبا أو ايجابا وهي: (P, Po, I, Pop, T)
بالتالي يمكن اعتبار الكمية المطلوبة (Qd) متغيرا تابعا والعوامل المؤثرة على الطلب متغيرات مستقلة
يمكن التعبير عن الطلب كدالة في تلك المتغيرات المستقلة
ويمكن التعبير عن دالة الطلب رياضيا كالآتي:

148. محددات الطلب symbol name Qd Quantity demanded P Price (-) Po
Price of other goods (substitutes (+)/complements (-)) I
Income (+/-)
Pop
Population (+) T
Taste (+) E
Consumers’ Expectations (+)

149. وبحسب قانون الطلب توجد علاقة عكسية بين الكمية المطلوبة والسعر أي:
بافتراض ثبات كل العوامل السابقة ما عدا سعر السلعة يمكن الطلب كدالة في السعر كالآتي:
وبحسب قانون الطلب توجد علاقة عكسية بين الكمية المطلوبة والسعر أي:
دالة الطلب P Q

150. دالة الطلب الخطية يمكن كتابة الصيغة العامة لدالة الطلب الخطية كالتالي:
الميل
القاطع

151. لدالة الطلب: Qd = 20 – 0.5P P Qd 20 2 19 4 18 5
17.5 10 15 40 P

152. مثال
العلاقة بين الكمية المطلوبة (Qd) والسعر (P) لسلعة ما بالرياض خطية بحيث عندما كان السعر 15 ريال تم بيع 20 وحدة وعندما انخفض السعر الى 10 ريال بيعت 100 وحدة:
أوجد الدالة الخطية للطلب على هذه السلعة؟
ماهي الكمية المطلوبة عند السعر 12 ريال؟ Q1 P2 Q2 P1

153. الحل
وبتطبيق قانون معادلة الدالة الخطية بمعلومية نقطتين يمكن ايجاد دالة الطلب بكل يسر:
والآن ماهي الكمية المطلوبة عند السعر 12 ريال؟

154. أمثلة أخرى
عند السعر 5 ريال للوحدة كان الطلب لاحدى السلع 100 وحدة، فاذا علم أن دالة الطلب لهذه السلعة خطية وميلها يساوي 4 : أوجد معادلة الطلب؟
معطى دالة الطلب: Q = 6000 – 2P :
أشرح طبيعة ومدلولات هذه الدالة
أوجد السعر الذي يحقق مبيعات بحجم 1000 وحدة من هذه السلعة .

155. تطبيقات اقتصادية أخرى للدوال الخطية
دالة العرض: الكمية المعروضة (Qs)دالة في السعر (p) ، أسعار عناصر الانتاج (r) ، أسعار السلع المنافسة (pc) ، عدد المنتجين (N) ، وعوامل أخرى (O) .
وفي الغالب التطبيقي نجد دالة العرض هكذا (بافتراض ثبات كل العوامل الأخرى):

156. توجد علاقة طردية بين (Qs) و (p). يمكن التعبير عنها كالتالي:
دالة العرض دالة خطية
توجد علاقة طردية بين (Qs) و (p).
يمكن التعبير عنها كالتالي:
مثال: الكمية المعروضة من السلعة (ص) وسعرها (ع) مرتبطان بعلاقة خطية بحيث إذا كان السعر 40 ريالا للوحدة يتم عرض 20 طن من السلعة وإذا كان السعر 160 ريالا يتم عرض 100 طن من السلعة. المطلوب
أوجد دالة العرض ؟
أحسب سعر البيع إذا بلغت الكمية المعروضة 200 طن؟

157. ايجاد سعر وكمية التوازن في السوق
التوازن نقطة تعادل الطلب والعرض في السوق وعندها يتحدد الكمية والسعر التوازنيين.
يمكن ايضا ايجاد نقطة التوازن:
بيانيا: يتحدد التوازن عند تقاطع منحنيي الطلب والعرض للسوق.
رياضيا (جبريا) بحل معادلتي الطلب والعرض.

158. توازن السوق بيانيا p منحني الطلب S(p) = c+dp p* D(p) = a-bp
ماهي قيم كل من p* و q*? p*
D(p) = a-bp
منحنى العرض q* q

159. توازن السوق جبريا اذا كانت دالتي الطلب والعرض لسوق إحدى السلع كالآتي:
العرض: ض = 6س + 10
الطلب: ط = 50 – 2س
أوجد سعر وكمية التوازن
الحل
عند التوازن يتساوى العرض والطلب: ض = ط
أى: 6س + 10 = 50 – 2س وبضم الحدود المتشابهة :
8س = س = 5 وحدة نقد؛ وبتعويض قيمة س في احدى المعادلات:
ض = 6* = 40 وحدة

160. دوال التكاليف والانتاج
دالة الانتاج صيغة رياضية توضح العلاقة بين:
المخرجات (كمية السلعة أو الخدمة المنتجة – المتغير التابع (y) ) . و
المدخلات (كمية عناصر الانتاج – المتغيرات المستقلة: (x1,x2,x3,…,xn)
ويمكن التعبير جبريا عن دالة الانتاج كالتالي:
y = f(x1,x2,x3,…,xn)
يمكن صياغة هذه الدالة لكل من:
المدى القصير: بعض عناصر الانتاج يمكن تغييرها والبعض (واحد على الأقل) ثابت
المدى الطويل: كل عناصر الانتاج يمكن تغييرها

161. تابع دوال الانتاج
فمثلا بافتراض وجود ثلاث عناصر: رأس المال (K) العمل (L) والأرض (A) وباعتبار ثبات عنصر الأرض في المدى القصير، تكون الدالة في المدى القصير هكذا:
y = f(K,L)
وكما سبق يمكن تعريف كل من الناتج الحدي/المتوسط لهذه الدالة.

162. دوال التكاليف يمكن تعريف التكاليف لكل من المدى القصير والطويل.
التكاليف الكلية للانتاج (Total Cost TC) هي مجموع:
التكاليف الثابتة الكلية (Total Fixed Cost TFC) و
التكاليف المتغيرة الكلية (Total Variable Cost TVC):
TC = TFC + TVC
كل مكون من هذه التكاليف يعتمد على حجم الانتاج وبالتالي هو دالة في حجم الانتاج: TC = f(y)
يمكن لهذه الدالة أن تأخذ صيغا رياضية مختلفة: الخطية؟ التربيعية؟ التكعيبية؟؟

163. دوال الاستهلاك والادخار
كما تقدم:
كل من الاستهلاك والادخار القوميين–- دالة في (يعتمد على) الدخل القومي القابل للصرف.
هذه الدوال خطية

164. Test 2: 9/12/2014
Upto here

165. الدوال غير الخطية
إذا كانت قوة الالمتغير المستقل أعلى من الدرجة الأولى (>1 ) تكون الدالة ص = د(س) غير خطية.
تسمى الدالة بأكبر أس (قوة) فيها: (تربيعية، تكعيبية، فما فوق).
الصورة العامة: الدالة y=f(x) دالة من كثيرة الحدود من الدرجة (n):
(a0, a1, a2, …, an) أعداد حقيقية
متى تكون هذه الدالة خطية؟ تربيعية؟ تكعيبية؟ من الدرجة العاشرة؟

166. الدالة التربيعية (معادلة من الدرجة الثانية):
حالة خاصة من الدوال غير الخطية، كيف؟؟؟
الصورة العامة: ax2 + bx + c = 0
هذه معادلة في مجهول واحد (x)
مالشرط اللازم لتكون هذه الدالة من الدرجة الثانية؟
a هو معامل (x2)؛ (b) هو معامل (x) ؛ (c ) هو الحد المطلق.
a≠0

167. حل المعادلة من الدرجة الثانية (د. علاء)
حل أي معادلة يعني ايجاد قيمة المجهول فيها: (x) هنا.
قيم (x) التي تحقق المعادلة تعرف بجذري المعادلة.
توجد طرق عدة منها:
طريقة التحليل:
طريقة اكمال المربع
طريقة القانون

168. طريقة التحليل: أوجد جذري المعادلات بطريقة التحليل: x2 – 2x - 15 = 0
هل يمكنك استنتاج بعض الضوابط لاختيار الجذور؟

169. طريقة اكمال المربع أوجد جذري المعادلة بطريقة اكمال المربع:
x2 – 2x - 15 = 0

170. طريقة القانون للصورة العامة ax2 + bx + c = 0
يمكن استنباط هذا القانون من طريقة اكمال المربع؛ كيف؟؟
من القانون جذري المعادلة هما:

171. تمرين- نشاط 5 درجات
مستخدما الصورة العامة: ax2 + bx + c = 0 استنبط القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية.
التسليم يوم لمن أراد الــ 5 درجات

172. تمثيل الدالة التربيعية بيانيا؛ خصائص مهمة

173. تمثيل الدالة التربيعية بيانيا؛ خصائص مهمة ax2 + bx + cy
a > 0
عندما تكون (a >0) أي موجبة يكون المنحنى مقعرا (في اتجاه المحور السيني) وله نهاية دنيا
minimum x y
maximum
عندما تكون (a <0) أي سالبة يكون المنحنى محدبا (في اتجاه المحور السيني) وله نهاية عظمى
a < 0
Leading Coefficient

174. تطبيقات اقتصادية على الدالة التربيعية
توجد العديد من المسائل الاقتصادية التي يمكن صياغتها في صورة دالة تربيعية (معادلة من الدرجة الثانية في مجهول واحد).
حل مثل هذه المعادلات يمكننا من تحديد .قيمة المتغير موضوع الدراسة.

175. مثال:
لفترة ما اذا كان السعر (p) لسلعة ما دالة في الكمية المباعة (Q) كالتالي:
P = 2 – Q
وكانت تكاليف الانتاج الكلية (Total Cost (TC)) دالة في الكمية المنتجة كالتالي:
TC = Q
المطلوب:
اكتب تعبيرا جبريا لدالة الايراد الكلي (Total Revenue (TR))?
اكتب معادلة تصف الربح (π) ؟
أحسب كمية الانتاج اللازمة لتحقيق ربحا قدره 500 ألف ريال
أحسب السعر الذي يحقق ربحا قدره 500 ألف ريال

176. دالة الايراد الكلي: TR = PQ = (2 – Q)*Q = 2Q – Q2
الحل
معلوم أن الإيراد الكلي (TR) = حاصل ضرب السعر في الكمية المباعة:
دالة الايراد الكلي: TR = PQ = (2 – Q)*Q = 2Q – Q2
كذلك ندري أن الربح هو الفرق بين الإيراد الكلي (TR) والتكاليف (TC):
معادلة الربح:
- ( Q) π = TR – TC = (2Q- Q2)
= 2Q- Q Q = 1.5Q – Q2 -0.3

177. مثال 2
إذا كان العرض (Qs ) والطلب لسلعة ما في فترة ما في مكان ما كالاتي:
Qs = p2 + p -3
Qd = 3p2 –p -27
أوجد نقطة توازن السوق؟؟؟

178. المعادلات الخطية: الحلول والتطبيقات الاقتصادية
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم

179. المعادلات الخطية: أنواعها، تطبيقاتها
المعادلة كما هو معلوم تعبير رياضي جبري يعبر عن تساوي مقدارين (الجانب الأيسر والأيمن) معبر عنهما بمجموعة متغيرات (مجهولات)
حل المعادلة يقتضي ايجاد قيمة المجهولات فيها (جذور المعادلة).
يمكن تقسيم المعادلات الخطية إلى:
المعادلات الخطية في متغير واحد
المعادلات الخطية في متغيرين (أو أكثر)

180. أمثلة:المعادلات الخطية في متغير واحد
قرر رئيس القسم منح جائزة مقدارها 48 ألف ريال لأحسن ثلاث طلاب بالقسم على أن تكون قيم الثلاث جوائز متتالية (متزايدة بوحدة واحدة) في المقدار. كون معادلة لحساب قيمة هذه الجوائز؟
مر رجل بمجموعة شباب وحياهم : «السلام عليكم أيها المائة»؛ رد أحدهم: لسنا مائة ولكن نحن ومثلنا ونصف عددنا وربع عددنا ومعنا أنت سنكون مائة. كون معادلة جبرية واحسب منها عددد الشباب؟

181. أمثلة:المعادلات الخطية في متغيرين (الآنية)
يمكن حل مثل هذه المعادلات بعد رسمهما بيانيا: احداثيات نقطة التقاطع.
ماعيوب هذه الطريقة للحل؟
أساليب أخرى لحل هذه المعادلات:
طريقة التعويض
طريقة الحذف
طرق الجبر الخطي
د. علاء
لاحقا

182. طريقة التعويض كيف تكون هذه الطريقة؟؟ معطى المعادلتين: 3س + 6ص = 30
4س – 8ص = 40
حلهما بالتعويض؟؟

183. طريقة الحذف كيف تكون هذه الطريقة؟؟
أوجد نقطة تقاطع المستقيمين مستخدما طريقة الحذف:
2س + 5ص -21 = صفر
3س -2ص = 18
مزايا /عيوب الطريقة؟

184. مثال
موظفان يتزايد راتب كل منهما بألف ريال سنويا. إذا كان مجموع دخلهما الآن 20 ألاف ريال وبعد ثلاث سنوات يصير دخل أحدهما ثلاث أضعاف الآخر. كون معادلة جبرية واحسب منها دخل كل منهما الآن؟

185. المحددات(Determinants) وتطبيقاتها الاقتصادية
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم

186. مقدمة/اصطلاحات: المحدد/المحيدد/المرافق
المحدد: لكل مصفوفة مربعة عدد (معامل كمي) يسمى (المحدد).
للمصفوفة A ، للتعبير عن المحدد نستخدم الرموز:
|A| أو
det(A)، أو
يمكن كذلك التعبير عن المحدد باسقاط الاقواس في المصفوفة واستبدالها بخطوط مستقيمة، فمثلا:

187. تابع
محيدد العنصر: هو المصفوفة المتبقية بعد حذف الصف والعمود الموجود بهما ذلك العنصر
مرافق العنصر: هو حاصل ضرب (-1)i+j في محدد محيدد ذلك العنصر
حيث i هو رقم الصف و j هو رقم العمود للعنصر -3 8 2 -¾ 4
180 11
محيدد العنصر (-3)

188. طرق حساب المحدد محدد المصفوفة 11 [a] هو العدد: a
محدد المصفوفة 2 هو العدد: ad-bc

189. A3 و A2 أمثلة:محدد المصفوفة1 3 -½

190. محدد المصفوفة3x3: La Place expansion
(1) أحذف الصف والعمود الأوليين
(2) اضرب العنصر المشترك في (-1)i+j ثم في محدد المصفوفة المتبقية -3 8 2 -¾ 4
180 11

191. تابع -3 8 ¼ 2 -¾ 4 180 11 (3) أحذف الصف الأول والعمود الثاني.
(4) خذ سالب العنصر المشترك واضربه في محدد المصفوفة المتبقية.
(5) أضف الناتج للنتيجة السابقة (2) -3 8 2 -¾ 4
180 11

192. تابع
(6) أحذف الصف الأول والعمود الثالث
(7) خذ العنصر المشترك واضربه في محدد المصفوفة المتبقية.
(8) أضف الناتج للنتيجة السابقة -3 8 2 -¾ 4
180 11

193. تابع ماذا عن محددات المصفوفات الأعلى درجة/ الأكبر An (n>3) ؟؟؟
نطبق نفس النسق (LaPlace expansion) السابق.
هل توجد طرق أخرى لحساب المحددات؟

194. تابع طريقة أخرى لحساب المحدد لـ A3: مثال -20 -24 36 18 60 16
صف هذه الطريقة؟
= [36+(-24)+(-20)] – [ ]
= (-8) - (94) = -102

195. خواص المحددات
إذا كانت جميع عناصر صف أو عمود صفرية تكون قيمة المحدد صفر
تبديل صف بصف آخر يعكس علامة المحدد
للمصفوفة القطرية المحدد هو مضروب عناصر القطر الرئيس
عند وجود صفين متطابقين أو متناسبين تكون قيمة المحدد صفرا (علاقة خطية)
إذا تم الحصول على المصفوفة (B) بضرب عناصر المصفوفة (A) بالعدد α يكون: det(B) = α det(A)
اذا كانت المصفوفتين A, B بنفس الرتبة:
det(AB) = det(A)det(B)

196. تطبيقات المحددات
أولا: حل أنظمة المعادلات الخطية (مجموعة معادلات آنية) Cramer’s Rule:
في حال وجود منظومة معادلات آنية عددها (n) في (n) متغير: Ax=b وكان محدد مصفوفة المعاملات det(A)≠0 فإن جذور المنظومة تكون:
حيث:
A هي مصفوفة المعاملات (nxn)
Ai مصفوفة مشتقة من A وذلك باستبدال العمود (i) بالمتجهة b

197. تابع مثلا لمنظومة الثلاث معادلات أدناه:
يمكن اعادة كتابتها كمصفوفات كالتالي:
مثلا لمنظومة الثلاث معادلات أدناه:

198. وتكون جذور هذه المعادلات كالتالي

199. أمثلة: (1)حل المعادلة التالية باستخدام Cramer’s Rule: 3س+4ص = 12
4س+5ص = 20
س+ص+ع-6 = صفر
2س+ص-2ع+2 = صفر
س+ص+6 = 3ع
(2) شركة تستخدم ثلاث مواد خام كمياتها بالاطنان حسب المعادلات أدناه، احسب كميات هذه المواد:

200. تابع تطبيقات المحددات ثانيا: حل مشكلات تطبيقية:
مصنع ينتج نوعين من السلع. انتاج الوحدة من السلعة الاولى يحتاج الى ساعتين عمالة ماهرة وساعتين عمالة غير ماهرة. انتاج الوحدة من السلعة الثانية يحتاج لساعتين عمالة ماهرة و3 ساعات عمالة غير ماهرة. يملك المصنع 200 ساعة عمالة ماهرة و 250 ساعة عمالة غير ماهرة. استخدم المحددات لايجاد الوحدات التي يلزم انتاجها من كل سلعة بحيث توظف كل العمالة.

201. تابع
للخطوط السعودية ثلاثة أنواع من طائرات النقل تستخدم في نقل ثلاث سلع. الطائرة الأولى يمكنها نقل وحدة من السلعة الأولى، وحدة واحدة من السلعة الثالثة ولاشيئ من السلعة الثانية. الطائرة الثانية تنقل وحدتين من السلعة الأولى ووحدة واحدة من كل من السلعة الثانية والثالثة. الطائرة الثالثة تستطيع نقل وحدة واحدة من السلعة الأولى ووحدتين من كل كن السلعة الثانية والثالثة. استخدم لتحديد عدد الرحلات التي يجب أن تقوم بها كل طائرة لنقل: 16، 10، و 12 وحدة من السلع الثلاث على الترتيب؟

202. الجبر الخطي:Linear Algebra المصفوفات وتطبيقاتها الاقتصادية
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم

203. الجبر الخطي:Linear Algebra
الجبر الخطي من الطرق الرياضية المستخدمة في حل المعادلات الآنية.
يتفوق الجبر الخطي على طرق الحل السابق دراستها (الحذف/التعويض/الرسم البياني) عندما يكون عدد المتغبرات/المعادلات كبيرا

204. المصفوفات Matrices
المصفوفة هي مجموعة عناصر مرتبة على شكل صفوف وأعمدة وتحصر بين أقواس ( ) أو [ ].
الصيغة العامة:
aij هو العنصر في الخانة (ij)
حيث (i) الصف و ( j) العمود
(m) عدد الصفوف
(n)عدد الأعمدة
حجم (أبعاد/درجة) المصفوفة mxn

205. صف
عمود
عنصر

206. مثال ما هو حجم هذه المصفوفات: حجم هذه المصفوفة هو B3x4
حيث عدد الصفوف =3
وعدد الأعمدة =4
وهذه؟؟؟؟

207. أنواع المصفوفات
حسب خصائص المصفوفات (الأبعاد؟نوع العناصر...) يمكن تصنيفها الى عدة أنواع.
المصفوفة المربعة square matrix
المصفوفة القطرية diagonal matrix
مصفوفة الوحدة identity matrix
مصفوفة المتجهة vector matrix
المصفوفة الصفرية null or zero matrix
المصفوفة المجزأة partitioned matrix

208. المصفوفة المربعة square matrix
هي مصفوفة يتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة: m = n
يطلق عليها أيضا مصفوفة من الرتبة أو الدرجة (An)
العناصر القطرية في المصفوفة المربعة تسمى القطر الرئيسي

209. المصفوفة القطرية diagonal matrix
هي مصفوفة مربعة تكون كل عناصرها صفرية ماعدا العناصر الواقعة على القطر الرئيسي:

210. مصفوفة الوحدة identity matrix
مصفوفة مربعة قطرية تكون كل عناصر قطرها الرئيسي مساوية للوحدة ويرمز لها بـ (In). مثلا:

211. مصفوفة المتجه vector matrix
هي مصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط أو صف واحد فقط
فهي اذا إما مصفوفة صفية أو مصفوفة عمودية.

212. المصفوفة الصفرية null or zero matrix

213. المصفوفة المجزأة partitioned matrix مصفوفة يمكن تقسيم عناصرها الى مصفوفات فرعية مبسطة

214. أحمد، عيسى، وداؤود هم أزواج مها، فاطمة، وسمية
أحمد، عيسى، وداؤود هم أزواج مها، فاطمة، وسمية. عيسى والذي هو أخ لفاطمة مستقر في تبوك مع زوجته. داؤود والذي يعمل طبيبا أكبر سنا من زوج سمية. تعيش مها مع زوجها في الرياض. أما فاطمة وزوجها فيعملان في أحد البنوك. من متزوج من من؟؟ قد تجد هاتين العلامتين ذوات فائدة؟ X √

215. جمع وطرح المصفوفات
تجمع وتطرح المصفوفات اذا كانت لها نفس الدرجة /الابعاد (شرط التطابق) أي أن:
عدد الصفوف في المصفوفة الاولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
عدد الأعمدة في المصفوفة الاولى يساوي عدد الأعمدة في المصفوفة الثانية.
يجمع كل عنصر في المصفوفة الاولى مع العنصر المناظر له في المصفوفة الثانية
المصفوفة الناتجة لها نفس درجة المصفوفتين المجموعتين.
ما سبق ينطبق على الطرح

216. التطابق و التساوي التطابق لا يعني التساوي لكي تتساوى مصفوفتين يشترط:
التطابق و التساوي
التطابق لا يعني التساوي
لكي تتساوى مصفوفتين يشترط:
التطابق (سبق).
أن يساوي كل عنصر في المصفوفة الاولى العنصر المطابق له في المصفوفة الثانية.

217. شرط التساوي
مثال

218. تابع جمع وطرح المصفوفات
مثال (1)

219. أسس عامة للجمع [A] + [B] = [B] +[A] الترتيب لايفرق في حالة الجمع
[A] + [0] = [0] + [A] = [A] المصفوفة الصفرية تقابل الصفر

220. مثال (2)

221. ضرب المصفوفات
ضرب مصفوفة في معامل كمي (عدد)
ضرب مصفوفة في مصفوفة

222. ضرب مصفوفة في معامل كمي (عدد)
يمكن للعدد أن يكون عدد صحيح/كسر/سالب/موجب/
عند ضرب مصفوفة بعدد يضرب كل عنصر في المصفوفة في ذلك العدد.

223. ضرب مصفوفتين
المصفوفتين: A , B بالابعاد التالية:
[r x c] and [s x d]

224. تابع
يمكن ضرب المصفوفتين A, B إذا:
[r x c] and [s x d]
c = s

225. تابع [r x c] and [s x d] r x d
والمصفوفة الناتجة تكون بالابعاد التالية:
[r x c] and [s x d]
r x d

226. طريقة الضرب : A x B = C
[2 x 2]
[2 x 3]
[2 x 3]

227. مثال
[3 x 2]
[2 x 3]
ينطبق شرط الضرب
[3 x 3]

228. الضرب علىExcel
بعد كتابة المصفوفتين A,B قم باختيار مكان الاجابة

229. تابع اكتب: “mmult(“ قم باختيار خلايا المصفوفة A أكتب فاصلة “,”
قم باختيار خلايا المصفوفة B
اقفل القوس “)”
اضغط على: Ctrl,Shift, Enter مع بعض

230. And voila!

231. البرمجة الخطية وتطبيقاتها الاقتصادية
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم

232. البرمجة الخطية من الأساليب الكمية التى تستخدم فى مجال التخطيط وإتخاذ القرار.
تقوم هذه الطريقة على أساس مدى إمكانية صياغة المشكلة محل البحث فى شكل نموذج رياضى.
وبحل النموذج الرياضى نحصل على عدة بدائل متاحة يتم إختيار بديل منها يسمى الحل الأمثل .

233. النموذج الرياضى للبرمجة الخطيّة
يتكون النموذج الرياضى من الآتى :
دالة الهدف .
مجموعة من القيود فى شكل متراجحات .
القيود المنطقيّة.

234. يهدف نموذج البرمج الخطيّة إلى تعظيم ( الربح أو العائد مثلا ) أو تخفيض ( التكلفة ) والتى تمثل دالة االهدف فى ظل قيود معينة تنشأمن حقيقة محدوديّة الموارد والإمكانيات والتى لابد من إستغلالها الإستغلال الأمثل .
ومن خلال مجموعة القيود المفروضة نصل إلى بدائل أو حلول متاحة يتم بحث تأثير كل منها على دالة الهدف ومن ثم إختيار أفضلها ( الحل الأمثل ) .

235. الصورة العامة لنموذج البرمجة الخطيّة
دالة الهدف :
أوجد ر = ر1 س1 + ر2س ر ن س ن
أو أوجد ت = ت1 س1 + ت2س ت ن س ن
طبقا للقيود الهيكليّة الآتية :

236. أ11 س1+ أ21 س أ1ن سن ≥ أو ≤ ب1
أ12 س1+ أ22 س أ2ن سن ≥ أو ≤ ب2
أم1 س1+ أم2 س أم ن سن ≥ أو ≤ بم

237. القيود المنطقيّة أو شروط اللاسالبية
تتمثل فى أن قيم المتغيرات س1 ، س2 ،...س ن ≥ صفر ، وبعبارة أخرى يجب أن تكون قيم المتغيرات موجبة .

238. طريقة الرسم البيانى لحل نموذج البرمجة الخطية
تستخدم هذه الطريقة فى حالة وجود متغيرين .
تتلخص الطريقة فى أننا نقوم برسم القيود على شكل خطوط ثم نوجد منطقة التقاطعات أو المنطقة المشتركة والتى تحتوى على عدة بدائل . وعن طريق إيجاد قيمة دالة الهدف عند هذه البدائل يمكن إختيار البديل أو الحل الأمثل الذى يعظم أو يخفض قيمة دالة الهدف .

239. مثال (1)- مشكلة تعظيم ارباح
Max. Z=10X1+15X2
S.T.:-
6X1+4X2 ≤ (1)
2X1+4X2 ≤ (2)
X ≤ (3)
X2 ≤ (4)
X1, X2 ≥0

240. الحــــــــــــــــــــــــــــــــــل
نحوَل القيود من الصيغة العامة canonical form)) الى الصيغة القياسية (standard form) أي
نحول القيود من صيغة متباينات الى صيغة معادلات. وكما يلي:-
القيد الاول X1 +4X2=30000 → 6 X1 +4X2 ≤ 30000
القيد الثاني → 2 X1 +4X2= X1 +4X2 ≤ 20000
القيد الثالث X1 ≤7000→ X1 =7000
القيد الرابع X2≤8000→X2=8000
ثم نجد قيمة X1 و X2 لكل قيد من القيود الاربعة اعلاه.

241. لإيجاد قيمتي X1 و X2 للقيدين الأول و الثاني أولا سنفترض بان قيمة X1 =0 لإيجاد قيمة X2 ، ثم نفترض ان قيمة X2=0 لإيجاد قيمة X1، وكما يلي :- X2 X1
7500
5000
القيد الأول + 4 X2 = X1 X2 X1
5000
10000
القيد الثاني 2 X1 + 4 X2 =20000

242. ملاحظات:-
عندما تكون جميع القيود في المشكلة من نوع اصغر من او يساوي فان منطقة الحل الممكن تكون باتجاه نقطة الاصل (الفراغ الذي لا يمر فيه اي مستقيم).
تقاطع اي مستقيمين حول منطقة الحل الممكن يعطي احد نقاط الحلول الممكنة .
القيود التي تحتوي على متغير واحد فقط ترسم عموديا على محورها ، كما هو الحال للقيدين (3 و 4).

243. الرسم البياني D C B A

244. الحلول الممكنةFeasible solutions
من الرسم نجد ان منطقة الحلول الممكنة هي المنطقة المحصورة بين النقاط A,B,C,D
النقطة A تمثل نقطة الاصل اي ان قيمتي X1,X2ستكون (0,0).
النقطة B تقع على المحور السيني وهذا يعني ان قيمة X2=0 اما X1 = اي (5000,0).
النقطة D تقع على المحور الصادي ،لذا فان قيمة X1 =0 ، اما X2=5000 اي (0, 5000).
النقطة C هي نقطة تقاطع القيدين الاول والثاني والذي يمكن ايجاد قيمتها و كما يلي:

245. يمكن ايجاد قيمة النقطة C بطريقتين:
أو من خلال حل معادلتي القيدين الأول و الثاني و وكما يلي :
6 X1 +4X2=
±2 X1 ±4X2=±20000
4 X1 =
X1 =10000/4
=2500
لإيجاد قيمة X2 نعوض في احدى المعادلتين عن قيمة X1 وكما يأتي :
6 X1 +4X2=30000
(6×2500)+4X2=30000
X2=30000 →4X2=
4X2=15000→X2=15000/4=3750
وهذا يعني ان النقطة C ستكون (2500,3750)

246. بعد ذلك نعوض النقاط اعلاه في معادلة دالة الهدف
Max. Z=10 X1 +15X2
وكما يلي :
= (10×0)+ (15×0)= 0 A (0,0)
B (5000,0) = (10×5000)+(15×0)= 50000
C (2500,3750) = (10×2500)+(15×3750)= 81250
D (0,5000) =(10×0)+(15×5000)= 75000
ولما كانت الشركة تهدف الى تعظيم الارباح لذا سيكون البديل الافضل عند النقطة C اي ان على الشركة انتاج 2500 وحدة من X1 و وحدة من X2 ، لتحقق عائد مقداره دينار.

247. مثال مصنع ينتج سلعتين وفقا للظروف الآتية :
هناك عمليتين إنتاجيتين : تجميع وتشطيب .
الحد الأقصى لساعات العمل كالتالي :
عملية التجميع = 300 ساعة
عملية التشطيب = 320 ساعة
يحتاج إنتاج الوحدة من السلعة الأولى : 6ساعات تجميع
و 8 ساعات تشطيب.
يحتاج إنتاج الوحدة من السلعة الثانية : 6ساعات تجميع
و 4 ساعات تشطيب.

248. ربح الوحدة من السلعة الأولى = 120 ريال
ربح الوحدة من السلعة الثانية = 100 ريال
أوجد نموذج البرمجة الخطية بإفتراض أن المصنع يرغب فى تحقيق أقصى ربح فى ظل ظروف التشغيل السابقة ( أقصى حد لساعات العمل فى عمليتى التجميع والتشطيب )

249. النموذج نفترض أن الكمية من السلعة الأولى س1 ومن السلعة الثانية س2
نفترض أن الكمية من السلعة الأولى س1 ومن السلعة الثانية س2
دالة الهدف هي أقصى ربح:
ر = 100 س س 2
القيود:
6 س1 + 6 س 2 ≤ (1)
4 س1 + 8 س 2 ≤ (2)
بشرط أن : س1 ، س2 ≥ صفر

250. الحل أولا :تحويل المتباينات إلى معادلات ورسمها
ثانيا :تحديد منطقة الحلول والبدائل من الرسم
ثالثا : تحديد البديل الأمثل أي كميتي س1 و س 2 اللتان تحققان أقصى ربح في ظل وجود القيود السابقة . ( س1 = 20 و س 2 = 30 )

251. مثال 5- 3 ص 218
يتم تقديم وجبتين للمريض فى مستشفى الملك عبد العزيز الجامعى بحيث:
الوحدة الواحدة من الوجبة الأولى تعطى 4 سعر حرارى وبها 4 وحدات فيتامين
الوحدة الواحدة من الوجبة الثانية تعطى 6 سعر حرارى وبها 3 وحدات فيتامين

252. تابع المثال
إذا كان المطلوب للمريض 36 سعر حرارى على الأقل و 24 وحدة فيتامين .
وكان سعر الوحدة من الوجبة الأولى = 10 ريال
و سعر الوحدة من الوجبة الثانية = 12 ريال
المطلوب تحديد عدد الوجبات من النوعين التى تحقق أقل تكلفة للمستشفى وفى نفس الوقت تعطى المريض متطلباته الأساسية من السعرات والفيتامين .

253. النموذج دالة الهدف : ت = 10 س + 12 ص
ت = 10 س + 12 ص
حيث س هى عدد الوحدات من الوجبة الأولى
حيث ص هى عدد الوحدات من الوجبة الثانية

254. باقى النموذج القيود : 4 س + 6 ص ≥ 36 (1) 4 س + 3 ص ≥ 24 (2)
4 س + 6 ص ≥ (1)
4 س + 3 ص ≥ (2)
بشرط أن : س ، ص ≥ صفر

255. الحل أولا :تحويل المتباينات إلى معادلات ورسمها
ثانيا :تحديد منطقة الحلول والبدائل من الرسم
ثالثا : تحديد البديل الأمثل أى كميتى س و ص اللتان تحققان أقل تكلفة فى ظل وجود القيود السابقة ( تحقيق متطلبات المريض الأساسية من السعرات والفيتامين ).
( س= 3 وجبات من النوع الأول و ص = 4 وجبات من النوع الثانى )

256. أمثلة مثال 3 أوجد ﻫ ( س ) = 3 س1 + 2س2 طبقا للقيود س1+ 2 س2 ≤ 2 ( 1 )
أوجد ﻫ ( س ) = 3 س1 + 2س2
طبقا للقيود
س1+ 2 س2 ≤ ( 1 )
2س1+ س2 ≤ ( 2 )
بشرط أن : س1 ، س2 ≥ صفر

257. مثال 6 صفحة 231
أوجد ﻫ ( س ) = 2 س1 + س2
طبقا للقيود
س1+ س2 ≤ ( 1 )
- س1+ س2 ≤ ( 2 )
س2 ≥ ( 3 )
بشرط أن : س1 ، س2 ≥ صفر

258. تطبيقات على البرمجة الخطيّة
ينتج مصنع للساعات حجمين مختلفين ، أحدهما كبير والآخر صغير . يتطلب الحجم الأول 2 ساعة عمل تجميع و ساعة عمل واحدة للاختبار ، ويتطلب الحجم الثاني ساعة عمل واحدة للتجميع و 2 ساعة عمل للاختبار، وكان الحد الأقصى لساعات العمل اليومي في كل من قسمي التجميع والاختبار هو 7 ساعات و8 ساعات على التوالي .
فإذا أفترض أن المصنع يريد تعظيم ربحه وكان ربح الحجم الكبير هو 8 ريال للوحدة وللصغير 6 ريال للوحدة ، أوجد ما يلي :

259. نموذج البرمجة الخطية .
منطقة الحلول الممكنة من خلال الرسم البيانى .
المزيج السلعى الأمثل حتى يحقق المصنع أكبر ربح ممكن.

260. مسألة أخرى
منشأة تقوم بإنتاج أربعة (4) منتجات باستخدام ثلاثة (3) موارد محدودة هي: (i)ساعات عمل الماكينة ويوجد منها 180 ساعة، (ii) ساعات العمالة البشرية ويوجد منها 40 ساعة، (iii) مساحة التخزين المتوفرة وتبلغ 148 قدما مربعا. لديك المعلومات التالية:
الوحدة الواحدة من المنتج الأول تحتاج إلى: ساعتين من الماكينة، و 1.5 قدم مربع للتخزين، و 0.8 ساعة عمالة بشرية.
الوحدة الواحدة من المنتج الثاني تحتاج إلى: 6.3 ساعة من الماكينة، و 2 قدم مربع للتخزين، و 0.6 ساعة عمالة بشرية.
الوحدة الواحدة من المنتج الثالث تحتاج إلى: 1.8 ساعة من الماكينة، و 4 قدم مربع للتخزين، و 0.9 ساعة عمالة بشرية.
الوحدة الواحدة من المنتج الرابع تحتاج إلى: 6 ساعات من الماكينة، و 5 قدم مربع للتخزين، و 0.4 ساعة عمالة بشرية.
أسعار بيع الوحدة الواحدة للمنتجات الأربع على التوالي: 3، 5، 4، و 4.5 ريال سعودي.

261. تابع تطبيقات على البرمجة الخطيّة
أراد مستثمر استثمار أمواله في شركتي سابك والاتصالات، تكوين محفظة استثمار من مبلغ مقداره ريال . فإذا كان سعر السهم في شركة سابك هو 300 ريال للسهم والعائد السنوي له 36 ريال، على حين كان سعر السهم في شركة الاتصالات 400 ريال للسهم والعائد السنوي له 50 ريال .
كيف يقوم المستثمر بتحقيق أكبر عائد ممكن وفى نفس الوقت يقوم بنوع من التوازن لتقليل المخاطر وذلك بأن يستثمر في كل شركة على حدة ما لا يقل عن ريال ؟

262. التفاضل وتطبيقاته الاقتصادية
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم

263. في هذا الباب مفهوم التفاضل (جبريا وهندسيا) قواعد التفاضل
المشتقات(الأولى/الجزئية/العليا) /الدوال (متغير واحد/اكثر من متغير).
التطبيقات

264. (الثانية، الثالثة، ...،ن)
مفهوم التفاضل
هو احد مجالات الرياضيات ويعنى بدراسة تغيرات الدوال (أي قيم المتغير التابع) عند حدوث تغيرات في مدخلاتها (المتغيرات المستقلة فيها).
من أهم العناصر في علم التفاضل: المشتقات بأنواعها.
الأولى
الجزئية
الكلية
العليا
(الثانية، الثالثة، ...،ن)

265. دوال المتغير الواحد y = f(x) مشتقة الدالة: جبريا وهندسيا
تكون المشتقة الأولى (dy/dx) هي نهاية حاصل قسمة التغير في y على التغير في x عندما يؤول التغير الأخير للصفر أي:
اذا وجدت هذه النهاية تكون الدالة قابلة للتفاضل differentiable
هناك رموز أخرى للمشتقة الأولى: أو أو

266. التفسير الهندسي للمشتقة الأولى للدالة:
Y=f(x)

267. قواعد التفاضل تفاضل الثابت: إذا كانت ص = ك حيث ك ثابت فإن:
تفاضل القوى:
إذا كانت ص = سن حيث (ن) عدد صحيح فإن:
تفاضل ثابت مضروب في قوى:
إذا كانت ص = أسن حيث (ن) عدد صحيح فإن:
تفاضل الضرب: للدالتين f(x) و g(x) فإن:
تفاضل حاصل ضرب

268. أمثلة
للدالة:

269. تابع أمثلة: أحسب للدالة: الحل:
أحسب للدالة:
الحل:
هل هناك طريقة أخرى غير قانون الضرب لحل هذه المسألة؟

270. تابع
تفاضل القسمة: للدالتين f(x) و g(x) فإن:
تفاضل حاصل قسمة

271. مثال: القسمة
أوجد المشتقة الأولى للدالة:
الحل:

272. تفاضل القوس*تفاضل ما بداخل القوس
تابع قوانين
تفاضل السلسة: للدالة :]n y = [f(x) أي
مثال: للدالة:
فإن:
تفاضل القوس*تفاضل ما بداخل القوس
قانون السلسلة

273. الدالة نفسها في تفاضل الأس
تابع قوانين
للدالة الأسية: y = ex
ومن قانون السلسلة: أي
الدالة نفسها في تفاضل الأس

274. مثال
أوجد المشتقة الاولى لهذه الدالة:
الحل: من قانون الــ....؟

275. للدالة y = lnx: ومن قانون السلسلة: الحل:
مثال: فاضل الدالة للمتغير المستقل بها
الحل:

276. مسائل:
أوجد المشتقة الأولى للدوال:

277. الدوال في أكثر من متغير واحد: y = f(x1,x2,x3…,xn)
عندما تكون الدالة في أكثر من متغير واحد تسمى المشتقة الأولى لها:
ويرمز لها بالرمز:
وللحصول على هذه المشتقة نثبت المتغيرات الأخرى (أى نعاملها معاملة الثابت عند اجراء عملية التفاضل).
المشتقة الأولى الجزئية

278. مثال للدالة: أوجد كلا من:
الحل: لايجاد هذه المشتقات الجزئية نعامل المتغيرين الآخرين كثوابت:
لايجاد نعامل كلا من (y) و (z) معاملة الثابت:

279. تابع
ولايجاد نتبع نفس الاسلوب:

280. المشتقات العليا (متغير واحد)
لبعض الدوال يمكن ايجاد أكثر من مشتقة (أي يمكن مفاضلتها عدة مرات).
وهذه بعض الرموز المستخدمة للاشارة للمشتقات العليا (أي بعد المشتقة الأولى)
المشتقة
الرمز
الثانية
الثالثة
الرابعة
النونية

281. تابع
لاحظ أن كل مشتقة عليا تأتي من اجراء عملية التفاضل مرة أخرى على المشتقة قبلها، فمثلا للدالة: y = f(x):

282. مثال للدالة: أوجد المشتقات: الأولى، الثانية والثالثة:
الحل: يمكن كتابة هذه الدالة كالآتي:
وتكون المشتقات الثلاث كالتالي:

283. المشتقات العليا الجزئية لدالة في متغيرين
المشتقات العليا الجزئية (الدرجة الثانية) للدالة
g = f(x,y) هي كالآتي:

284. أمثلة أوجد كل المشتقات الجزئية الثانية للدالة: الحل: 1 2 3
لاحظ: fxy= fyx 1 2 3 4

285. النهايات العظمى والصغرى وتطبيقاتها
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم

287. التكامل وتطبيقاته الاقتصادية
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم

289. الأسس الرياضية لتحليل الاستثمار
قصر 216
د. كمــــال الدين علي بشير ابراهيم