1. Fermi – Dirakova funkcija raspodjele

2. Model slobodnih elektrona
Šematski model kristala metala kao što su Na, Li, K, itd.
Ravnotežni položaji atomskih centara su u čvorovima kristalne rešetke i oni su okruženi morem provodnih (valentnih) elektrona.
Za Na, provodni elektroni su 3s valentni elektroni slobodnih atoma. Ostatak atoma sadrži 10 elektrona u slijedećoj konfiguraciji: 1s22s2p6. + + +
In this model, electrons are completely free to move about, free from collisions, except for a surface potential that keeps the electrons inside the metal.
In the alkali metals, with a bcc structure, the cores take up about 15% of the volume of the crystal, but in the noble metals (Cu, Ag, Au), with an fcc structure, the atomic cores are relatively larger and maybe close to contacting or in contact with each other. + + 2

3. Poređenje klasične i kvantne statistike
Klasični plin čine molekule tzv. Idealnog plina/gasa
Elektronski plin su kvazislobodni, valentni provodni elektroni
________________________________________________________
Molekule idealnog gasa su klasične čestice čije se kretanje podvrgava
zakonima klasične fizike pa se njima u statiističkom smislu bavi
Maksvel-Bolcmanova klasična statistika.
Ovdje je svako mikrostanje jednoznačno određeno koordinatama položaja
i impulsa (x, y, z, px, py, pz). Svako takvo stanje je različito ,
a ove koordinate se mijenjaju NEPREKIDNO!
Elektronski plin čine elektroni. Elektroni imaju valna/talasna svojstva. Zato se njihovo kretanje opisuje Šredingerovom jednačinom, a njihove energije i druge karakteristike kretanja su KVANTIZIRANE, tj. mogu da poprime samo određene diskretne vrijednosti.

4. Poređenje klasične i kvantne statistike
Pored toga, za elektrone važe Hajzenbergove relacije neodređenosti zbog čega element faznog prostora ne može biti manji od h3:
dx dy dz dpxdpydpz≥ h3:
¸tj. najmanje ćelije faznog prostora su veličine dτ = h3:
1) Prema tome, prva razlika između klasične M-B statistike i kvantne F-D statistike je način podjele faznog prostora na elementarne ćelije:
Kod klasične statistike nema ograničenja na veličinu elementarne ćelije. One ovdje mogu biti proizvoljno malene.
Kod kvantne statistike ćelije faznog prostora ne mogu biti manje
od h3 za šestimenzionalni fazni prostor, odnosno ne mogu biti manje od h3/V za trodimenzionalni fazni prostor.

5. Poređenje klasične i kvantne statistike
Druga razlika je u tome što za elektrone važi Pulijev princip isključivosti prema kojem se u svakom energetskom stanju mogu naći samo 2 elektrona različitih spinova, tj. jedinična ćelija ne može imati više od 2 elektrona.
Treća razlika između ove dvije statistike je u tome što M-B statistika individualizira molekule; permutacija dvije čestice klasičnog gasa daje novo mikrostanje. Kod kvantne statistike se to ne dešava, sve su čestice međusobno jednake i njihovom permutacijom se zato ne stvara novo mikrostanje.
F-D statistika traži funkciju raspodjele koja odgovara najvjerovatnijem, tj. ravnotežnom stanju elektronskog gasa. Funkcija raspodjele predstavlja vjerovatnost zaposijedanja elementarnih ćelija faznog prostora elektronima

6. Fermijeva funkcija na T=0 i na nekoj konačnoj temperaturi T
fFD=? na 0°K
E<EF
E>EF EF
E<EF
E>EF
0.5
fFD(E,T) E

7. Fermi-Dirakova funkcija raspodjele na raznim temperaturama

8. Slobodni elektronski gas na konačnoj temperaturi
Na temperaturi T vjerovatnost zaposijedanja nekog elektronskog stanja sa energijom E je data Fermijevom funkcijom raspodjele:
Fermijeva funkcija raspodjele određuje vjerovatnost da se nađe neki elektron sa energijom E.

9. Raspodjela po brzinama
Naći raspodjelu po brzinama – vjerovatnost stanja sa brzinom v

10. Gustina elektrona po jedinici energije
Gustina stanja dN/dE se često označava kao g(E)
Broj elektrona po jedinici energije, N(E) takođe zavisi od vjerovatnosti zaposjedanja pojedinog stanja, f(E). Prema tome je:
N(E) = g(E)f(E)

11. Fermi-Dirac’ova funkcija raspodjele
Uveli smo funkciju raspodjele vjerovatnosti , f(E), koja opisuje vjerovatnost da je stanje sa energijom E zaposjednuto
Za elektrone ova funkcija je Fermi-Dirac ‘ova funkcija raspodjele
Za T = 0 ova funkcija izgleda ovako:

12. Fermi-Dirac’ova funkcija raspodjele
Za T > 0 K

13. Broj elektrona u jediničnom opsegu energija prema modelu slobodnih elektrona.
Obojena oblast prikazuje razliku raspodjele na nula stepeni i na nekoj konačnoj temperaturi.
T>0
T=0
n(E,T) E
g(E) EF
n(E,T) broj slobodnih elektrona u jediničnom opsegu energija je naprosto oblast ispod krivulje n(E,T)

14. Fermi-Dirakova funkcija raspodjele je simetrična funkcija; na konačnim temperaturama, broj nivoa ispod EF koji su ispražnjeni jednak je broju energetskih nivoa iznad EF koji su popunjeni elektronima.
T>0
T=0
n(E,T) E
g(E) EF

15. Model slobodnih elektrona
Neka čvrsta tijela provode elektricitet.
U njima postoje elektroni koji nisu vezani za atome, već su u stanju da se kreću kroz cijeli kristal.
Čvrsta tijela koja su provodnici su metali i poluprovodnici
Specifični otpor raste sa dodavanjem malih količina nečistoća. Otpornost normalno opada sa smanjenjem temperature i može da se još smanji dodavanjem male količine nečistoća.
Poluprovodnici postaju izolatori na niskim temperaturama.

16. slobodni elektroni u metalima
Zajedničke fizikalne karakteristike metala su:
velika čvrstoća
velika gustina
Dobra električna i termička provodnost.
U modelu slobodnih elektrona pretpostavlja se elektronski gas sastoji od svih valentnih elektrona. Tako se pretpostavlja da će metali Na, Mg i Al imati 1, 2 i 3 mobilna elektrona po atomu, respektivno.
Pomoću te jednostavne teorije ‘ modela slobodnih elektrona’ moguće je objasniti ove osobine metala.

17. slobodni elektroni u metalima
Prema modelu slobodnih elektrona valentni elektroni su odgovorni za provođenje elektriciteta i zato ih zovemo provodni elektroni.
Na11 ￫ 1s2 2s2 2p6 3s1
valentni elektron koji se nalazi u trećoj atomskoj ljusci je onaj koji nosi sposobnost vezivanja sa drugim atomima pa tako i hemijske osobine Na.
Valentni elektron (slabo vezan)
Unutrašnji elektroni

18. Kada okupimo Na atome tako da čine natrij metal, to izgleda ovako:
Na ima BCC strukturu, a rastojanje između najbližih susjeda je0,37 nm.
Radijus treće ljuske u Na atoma je 0,19 nm.
Tako se Na atomi djelimično prekrivaju zbog čega valentrni elektron više ne pripada samo jednom atomu, već i svim susjednim jonima u isto vrijeme.
Na metal

19. Uklanjanje valentnog elektrona ostavlja pozitivno naelektrisani jon.
Valentni elektron zaista pripada cijelom kristalu pošto može da se kreće od jednog jona do drugog susjednog i onda dalje do susjednog itd. Ovaj pokretni elektron postaje provodni elektron.
Uklanjanje valentnog elektrona ostavlja pozitivno naelektrisani jon.
Gustina naboja koja se veže za pozitivne jone je uniformno raspoređena kroz metal tako da se provodni elektroni kreću kroz konstantan elektrostatički potencijal. Svi detalji kristalne strukture se izgube kada se napravi ova pretpostavka. + + + + + +
Prema modelu slobodnih elektrona uzima se da je ovaj potencijal nula i da se odbojne sile među jonima zanemaruju.

20. Posmatrajmo metal u obliku kocke stranice L,
Stoga se može smatrati da se ovi provodni elektroni kreću nezavisno u pravougloj jami konačne dubine a rubovi jame odgovaraju rubovima uzorka.
Posmatrajmo metal u obliku kocke stranice L,
Ψ i E možemo naći rješavanjem Schrödinger’ove jednačine:
L/2 V
Pošto je
Uzimajući periodične granične uslove Ψ’ovi se dobiju kao progresivni
talasi.

21. Rješenja Schrödinger’ovih jednačina su ravni talasi,
Gdje je V volumen kocke, V=L3
Tako talasni vektor mora da zadovoljava
gdje p, q, r imaju vrijednost bilo kojeg cijelog broja; +ve, -ve ili nula.
Konstanta normiranja ; ;

22. Talasnoj funkciji Ψ(x,y,z) odgovara energija
I impuls
Energija je u potpunosti kinetička

23. Broj dozvoljenih vrijednosti od k u sfernoj ljusci k-prostora radijusa k je:
Gdje je g(k) gustina stanja po jedinici veličine k.

24. Broj dozvoljenih stanja po jedinici energije
Svako k stanje predstavlja dva moguća stanja elektrona, jedan za spin gore, drugi za spin dole.

25. Osnovno stanje slobodnog elektronskog gasa
Electroni su fermioni (s=±1/2) i slijede Paulijev princip isključivosti: svako energetsko stanje može primiti samo dva elektrona.
Najniže energetsko stanje N slobodnih elektrona se stoga dobije popunjavanjem N stanja najniže energije.

26. Sva stanja su popunjena do energije EF, koja je poznata kao Fermi energija, a koja se dobije integracijom gustine stanja po svim energijama, dakle od 0 do EF, Taj integral mora boiti jednak ukupnom broju raspoloživih stanja N.
Znamo da je:
Kad se to riješi po EF (Fermi energiju), dobijemo;

27. Iz ove dvije jednačine može se naći kF kao,
Zaposjednuta stanja su unutar Fermijeve sfere u k-prostoru koji je prikazan na slici ispod; radijus je Fermijev talasni broj kF. kz ky kx
Fermijeva
površina
E=EF kF
Iz ove dvije jednačine može se naći kF kao,
Površina Fermi sfere predstavlja granicu između zaposjednutih i nezaposjednutih i nezaposjednutih k stanja na apsolutnoj nuli za slobodni elektronski gas.

28. Tipične vrijednosti za jednovalentni natrijum su; za Na je atomska gustina i prema tome valentna elektronska gustina N/V je 1.402x1028 m-3 tako da je
Fermijeva temperatura degeneracije TF je

29. Samo na ovako visokim temperaturama čestice klasičnog gasa mogu dostići kinetičku energiju reda Fermijeve energije EF .
Samo na temperaturama iznad TF će se slobodni elektronski gas ponašati kao klasični gas.
Impuls fermijona je:
Ovo su vrijednosti impulsa i brzine elektrona u stanjima na Fermi površini u Fermi sferi.
Tako Fermi sfera igra značajnu ulogu u ponašanju metala.

30. Tipične vrijednosti jednovalentnog metala natrijuma

32. Modeli slobodnih elektrona
Kvantnomehanički model:
Elektroni su u potencijalnoj jami beskonačnih zidova. Oni ne napuštaju metal, ali se slobodno kroz njega kreću
Elektronski energetski nivoi su diskretni (kvantizirani) i jasno definisani tako da srednja energija elektrona nije jednaka (3/2)kBT
Elektroni zauzimaju energetske nivoe prema Paulijevom principu isključivosti
Elektroni dobijaju dodatnu energiju kada se primijeni električno polje.
Klasični model:
Metal čine nizovi pozitivnih jona sa elektronima koji slobodno putuju kroz nizove jona
Elektroni se tretiraju kao idealni neutralni gas, a njihova ukupna energija zavisi od temperature i primijenjenog polja
U odsutnosti električnog polja elektroni se kreću sa nasumično raspoređenim termičkim brzinama
Kada se primijeni električno polje, elektroni dobijaju rezultujuću brzinu drifta čiji je pravac suprotan od polja