1. Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS)
AVL medžiai
Saulius Ragaišis, VU MIF

2. Problema
Dvejetainis paieškos medis (DPM) gali „išsigimti“ (išsibalansuoti), tada paieška jame tampa neefektyvi – blogiausiu atveju ji gali tapti ... (geriausiu atveju paieškos DPM sudėtingumas yra ...).
Problemos sprendimo būdai:
laikas nuo laiko medį subalansuoti (balansavimas „brangi“ operacija);
naudoti specialius (neišsibalansuojančius) medžius (pvz., AVL medžius).

3. AVL medis
Apibrėžimas: AVL medis – tai (besibalansuojantis) dvejetainis paieškos medis, kurio (1) šaknies dešiniojo ir kairiojo pomedžių aukščiai skiriasi daugiausiai vienetu ir (2) abu pomedžiai, savo ruožtu, tai pat yra AVL medžiai.
AVL medis buvo pirmas besibalansuojantis medis. Jis buvo pasiūlytas 1962 m. ir gavo vardą iš savo kūrėjų (G. M. Adelson-Velsky ir E. M. Landis).
Ar efektyvi paieška AVL medyje?

4. AVL medžiai

5. Ne AVL medžiai

6. Paprastas elementų įterpimas

7. AVL medžio elementų tipas
type Balance_Factor_Type = (LH, EH, RH);
{ LH : left higher;
EH : equal heights;
RH : right higher }
type AVL_Tree_Type = ^AVL_Tree_Node_Type;
type AVL_Tree_Node_Type =
record
left, right : AVL_Tree_Type;
bf : Balance_Factor_Type;
info : ...
end.

8. Įterpimas procedure Insert(var root : AVL_Tree_Type;
newnode : AVL_Tree_Type;
var taller : Boolean);
var tallersubtree: Boolean;
begin
if root = nil then
root := newnode;
root^.left := nil;
root^.right := nil;
root^.bf := EH;
taller := true;
end
else with root^ do
if newnode^.info.key = info.key then
Error
else ...

9. Įterpimas (2) else if newnode^.info.key < info.key then begin
Insert(left, newnode, tallersubtree);
if tallersubtree then
case bf of
LH: LeftBalance;
EH: begin
bf := LH;
taller := true
end;
RH: begin
bf := EH;
taller := false
end
else taller := false
else ...

10. Įterpimas (3) else begin Insert(right, newnode, tallersubtree);
if tallersubtree then
case bf of
LH: begin
bf := EH;
taller := false
end;
EH: begin
bf := RH;
taller := true
RH: RightBalance;
end
else taller := false

11. Balanso atstatymas sukimu į kairę

12. Sukimo į kairę procedūra
procedure RotateLeft(var p: AVL_Tree_Type);
{p – šaknis, kurios pomedis yra sukamas}
var temp: pointer;
begin
if p = nil then
Error
else if p^.right = nil then
else begin
temp := p^.right;
p^.right := temp^.left;
temp^.left := p;
p := temp;
end;

13. Balanso atstatymas dvigubu pasukimu

14. Dešinio balansavimo procedūra
procedure RightBalance;
var x, {šaknies dešinysis pomedis}
w: AVL_Tree_Type; {kairysis x^ pomedis}
begin
x := root^.right;
case x^.bf of
RH: begin
root^.bf := EH;
x^.bf := EH;
RotateLeft(root);
taller := false
end;
EH: Error;

15. Dešinio balansavimo procedūra (2)
LH: begin
w := x^.left;
case w^.bf of
EH: begin
root^.bf := EH;
x^.bf := EH
end;
x^.bf := RH
RH: begin
root^.bf := LH;

16. Dešinio balansavimo procedūra (3)
w^.bf := EH;
RotateRight(x);
root^.right := x;
RotateLeft(root);
taller := false;
end
end;
Procedūros RotateRight ir LeftBalance yra labai panašios į RotateLeft ir RightBalance atitinkamai.

17. Algoritmo veikimo demonstravimas

18. Apibendrinimas
Didžiausias AVL medžių privalumas, kad jų aukštis visada labai artimas teoriniam minimumui
Pabandykime rasti blogiausią atvejį: koks gali būti maksimalus AVL medžio, turinčio n viršūnių, aukštis?
Ieškosime AVL medžio, kurio aukštis h, minimalaus viršūnių skaičiaus.

19. AVL medžio viršūnių skaičius
Fh yra nagrinėjamas AVL medis, kurio aukštis h. Fk ir Fd yra jo kairysis ir dešinysis pomedžiai. Vieno iš šių pomedžių, tarkime Fk, aukštis bus (h - 1), o kito (Fd) – (h - 1) arba (h - 2). Kadangi medis Fh turi mažiausią skaičių viršūnių, tai Fd aukštis turi būti (h - 2). Iš čia gauname, kad:
|Fh| = |Fh - 1| + |Fh - 2| + 1
Čia |Fh| yra medžio, kurio aukštis h, viršūnių skaičius.
Tokie AVL medžiai dar yra vadinami Fibonačio medžiais

20. Fibonačio medžių pavyzdžiai

21. AVL medžio maksimalus aukštis
Prie gautosios lygybės pridėję po 1, gauname:
|Fh| + 1 = (|Fh - 1| + 1) + (|Fh - 2| + 1)
|Fh| + 1 yra Fibonačio sekos narys, todėl :
|Fh| + 1 ≈
Išreiškus iš šios lygybės h ≈ 1,44 log |Fh|. Tai reiškia, kad pačiu blogiausiu atveju AVL medžio su n viršūnių apytikslis aukštis yra 1,44 log n.

22. Tikėtinas DPM aukštis
Vidutinis palyginimo operacijų skaičius vidutiniame DPM su n viršūnių apytiksliai lygus:
Vidutiniam DPM apytiksliai reikia karto 1,39 karto daugiau palyginimo operacijų negu visiškai subalansuotam medžiui.

23. Klausimai ?