1. KEERUKUSE MATEMAATIKAST
Peeter Lorents

2. Keerukus ja paljusus
Palju asju: keeruline värk
Palju teiste seast eristuvaid asju: üsna keeruline
Palju omadusi asjadel: veelgi keerulisem
Palju seoseid asjade vahel: päris keeruline
Palju asju + Palju eristuvaid asju + Palju omadusi + Palju seoseid = = Väga keeruline

3. Keerukus ja süsteemid Süsteemi olemasoluks peavad meil olemas olema
Süsteemi elemendid ehk just need asjad, millest käsiteldav süsteem koosneb
Süsteemi signatuur ehk süsteemi elementide just need iseärasused ehk täpsemalt: mingite elementide esile tõstetus, mingid elementide omadused või mingid elementide vahelised seosed, mida käsiteldavas süsteemis üleüldse vaadelda soovime
Märkus 1. Võib juhtuda, et mingitest asjadest süsteemi moodustades, pole meil ükski element eraldi silma hakanud. Sellisel juhul puuduvad signatuuris väljaeraldatud elemendid. Võib aga juhtuda, et elementide omadused meile huvi ei paku. Sellisel juhul puuduvad meie süsteemi signatuuris omadused. Kui me ei soovi tegeleda elementide vaheliste seostega, siis sellisel juhul puuduvad süsteemi signatuuris seosed. NB! Midagi peaks meil siiski olema:
Märkus 2. Süsteemi olemasoluks on vältimatu nii elementide kui ka signatuuri olemasolu. Seetõttu peab meil olema vähemalt üks element ja lisaks elementidele peab olema vaatluse all näiteks vähemalt üks esile tõstetud element, või vähemalt üks elementide omadus või vähemalt üks seos elementide vahel.
Märkus 3. Süsteem tundub seda keerukam, mida enam on selles elemente või mida arvukam on signatuur:
Mõni süsteem, milles on üsna vähe elemente võib tunduda keeruline, kui sellel on „rikkalik“ signatuur.
„Kasina“ signatuuriga süsteem võib tunduda keeruline, kui selles on arvukalt elemente.

4. Näide: Klassikaline tõeväärtuste süsteem
Elemente on vaid kaks: tõde, vale ehk 1,0
Signatuuris elementide omadusi pole, kuid on järgmised seosed:
Eituse seos eit(x) = 1 – x
Järeldamise seos jär(x,y) = 1 – x + xy
Samaväärsuse seos sam(x,y) = 1 – Ix – yI
Konjugeerimise seos kon(x,y) = xy
Disjungeerimise seos dis(x,y) = x + y – xy

5. Näide: Naturaalarvude astmete süsteem
Selle süsteemi elementideks on kõik naturaalarvud: 0,1,2,3,4,…
Selle süsteemi elementide seas väärivad esile tõstmist arvud 0 ja 1
Selle süsteemi signatuuris puuduvad omadused
Selle süsteemi signatuuris on vaid üks seos: astendamine
Näited seoses olemisest:
ast(0,0) = 1,
ast(0,1) = 0, ast(1,0) = 1, ast(1,1) = 1,
ast(0,2) = 0, ast(2,0) = 1, ast(1,2) = 1, ast(2,1) = 2, ast(2,2) = 4,
ast(0,3) = 0, ast(3,0) = 1, ast(1,3) = 1, ast(3,1) = 3, ast(2,3) = 8, ast(3,2) = 9, … … …

6. Näide: Mendelejevi süsteem Dmitri Mendelejev, Vene õpetlane, keemik 1834 - 1907

7. Keerukus=Süsteemitus, Lihtsus=Süsteemsus?
Sageli võib olla nii, et mingi kogum tundub keeruline, kui selles pole näha süsteemi ehk pole sellist olukorda, kus
vaadeldava kogumi elementidest pole ainsatki esile tõstetud või
vaadeldava kogumi elementidel pole fikseeritavaid iseärasusi (omadusi) või
vaadeldava kogumi elementide vahel pole fikseeritavaid seoseid
Niipea, kui õnnestub vaadeldava kogumi jaoks n-ö tekitada signatuur ehk fikseerida mõningaid esile tõstmist väärivaid elemente või fikseerida elementide mingeid omadusi või fikseerida mingeid seoseid elementide vahel, siis tundub, et see, mida vaatleme – enam polegi nii keeruline.

8. Näide: Fraktaalid (Gaston Julia ja Benoît Mandelbrot’ hulgad ehk nn komplekstasandi selliste punktide hulgad, mida seostavad nt valemid z1=z02+c, z2=z12+c, z3=z22+c,…)
Gaston Maurice Julia ( – ) Prantsuse matemaatik kellelt pärineb valem Julia hulkade jaoks. Tema töid selles vallas on tuntuks teinud Benoît Mandelbrot; Julia ning Mandelbroti fraktaalid on omavahel tihedalt seotud.
Benoît Mandelbrot ( Varssavi – Cambridge) Juudi päritolu prantsuse-ameerika matemaatik, fraktaali leiutaja.

9. Vahekokkuvõte:
Keerukuse või vastupidi lihtsuse tajumisel on oluline roll süsteemi olemasolul või puudumisel
Süsteemi kujundamine iseenesest ei muuda asju lihtsamaks ega keerulisemaks
Süsteemide keerukuse tajumisel on oluline roll süsteemi määravatel osistel (st esiteks süsteemi elementide hulgal ja teiseks süsteemi signatuuril ehk teiste elementide seast välja eraldatud elementide või omaduste või seoste fikseeritud kogumil)
või

10. Enne edasiminekut pangem tähele:
Mingi hulga elementide teatav omadus pole olemuselt midagi muud, kui selle hulga teatav osa. Näiteks USAs elavate inimeste omadus – olla tõeliselt lugupeetud – on mingi osa nende inimeste hulgast, kes elavad USAs. Ja kes sellesse osahulka kuulub, see on tõeliselt lugupeetud – ning teisipidi – kes on tõeliselt lugupeetud, see kuulub mainitud osahulka.
Mingi hulga elementide vaheline k-kohaline seos pole olemuselt midagi muud, kui teatav osa kõikide selle hulga elementidest koosnevate järjestatud k-elemendiliste „komplektide“ (ehk k- elemendiliste lõplike jadade, k-mõõtmeliste vektorite, k-kohaliste korteežide vms) kogumist. Näiteks seos „ema-laps“ meie seltskonnas on lihtsalt üks osa kõikidest sellistest järjestatud paaridest, mida siinviibijatest moodustada saab.

11. Süsteemi keerukuse hinnangu kujundamine
Muude tingimuste samasuse korral: mida enam elemente, seda keerulisem
Muude tingimuste samasuse korral: mida enam välja eraldatud elemente, seda keerulisem
Muude tingimuste samasuse korral: mida enam võrreldavates omadustes elemente, seda keerulisem
Muude tingimuste samasuse korral: mida enam võrreldavates k-kohalistes seostes elemente, seda keerulisem
Muude tingimuste samasuse korral: mida enam võrreldavates seostes „kohti“ ehk „positsioone“ on, seda keerulisem – ehk kui võrreldavate k’- kohalise ja k“-kohalise seose korral k’ k“ – seda keerulisem on neist teine

12. Kuidas on kokku lepitud ?!
Eelkirjeldatud „hinnakujundus“ iseenesest ei pruugi garanteerida süsteemide keerukuse võrdlusseose lineaarsust ehk n-ö ühel joonel olemist. Nii näiteks pole ilma eelneva määratlemise ja kokkuleppeta sugugi selge, et mis on keerulisem, kas süsteem, mille signatuuris on kaks binaarset (ehk kahekohalist ehk elemente kahekaupa seostavat) seost või süsteem, mille signatuuris on üks omadus ja üks ternaarne (ehk kolmekohaline ehk elemente kolmekaupa seostav) seos

13. Mõned näited
Üldiselt peetakse liitmist lihtsamaks võrreldes korrutamisega. Vaatleme nüüd süsteeme H’; + ja H“; . Küsimus: kumb on keerulisem? Vastus: otsustage ise! Näide 1. Olgu, et H’={0,1} ja H“={0,1}. Sellisel juhul on ju +={0,0,0, 0,1,1, 1,0,1} ning ={0,0,0, 0,1,0, 1,0,0, 1,1,1} Näide 2. Olgu, et H’={0,1} ja H“={0,2}. Sellisel juhul on ju +={0,0,0, 0,1,1, 1,0,1} ning ={0,0,0, 0,2,0, 2,0,0} Näide 3. Olgu, et H’={0,1} ja H“={2,3,4}. Sellisel juhul on ju +={0,0,0, 0,1,1, 1,0,1} ning ={2,2,4} Näide 4. Olgu, et H’={2,4} ja H“={2,4}. Sellisel juhul on ju +={2,2,4} ning ={2,2,4}

14. Süsteemne käsitlusviis ja keerukus
Süsteemse käsitlusviisi üheks aluseks on süsteemsuse printsiip (Lorents 1998): kõike, mida on võimalik ja seejuures ka mõistlik tuleks käsitleda süsteemina või süsteemi kuuluvana Siit aga ei tulene, nagu oleks iga asja süsteemseks käsitluseks mõeldav mingi ainsa süsteemi rakendamine. Sageli võib ühe ja sama asja käsitlemiseks kasutada mitmeid süsteeme. Erinevate süsteemide korral võib osutuda, et mõni on lihtsam, mõni keerulisem. Seetõttu olge tähelepanelik ning hoidke meeles Parkinson’i kolmandat seadust (Cyril Northcote Parkinson Briti mere-ajaloolane, sotsioloog ja publitsist): Kasv sünnitab keerukust, keerukus sünnitab langust

15. Veel üks keerukusega seostuv aspekt
Hegel’i seadus:
Kvantiteedi kasv tekitab kvaliteedi muutuse
Georg Wilhelm Friedrich Hegel (saksa filosoof – )

16. Arvutamise keerukus
Arvutamine on olemuselt mingi süsteemi raames toimuv konstrueerimine ehk selle süsteemi ühtede elementide seostamine teistega
Keerukust seostatakse sageli paljususega (nt kui palju tehteid ehk seostamisi tuleb teostada, kui palju koostisosi on seostatavatel elementidel, sh kui palju sümboleid on tehteid väljendavates kirjutistes, palju tüvekohti on arvutamisel kasutatavatel arvudel jms)
Keerukuse hinnang aga ei pruugi arvutamise korral üldse olla mingi arvuline või sellelaadne suurus!

17. Arvutamine ja algoritmid
Arvutamise olemusest aru saamiseks on üheks võimaluseks arvutuse teostamise algoritmi täpne määratlemine. Selleks on mitmeid võimalusi.
Näiteks:
briti matemaatiku Alan Turing’ (1912 – 1954)järgi Turingi tees
USA matemaatiku Alonzo Church (1903 – 1995) järgi Churchi tees
vene matemaatiku Andrei Markov (1903 – 1979)järgi Markovi printsiip

18. Turingi masinad Turingi masina koostisosadeks on
Välismälu ehk nn lint, mis jaguneb pesadeks. Pesad võivad olla mingites fikseeritud olekutes
Lugev-kirjutav pea, mis võimaldab enda juures paikneva pesa olekut muuta
Mehhaaniline seade, mis võimaldab muuta pesade ja lugeva-kirjutava pea asendeid teineteise suhtes
Sisemälu, mis igal hetkel peab olema mingis fikseeritud olekus
Masina töö seisneb käivitamise järgselt ühest seisundist järgmisse üleminekus (masina seisund on igal hetkel määratud sise- ja välismälu olekute ning lugeva-kirjutava pea asendiga). Masina töö on korraldatud programmi abil.
Masina programm koosneb käskudest, milles on kaks kirjet: masina olemasolev seisund ja seisund, millesse olemasolevast siirduda tuleb

19. Mitte-determineeritud Turingi masinad
Erinevus n-ö tavaliste ehk determineeritud Turingi masinatega seisneb selles, et mitte-determineeritud Turingi masinates on lubatud käsu täitmisel ühe seisundi asemel juhuslikult üle minna ühte võimalikku seisundisse fikseeritud seisundite hulgast. Mitte-determineeritud masinatega võib mõne ülesande lahendamine toimuda kiiremini ja väiksema mälu mahuga

20. Turingi masina mahuline keerukus
Mahuline keerukus on funktsioon, mille
sisendiks on käivitamise hetkel lindile kantud kirjutise pikkust väljendav arv x
väljundiks on töö lõppemisel lindile ilmunud kirjutise kõige suuremat võimalikku pikkust väljendav arv y, mis võib üleüldse ilmneda, kui masin töötleb kõiki mõeldavaid selliseid kirjutisi, mille pikkust väljendab arv x

21. Turingi masina ajaline keerukus
Ajaline keerukus on funktsioon, mille
sisendiks on käivitamise hetkel lindile kantud kirjutise pikkust väljendav arv x
väljundiks on töö lõppemisel kõige suuremat võimalikku „töötaktide“ kogust (ehk käskude täitmist) väljendav arv y, mis võib üleüldse ilmneda, kui masin töötleb kõiki mõeldavaid selliseid kirjutisi, mille pikkust väljendab arv x

22. Turingi masinate keerukuse iseloomustamine
Iseloomustamiseks kasutatakse sageli funktsioonide klasse:
Lineaarne keerukus
Polünomiaalne keerukus
Eksponentsiaalne keerukus … …
Kohutav keerukus

23. Blum’i teooria
Venezuelast pärit ja USAs töötanud arvutiteadlane Manuel Blum (1938) esitas aastal 1964 oma doktoriväitekirjas nn keerukuse aksiomaatilise teooria. Selle loomise ja arendamise eest sai aastal 1995 Turing’i preemia: the Turing Award in 1995 "In recognition of his contributions to the foundations of computational complexity theory and its application to cryptography and program checking". Märkus. Pildil on M.Blum koos abikaasa Leonore ja poja Avrim’ga, kes kõik on arvutiteaduse professorid!