1. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Modelos de filas de espera para melhoria de serviços Prof. Dr. Alexandre Pereira Salgado Junior FEARP-USP

2. Pedidos por telefone na L.L. Bean  Nos EUA vendas por catálogos: 13,6 bilhões de catálogos de 10 mil empresas  Operações de telemarketing  Decisões: curto prazo: escala de serviço e capacidade de atendimento médio prazo: número de pessoas a contratar e treinar  Problema nas 3 semanas que antecedem o Natal (20% da venda anual)  1998 vendas de US$580 milhões  Perdas estimadas em US$10 milhões  80% das chamadas com sinal de ocupado. Nos demais, espera de 10 minutos pelo atendente  Estudo de filas para determinar as características do sistema  Em 1999: atendentes: 500 --> 1275 linhas tronco: 150 --> 576 atendimento:  24% pedidos:  16,7% renda:  16,3 % (US$15 milhões) chamadas abandonadas:  81,3% tempo de resposta: 93’-->15’ Lucro:  US$ 10 milhões Custo:  US$1,6 milhões Melhorou a imagem Projeto custou US$40 mil!

3. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Elementos da análise de filas de espera  Fila uma simples fila de espera  Sistema de fila de espera chegadas servidores estruturas de fila de espera

4. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e  Determinando a população – fonte de usuários – uma população infinita pressupõe ser tão grande que sempre haverá possibilidade de um ou mais usuários chegarem para serem atendidos – uma população finita consiste de um número contável de usuários potenciais  Taxa de chegada, – freqüência de usuários chegando no sistema – tipicamente segue uma distribuição de Poisson

5. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e  Tempo de serviço – freqüentemente segue uma distribuição exponencial negativa – taxa média de serviço =   A taxa de chegada deve ser menor que a taxa de serviço, caso contrário o sistema entrará em colapso (   A Meta (Teoria das Restrições)

6. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Componentes de um sistema de filas Servidor Fonte de usuários Usuários atendidos chegadas Linha de espera ou fila

7. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Disciplina e comprimento da fila  Disciplina da fila – ordem em que os usuários são atendidos – FIFO (first in, first out), primeiro a entrar, primeiro a sair é o mais comum  Comprimento pode ser infinito ou finito – infinito é o mais comum – finito é limitado por alguma estrutura física

8. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Estruturas básicas de filas  Canais são o número de servidores paralelos  Fases denotam o número de servidores seqüenciais nos quais o usuário deverá passar

9. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Estruturas de canais únicos servidores fila Canal único, múltiplas fases fila servidor Canal único, fase única

10. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Estruturas de canais múltiplos servidores fila Múltiplos canais, fase única Múltiplos canais, múltiplas fases fila

11. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Características de Operação  A teoria matemática das filas não fornece soluções melhores ou ótimas. Ao invés disso, características de operação são descritas para análise da performance do sistema.  Em situação de continuidade se obtém o valor médio das características de performance que o sistema alcançará depois de um período longo de tempo.

12. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Características de operação NotaçãoDescrição Lnúmero médio de usuários no sistema (esperando e sendo atendidos) L q número médio de usuários na fila Wtempo médio gasto pelo usuário no sistema (esperando e sendo atendido) W q tempo médio gasto pelo usuário na fila

13. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e P 0 Probabilidade de zero usuário no sistema P n Probabilidade de n usuários no sistema  Taxa de utilização, proporção do tempo em que o sistema é usado NotaçãoDescrição

14. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Relação de custo na análise de filas Custo total Custo esperado Nível de serviço Custo de serviço Custo de espera

15. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Análise de filas e qualidade  Visão tradicional - o nível de serviço deve coincidir com o ponto mínimo da curva de custo total  Visão de TQM - no final das contas, o serviço sem qualidade absoluta é o maior custo efetivo

16. Modelos de Canal único, Fase única  Sempre assumindo taxa de chegada segundo Poisson  Variação – tempo de serviço exponencial (Básica) – distribuição geral (ou desconhecida) de tempo de serviço (generalizado) – média e variância – tempo de serviço constante (variância nula) – tempo de serviço exponencial com comprimento de fila finito – tempo de serviço exponencial com população de usuários finita

17. Modelos Analisados  Básico de servidor único (M/M/1)  Tempo de serviço constante (M/G/1) (  constante)  Fila com comprimento finito  População de usuários finita  Canais Múltiplos

18. Modelo básico de servidor único  Suposições: – taxa de chegada Poisson – tempo de serviço exponencial – disciplina da fila: primeiro a chegar, primeiro a sair – fila de comprimento infinito – população de usuários infinita  = taxa média de chegada   = taxa média de serviço

19. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Fórmulas do modelo de servidor único P 0 =  (1 - ) P n =  n P0P0 =  ()  (1 - ) L q = L =    Probabilidade de zero usuários no sistema Probabilidade de exatamente n usuários no sistema Número médio de usuários no sistema Número médio de usuários na fila n )(

20. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e   W = = L  W q =    =   = = = P 0  (1 - ) Tempo médio gasto pelo usuário no sistema Tempo médio gasto pelo usuário na fila Probabilidade de que o servidor esteja ocupado, fator de utilização Probabilidade de servidor vazio e que o usuário possa ser atendido

21. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Exemplo de servidor único (M/M/1) Dado: = 24 por hora,  = 30 usuários por hora = P 0 =  (1 - ) Probabilidade de zero usuários no sistema 1 - (24/30) = 0,20 L =  Número médio de usuários no sistema = 24/(30-24) = 4 L q =   Número médio de usuários na fila = 24 2 /30(30-24) = 3,2

22. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Tempo médio que o usuário gasta no sistema   W = = 1(30-24) = 0,167 hora = 10 min  I = Probabilidade que o servidor esteja vazio e o usuário possa ser atendido = 1 - 0,80 = 0,20 Tempo médio que o usuário gasta na fila W q =  = 24/30(30-24) = 0,133 hora = 8 min   = Probabilidade que o servidor esteja ocupado, fator de utilização = 24/30 = 0,80

24. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Tempo de serviço constante  Tempo de serviço constante ocorre com máquinas e equipamentos automáticos  Tempo de serviço constante é um caso especial do modelo de servidor único com tempo de serviço geral ou indefinido

25. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Características de operação para tempo de serviço constante (generalizado – M/G/1) W q = LqLq   (1 - ) P 0 = L q =       L =L =L q +  Probabilidade que não haja usuários no sistema Número médio de usuários no sistema Número médio de usuários na fila Tempo médio gasto pelo usuário na fila Com relação ao tempo de serviço:  é o tempo médio de atendimento  é o desvio padrão Se o tempo de serviço for constante, então  Com relação ao tempo de serviço:  é o tempo médio de atendimento  é o desvio padrão Se o tempo de serviço for constante, então 

26. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Probabilidade que o servidor esteja ocupado, fator de utilização   W = W q + Tempo médio que o usuário gasta no sistema   = Quando o tempo de serviço é constante (variância zero), as fórmulas podem ser simplificadas L q =           = =      =

27. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Exemplo de tempo de serviço constante  Lavagem automática de carros com tempo de serviço = 4,5 min  Taxa de chegada de carros = 10/hora ou = 1/6 por minuto (Poisson)   = 60/4,5 = 13,3/hora =  2  L q = (10) 2 2(13,3)(13,3-10) = 1,14 carros esperando W q = LqLq  =1,14/10 =0.114 hora ou 6,84 minutos

29. Fila com comprimento finito  Existe um limite físico para o comprimento da fila  M = máximo número de usuários no sistema  Taxa de serviço não pode ser menor que a taxa de chegada para permitir condições de estabilidade (  ) P 0 = L =     M  P n = (P 0 )  () n for n  M (M + 1  (  ) M + 1 1 - (  ) M+1 Probabilidade de zero usuários no sistema Probabilidade de exatamente n usuários no sistema Número médio de usuários no sistema

30. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Número médio de usuários na fila Tempo médio que o usuário gasta no sistema Tempo médio que um usuário gasta na fila L W =   (1 - P M ) L q =  (1- P M )  L   WW q = Seja P M = probabilidade de um usuário não entrar no sistema

31. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Exemplo de fila finita Quick Lube (troca rápida de óleo) tem espaço de espera para somente 3 carros = 20,  = 30, M = 4 carros (1 em serviço + 3 esperando) Probabilidade de zero carros no sistema P 0 =   M  1 - 20/30  20/30  5 = = 0,38 Probabilidade de exatamente n carros no sistema P m = (P 0 )  () n=M ( = (0,38) ) 4 20 30 = 0,076 Número médio de carros no sistema L =   (M + 1  (  ) M + 1 1 - (  ) M+1 = 20/30  1 -  20/30 (5  (20/30) 5 1 - (20/30) 5 = 1,24

32. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Número médio de carros na fila Tempo médio gasto por um carro no sistema Tempo médio gasto por um carro na fila = L W =  (1 - P M ) 1,24  20 (1-0,076) = 0,067 horas = 4,03 min L - L q =  (1- P M )   20(1-0,076)  30 = 1,24 - = 0,62 W =   W q =  30 0,067 - = 0,033 horas = 2,03 min

34. População de usuários finita  As chegadas se originam de uma população finita (contável)  N = tamanho da população © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e L q =  +   N - P n =P0P0  () n N! (N - n)! Onde n = 1, 2,..., N (1- P 0 ) Probabilidade de zero usuários no sistema Probabilidade de exatamente n usuários no sistema Número médio de usuários na fila P 0 =   n N! (N - n)!  N n = 0

35. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e W =W q +   L q + L = (1- P 0 ) W q =  (N - L) L q Tempo médio que o usuário gasta no sistema Tempo médio que o usuário gasta na fila Número médio de usuários no sistema

36. Exemplo de população finita  20 máquinas com média de operação de 200 horas antes de quebrar: = 1/200 hora = 0,005/hora  Tempo médio de manutenção = 3,6 horas:  = 1/3,6 hora = 0,2778/hora © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e = 20 n = 0 Probabilidade de zero máquinas no sistema P 0 = 1  n N! (N - n)!  N n = 0 1 (0,005/0,2778) n 20! (20 - n)!  = 0,652

37. L q =  0,005 + 0,2778 0,005 = 20 (1- 0,652) Número médio de máquinas na fila W = W q + 1  L = L q + (1-P 0 ) = 0,169 + (1-0,62) = 0,520 W q =  (N - L) L q Tempo médio que a máquina gasta no sistema Tempo médio gasto pela máquina na fila Número médio de máquinas no sistema = 0,169  +   N(1- P 0 ) (20 - 0,520) 0,005 0,169 == 1,74 1,74 + 1 0,278 = = 5,33 horas

39. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Modelos de canais múltiplos, fase única  Dois ou mais servidores (s) servem uma única fila  Chegadas segundo Poisson, serviço exponencial, população de usuários  s  >  P 0 = 1  n = s - 1 n = 0 ] +  () n 1 n! 1 s!  () s s  s  - ()

40. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e L = P n =P0,P0,  () n 1 s! s n-s for n > s P n =P0,P0,  () n 1 n! P w = P0P0  () s 1 s! s  s  - ()  ()    ( ) s (s - 1  ! (s  -   P 0 + Probabilidade de existirem exatamente n usuários no sistema Número médio de usuários no sistema Probabilidade de que um usuário chegando no sistema tenha que esperar for n <= s

41. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e  /s   L q = L   = W q =  1 W = LqLq W = L Número médio de usuários na fila Tempo médio gasto pelo usuário no sistema Tempo médio que o usuário gasta na fila Fator de utilização

42. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Exemplo de múltiplos servidores  Área de atendimento ao usuário = 10 usuários / hora  = 4 usuários / hora por atendente s  = (3)(4) = 12 > Lambda (10) P 0 = 1  n = s - 1 n = 0 ] +  () n 1 n! 1 s!  () s s  s  - () = 1 ] 1   () 1 1! 1 3!   () 3 3(4) 3(4)-10 ()  () 1 0!   () 1 2!  20 + + + = 0,045 S = 3 atendentes

43. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e L =L =  ()    ( ) s (s - 1  ! (s  -   P 0 + Número médio de usuários no sistema (10)(4) (10/4) 3 = (3-1)! [3(4)-10] 2 (0,045) + (10/4) = 6 Tempo médio de gasto por um usuário no sistema W = L = 6/10 = 0,60 hr = 36 min

44. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Número médio de usuários na fila Tempo médio gasto por um usuário na fila P w = P0P0  () s 1 s  s  - () Probabilidade de que um usuário que chegue no sistema tenha que esperar W q =  = 3,5/10 = 0,35 hrs = 21 min LqLq  L q = L= 6 - 10/4 = 3,5 s! = (0,45) = 0,703 10 4 () 3 1 3(4) 3(4)-10 () 3!

46. Exemplo 1  Colocar um quarto atendente para melhorar o serviço  Recalcule as características da operação. Melhorou? Po = 0,073 probabilidade de zero usuários L = 3,0 usuários W = 0,30 horas, 18 min no serviço Lq = 0,5 usuários esperando Wq = 0,05 horas, 3 min esperando, contra 21 anteriores Pw = 0,31 probabilidade de que o usuário tenha que esperar

48. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Exemplo 2 Análise de custo das filas O Administrador deseja testar duas alternativas para reduzir o tempo de espera do usuário: 1, Contratar outro empregado para empacotar compras 2, Abrir outro caixa, balcão de atendimento

49. Alternativa 1  O empregado extra custa $150 / semana  Cada um minuto de redução no tempo de espera do usuário evita perda de $75 / semana, em vendas  O empregado extra irá aumentar a taxa de serviço para 40 usuários por hora Recalcule as características operacionais do sistema Wq = 0,038 horas = 2,25 minutos, originalmente era de 8 minutos 8,00 - 2,25 = 5,75 minutos 5,75 minutos x $75/minuto/semana = $431,25 por semana O novo empregado economiza $431,25 - 150,00 = $281,25 / semana

51. Alternativa II  Novo balcão custa $8500 mais $200 por semana para o empregado  Os usuários se dividem automaticamente pelos dois caixas  A taxa de chegada se reduz de  = 24 para  = 12 (mas na planilha se mantém o mesmo dado)  A taxa de serviço para cada caixa permanece  = 30 Recalcule as características de operação do sistema W = 0,0397 horas = 0,381 minuto. Originalmente era de 8 minutos 8,00 – 0,381 = 7,62 minutos 7,62 minutos x $75/minuto/semana = $571,50/semana – $200 = $371,5/semana O novo balcão será pago em $8500/$371,5 = 22,8 semanas Se puder investir, escolha alternativa II para longo prazo

53. © 1998 by Prentice-Hall Inc Russell/Taylor Oper Mgt 2/e Exemplo 3 Análise de custo das filas O Administrador deseja testar duas alternativas para reduzir o tempo de espera do usuário: 1, Comprar uma caixa mais rápido que duplique o atendimento (passando de  =30 para  =60) 2, Abrir outro caixa, balcão de atendimento O custo é o mesmo e  Qual a melhor alternativa?

56. Exercício I  Uma grande loja de roupas masculinas emprega um alfaiate para ajustes de roupas de clientes. O número de clientes que necessitam de ajustes segue uma distribuição de Poisson com taxa média de chegada de 5 por hora. Os clientes provam a roupa que é marcada e então esperam pelo atendimento do alfaiate. Este tempo de atendimento segue aproximadamente uma distribuição exponencial com média de 10 minutos. Pergunta-se: a)Qual o número médio de clientes na sala de ajustes? b)Qual é o tempo que um cliente provavelmente gastará nesta espera? c)Qual a probabilidade do alfaiate estar desocupado?

58. Exercício II  Um agência bancária de uma universidade deve abrir conta para os novos alunos no início de cada ano letivo. A chegada deve obedecer Poisson com 4 alunos por hora. O tempo de atendimento do único funcionário do setor segue uma distribuição exponencial com média de 12 minutos por aluno. O banco que saber se o nível de serviço está bom ou se é necessário colocar mais um funcionário neste período.

60. EXERCICIO III (17.6-9)A Friendly Neighbor Grocery Store possui um terminal de caixa em tempo integral. Clientes chegam aleatoriamente no caixa a uma taxa média de 30 por hora. A distribuição de tempo de atendimento é exponencial, com uma média de 1,5 minuto. Essa situação resultou, ocasionalmente, em longas filas e reclamações por parte dos clientes. Portanto, como não há espaço para um segundo terminal de caixa, o gerente está considerando a alternativa de contratar outra pessoa para ajudar o caixa empacotando as mercadorias. Essa ajuda reduziria o tempo esperado para processar um cliente para um minuto, porém a distribuição ainda seria exponencial. O gerente gostaria de ter a porcentagem de tempo onde há mais de dois clientes no caixa abaixo de 25%. (a) Qual é a probabilidade de ter mais de dois clientes no caixa?

61. EXERCICIO IV 17.6-10. O Centerville International Airport possui duas pistas, uma usada exclusivamente para levantar vôo e a outra exclusiva para aterrissagens. Os aviões chegam no espaço aéreo de Centerville para solicitar instruções de pouso de acordo com um processo de Poisson em uma taxa média de 10 por hora. O tempo necessário para um avião pousar após receber autorização para fazê-lo tem uma distribuição exponencial com uma média de três minutos e esse processo tem de ser completado antes de dar autorização para pouso para outro avião. Aviões aguardando autorização devem circular pelo aeroporto. A Administração Federal da Aviação tem uma série de critérios referentes ao nível de segurança de congestionamento de aviões aguardando para pousar. Esses critérios dependem de uma série de fatores referentes ao aeroporto envolvido, como o número de pistas disponíveis para aterrissagem. Para o Centerville, os critérios são: (1) o número médio de aviões aguardando para receber autorização para pouso não deve exceder 1, (2) 95% do tempo, o número real de aviões aguardando para receber autorização para pouso não deve exceder 4, (3) para 99% dos aviões, o tempo gasto circulando o aeroporto antes de receber autorização para pouso não deve exceder 30 minutos (já que exceder esse período normalmente exigiria o redirecionamento do avião para outro aeroporto para um pouso de emergência antes que seu combustível acabe).

62.  (a) Avalie em que nível esses critérios estão sendo satisfeitos no momento.  (b) Uma importante companhia aérea considera a possibilidade de adicionar esse aeroporto como um de seus principais terminais. Isso aumentaria a taxa média de chegada a 15 aviões por hora. Avalie em que nível os critérios anteriores seriam satisfeitos se isso acontecesse.  (c) Para atrair mais negócios [inclusive a importante companhia aérea mencionada no item (b), a gerência do aeroporto considera uma segunda pista para pouso. Estima-se que esta aumentaria finalmente a taxa média de chegada para 25 aviões por hora. Avalie em que nível os critérios anteriores seriam satisfeitos caso isso acontecesse.

63. EXERCICIO V  17.6-31. A Dolomite Corporation planeja construir uma nova fábrica. Foram alocadas 12 máquinas semi-automáticas a um departamento. Um pequeno número (ainda a ser determinado) de operadores será contratado para fornecer às máquinas o atendimento ocasional necessário (carregamento, descarregamento, ajuste, preparação e assim por diante). É preciso decidir agora como organizar os operadores para fazer isso. A alternativa 1 é alocar cada operador às suas próprias máquinas. A alternativa 2 é fazer um pool de operadores de modo que qualquer operador ocioso possa pegar a próxima máquina precisando de atendimento. A alternativa 3 é combinar os operadores em uma única equipe que trabalhará junta em qualquer máquina precisando de atendimento.  Supõe-se que o tempo em operação (tempo entre completar um atendimento e aquele de a máquina precisar de atendimento novamente) de cada máquina tenha uma distribuição exponencial, com média de 150 minutos. Supõe-se que o tempo de atendimento tenha uma distribuição exponencial, com média de 15 minutos (para as alternativas 1 e 2) ou 15 minutos divididos pelo número de operadores na equipe (para a alternativa 3). Para o departamento atingir a taxa de produção exigida, as máquinas têm de estar operando, em média, pelo menos 89% do tempo.

64.  (a) Para a alternativa 1, qual é o número máximo de máquinas que pode ser alocado a um operador ainda mantendo a taxa de produção necessária? Qual é a utilização resultante de cada operador?  (b) Para a alternativa 2, qual é o número mínimo de operadores necessário para alcançar a taxa de produção exigida? Qual é a utilização resultante dos operadores?  (c) Para a alternativa 3, qual é o tamanho mínimo da equipe necessário para alcançar a taxa de produção necessária? Qual é a utilização resultante da equipe?

65. Filas na WEB  www.usp.br/fearp/po  www.prenhall.com/weiss  http://www.dei.isep.ipp.pt/~andre/docum/tfe. htm  http://www.prenhall.com/divisions/bp/app/ru ssell/student/html/internet16.html