1. Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Dep. Engª Mecânica Escola de Engenharia Universidade do Minho Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado 3. Lubrificação Hidrodinâmica

2. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 3. Lubrificação Hidrodinâmica 2 3.1 – Escoamento viscoso entre placas paralelas - introdução - perfil de velocidades e suas componentes - caudal volúmico de escoamento - tensões tangenciais nas superfícies - geração de pressões 3.2 – O patim de deslizamento - distribuição de pressões - forças actuantes nas superfícies - atrito viscoso e potência dissipada - caudal volúmico de escoamento - geração de calor 3.3 – Aplicação à chumaceira de patins pivotantes - limitações do patim fixo - princípios de funcionamento - solução ‘universal’ - patins de largura finita Tópicos

3. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas 3 Introdução  Partindo de um certo número de pressupostos simplificativos (a especificar mais adiante) a análise do escoamento entre duas placas paralelas, com movimento relativo, pode reduzir-se a dois mecanismos simples: i)o movimento relativo, tangencial, das superfícies – que provoca o arrastamento do fluido – no que é designado como escoamento de Couette; ii)a existência de um gradiente de pressões ao longo do comprimento da película – que origina o movimento da zona de mais altas para a de mais baixas pressões – no que é designado como escoamento de Poiseuille. 3. Lubrificação Hidrodinâmica Estes dois tipos de escoamento podem ser facilmente caracterizados, independente e conjuntamente, recorrendo à análise do “escoamento de um fluido viscoso, entre duas placas de largura infinita” Esboços ilustrativos…

4. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas 4 Introdução  Assim sendo, e considerando duas superfícies de largura infinita, separadas por uma película contínua de espessura (h) em (zz), cujas velocidades de deslocamento paralelo sejam (U 1 e U 2 ), a pressão na película é apenas e só função da posição axial (xx): 3. Lubrificação Hidrodinâmica Obs.:embora o problema vá aqui ser integralmente analisado em termos das velocidades absolutas (U 1 e U 2 ), pode também ser abordado em termos de velocidades relativas, considerando por exemplo (U 1 =0), donde (U 2 =U=U 2 -U 1 ) – o que evidencia o chamado ‘perfil triangular de velocidades’.

5. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas 5 Introdução  Tomando agora o elemento de fluido, de dimensões elementares [dx, dz], e considerando que não há variação de pressão na direcção (yy)  placas de largura infinita desprezando quaisquer forças de inércia  massa do fluido desprezável, dado o volume em causa e convencionando que o aumento de pressão e/ou velocidade se dá no sentido positivo dos eixos, então as componentes de pressão e de forças viscosas actuantes no elemento, em equilíbrio, serão: 3. Lubrificação Hidrodinâmica ou seja: que, simplificando, vem como: [1] z x

6. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 6 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas Perfil de velocidades e suas componentes 3. Lubrificação Hidrodinâmica donde, uma vez que (p) é apenas função de (xx), a integração em ordem a (zz) resulta em: η·du/dz = z·dp/dx + A [3] η·u = z 2 /2·dp/dx + A·z + B [4] e, uma vez que as condições de fronteira são: para (zz)=0 → u = U 1 para (zz)=h → u = U 2 então as constantes de integração virão como, A = η/h·(U 2 -U 1 ) -h/2·dp/dx B = η·U 1  A equação anterior, se a viscosidade (η) for considerada como constante ( hipótese que é usual… ), pode ser reescrita como: η·d 2 u/dz 2 = dp/dx [2]

7. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 7 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas Perfil de velocidades e suas componentes pelo que, atendendo à equação [3] e à relação newtoniana entre viscosidade e tensão tangencial entre camadas contíguas de fluido, vem que: [5] 3. Lubrificação Hidrodinâmica  Do mesmo modo, através da equação [4], obtém-se a distribuição de velocidades, na direcção (zz): [6] em que se podem distinguir as duas componentes já referidas: de Couette – correspondente a um perfil linear de velocidades, função da velocidade relativa das duas superfícies; de Poiseuille – correspondente a um perfil parabólico de velocidades, função do diferencial, positivo ou negativo, de pressões em (xx).

8. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 8 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas Perfil de velocidades e suas componentes Sendo de notar que, da conjunção dos dois efeitos, e dependendo do gradiente de pressões em dado ponto do escoamento, podem resultar perfis totais de velocidade completamente diferentes. 3. Lubrificação Hidrodinâmica e ainda de referir que para haver continuidade – i.e., para que o caudal seja sempre constante e, portanto, igual em qualquer ponto ao longo do comprimento (xx) – a área total (positiva) resultante tem de ser idêntica em ambos os casos. += += - se (dp/dx)<0:  Em escoamento de Poiseuille puro (equivalente a U 1 =U 2 =0), a velocidade máxima ocorre para (z=h/2) e tem o valor de: u max = -(h 2 /8η)·dp/dx [7] - se (dp/dx)>0:

9. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 9 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas Caudal volúmico 3. Lubrificação Hidrodinâmica o caudal volúmico, por unidade de largura das placas, representa o volume de fluido que atravessa qualquer secção de largura unitária, normal à direcção do escoamento, por unidade de tempo. Assim, o volume elementar de fluido que atravessa a secção de área (dA), a uma dada altura (z), será: dQ x = u·dA e o caudal total por unidade de largura da secção dado por:  Considerando um perfil de velocidades de escoamento, entre placas paralelas, qualquer:

10. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 10 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas Caudal volúmico e, atendendo a que, 3. Lubrificação Hidrodinâmica vem que o caudal em (xx): [8] sendo, a 1ª parcela do segundo membro, corresponde à componente de velocidade de escoamento linear, usualmente designada como ‘caudal de Couette’ ou ‘caudal de velocidade’; a 2ª parcela do segundo membro, corresponde à componente de velocidade de escoamento parabólico, usualmente designada como ‘caudal de Poiseuille’ ou ‘caudal de pressão’.

11. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 11 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas Caudal volúmico  Considerando ainda um hipotético escoamento com um perfil constante de velocidades em (zz), que resultaria num caudal idêntico ao que ocorre em qualquer das condições vistas atrás, é assim possível definir uma ‘velocidade média’ de escoamento (U m ), tal que: U m = Q x /h [9] 3. Lubrificação Hidrodinâmica Nestas condições vem que: dp/dx = 6·η·(U 1 +U 2 )/h 2 [10]  Por sua vez, nas condições em que (dp/dx)>0 e em que, portanto existem dois sentidos opostos de escoamento, consoante a altura (z), é possível que a resultante total seja nula, ou seja, que Q x =0.

12. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 12 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas Tensões tangenciais nas superfícies 3. Lubrificação Hidrodinâmica dadas respectivamente por: τ 1 =(η·du/dz) z=0 τ 2 =-(η·du/dz) z=h pelo que, recorrendo à equação [5] : [11] Nota:esta solução é aplicável tanto a um patim linear como à chumaceira radial, uma vez que nesta, sendo a espessura (h) muito inferior ao próprio raio, o efeito geométrico da curvatura das superfícies pode ser desprezado.  Dado o gradiente de velocidades ao longo da espessura (zz) da película, geram-se tensões tangenciais (viscosas) nas interfaces com as superfícies sólidas:

13. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 13 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas Geração de pressões  O fim último deste mecanismo hidrodinâmico, em tribologia, é a utilização do fenómeno de geração de pressões – por efeito hidrodinâmico, na direção (zz) – que promova a separação das superfícies. 3. Lubrificação Hidrodinâmica Todavia, a dedução da própria equação assenta em importantes pressupostos simplificativos, a saber: o fluido tem um comportamento newtoniano  hipótese válida para os óleos lubrificantes comuns ; o escoamento é laminar  situação usual, excepto para muito altas velocidades de funcionamento (Re ↑↑ ) ; não há escorregamento na interface líquido-sólido  hipótese comum em análise de escoamentos ; viscosidade e densidade do lubrificante não variam na direcção da espessura da película  aproximação razoável, tendo em conta a diminuta espessura desta quando comparada com a sua extensão ; a pressão não varia na direcção da espessura da película  idem ; as forças de inércia, assim como as gravíticas, actuantes no fluido não são contabilizadas  aproximação realista, tendo em consideração a massa de fluido em comparação com as forças viscosas e de pressão geradas ; o efeito de uma eventual curvatura das superfícies, no escoamento, é desprezável  simplificação válida, para raios de curvatura várias ordens de grandeza superiores à espessura da película.  A equação de Reynolds é, assim, a base da teoria e análise da lubrificação hidrodinâmica, ( sendo de realçar que, aqui, o estudo será limitado a fluidos viscosos líquidos e incompressíveis )

14. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 14 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas 3. Lubrificação Hidrodinâmica em que: U 1, V 1 – componentes da velocidade da superfície inferior, nas direcções (xx) e (yy) U 2, V 2 – componentes da velocidade da superfície superior, nas direcções (xx) e (yy) ρ – densidade do fluido Ref.:‘Osborne Reynolds’: https://en.wikipedia.org/wiki/Osborne_Reynolds http://www.encyclopedia.com/topic/Osborne_Reynolds.aspx http://www.phy.davidson.edu/fachome/dmb/PY430/Friction/lubrication.htm Geração de pressões  Na sua forma generalizada, a equação de Reynolds contempla variações de pressão, de espessura (geometria) da película, além de densidade e de viscosidade do fluido, e ainda de eventuais variações da espessura com o tempo (funcionamento não-estacionário), em duas direcções (xx) e (yy): [12]

15. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 15 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas 3. Lubrificação Hidrodinâmica Geração de pressões  Considerando ainda que, grande parte das chumaceiras funcionam em regime estacionário  (dh/dt=0) (sendo de realçar que, aqui, o estudo será limitado a estes casos) uma chumaceira radial tem movimento de rotação, de que resulta velocidade linear em (xx), mas habitualmente não tem movimento axial, em (yy)  V 1 =V 2 =0 um fluido lubrificante líquido pode ser considerado incompressível  ρ=const. na gama de pressões espectável numa chumaceira, o efeito daquelas sobre a viscosidade é desprezável  na verdade, só para condições elastohidrodinâmicas este efeito se torna relevante o efeito da eventual variação de temperatura no seio da película não influencia a sua viscosidade  sendo que esta condição de ‘isoviscosidade’ é um importante pressuposto limitativo então a equação de Reynolds simplificar-se-á significativamente: [13]

16. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 16 3.1 Escoamento viscoso entre placas paralelas 3. Lubrificação Hidrodinâmica Geração de pressões  A equação [13], mesmo tendo em conta todos os pressupostos simplificativos genéricos e específicos já listados, é uma equação diferencial de 2ª ordem, pelo que não é resolúvel analiticamente, mas a sua resolução é possível através de métodos numéricos – usualmente de diferenças finitas ou de elementos finitos, solução adoptada desde os anos 60 para a criação de ferramentas de projecto genéricas e, até à actualidade em desenvolvimento para solução específicas, contabilizando um crescente número de especificidades (formas de alimentação de lubrificante, etc.) ; alternativamente, foram exploradas formas simplificadas da equação para as quais é possível obter soluções analíticas como, por exemplo: a ‘chumaceira infinitamente longa’, em que a variação da pressão em (yy) é considerada desprezável em relação à sua variação circunferencial, ou seja em (xx), pelo que a equação de Reynolds se reduz a [14] (de notar que, em termos quantitativos, esta simplificação constitui uma limitação importante, uma vez que o escoamento axial – em (yy) – que não é contabilizado nem contabilizável tem, na realidade, um papel relevante no desempenho da chumaceira)

17. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 17 Introdução  Os patins (ou ‘pastilhas’) de deslizamento são componentes de chumaceiras axiais ou radiais que funcionam pelo princípio de geração de pressões hidrodinâmicas, é a resultante destas pressões que determina a capacidade de carga da chumaceira.  Estes patins podem ser fixos ou pivotantes, sendo estes últimos os mais comuns por poderem de uma forma automática adaptar-se a variações de carga e, portanto, de pressão gerada. 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica  O estudo iniciar-se-á pelo ‘patim fixo de largura infinita’, sendo de notar que a inclinação real do patim é muito reduzida, sendo a variação de (h) da ordem dos 1/1000 em relação ao seu comprimento.

18. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) Ora, considerando o perfil de velocidades ao longo do comprimento do patim: - a pressão será nula para (x=0) e para (x=l); - a pressão terá um máximo para (0 < x m < l) em que (h=h m ); - então, (dp/dx=0), para (h=h m ); - pelo que, C 1 = -6·η·U·h m - e então: [17] 18 Distribuição de pressões 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica  Tomando a equação [14] que, considerando (U 1 =U, U 2 =0) virá como: [15] da sua integração em (xx) resulta: [16] p x x

19. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 19 Distribuição de pressões Para a integração da equação [17] é necessário estabelecer a função da variação de (h) em (xx) – neste caso admitida como linear: h = (h i -h o )-(h i -h o )·(x/l)+h o = h i -(h i -h o )·(x/l) 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica donde: [18] além de que, considerando as condições de fronteira, p = 0 para (h = h i ) e (h = h o ), além de que h m =(2·h o ·h i )/(h i +h o ) [19] pode demonstrar-se que, [20]

20. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 20 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica Distribuição de pressões Por sua vez, adimensionalizando os parâmetros geométricos, h = (h/h o ) e x = (x/l), donde h = h i -(h i -1)·x [21] virá, [22] ou ainda, adimensionalizando a pressão: p = p·(h 0 2 /(η·U·l)) [23] [24] [25]

21. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 21 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica Distribuição de pressões  A partir da equação [20] pode constatar-se a variação de (p) com (x), em função de (h i ), podendo concluir-se que existe um valor óptimo de (h i ), para o qual a área sob a curva – que é equivalente à capacidade de carga – é maximizada. Obs.: de notar que (h i ) é função da inclinação do patim. A altura (h m ) adimensional em que ocorre a pressão máxima (p m ) pode obter-se a partir de [19], h m =(2·h i )/(1+h i ) [26] e a respectiva posição (x m ) adimensional através da equação [21], para (h=h m ): x m =h i /(1+h i ) [27]

22. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 22 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica Distribuição de pressões  Torna-se evidente da Figura, e também como resultado da equação [27] que, com o aumento de inclinação – aumento de (h i ) – o ponto de pressão máxima se aproxima da saída do contacto e que, inver- samente, quando a inclinação diminuiu, aproxima-se do centro: lim hi→ h x m = 1 e lim hi→ 1 x m = 1/2  Por sua vez, através de [25] e [27], a pressão máxima vem como, p m = 3·(h i -1) / (2·h i ·(h i +1)) [28] pelo que: lim hi→ 1 (p m ) = 0 e lim hi→ h (p m ) = 0 resultado que, além de óbvio (superfícies paralelas ou perpendiculares não originam pressões), permite admitir que há um valor de inclinação óptimo, que maximizará a pressão. Tal acontece para (dp m /dh i ) = 0, cuja solução é h i = 1 ES 2 = 2.414 Nota:efectivamente verifica-se que esta condição de maximização da pressão não significa a maximização da capacidade de carga, como adiante se verá.

23. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 23 Forças actuantes nas superfícies 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica  Assim, as condições de equilíbrio podem enunciar-se como: P z1 – P z2 = 0 e [29] F 1 + F 2 + P x2 = 0  Podem dividir-se as forças actantes nas superfícies em dois tipos, forças resultantes da pressão, que actuam na normal às superfícies – aqui identificadas pelas componentes (P z1 e P z2 ) e (P x2 ); forças resultantes do escoamento viscoso, que actuam tangencialmente às superfícies – respectivamente (F 1 ) e (F 2 ). Nota:efectivamente haverá ainda uma componente (F z2 ) mas, como a inclinação do patim é pequena, esta pode ser desprezada.

24. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 24 Forças actuantes nas superfícies  Componentes normais, segundo (zz) 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica e a adimensionalização de (p), (h) e (x), obtém-se: Assim sendo, a Capacidade de Carga (W) – que corresponde a (P z1 ) e/ou a (P z2 ) – poderá ser adimensionalizada na forma: [30] [31] Tomando (b) para a largura do patim:

25. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 25 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica em que capacidade de carga é maximizada para (dW/dh i )= 0, correspondente a (W=0.1602) para (h i =2.18). Nota: usualmente, a carga (W) e a velocidade (U) são especificações de partida do projecto; assim, o processo passa pela selecção dos parâmetros geométricos (l, b e h i ) e pela viscosidade (η) que garantam uma espessura mínima de película (h o ), dado pela equação [30] na forma: [32] sendo conveniente garantir que (h o ≥ 4·Σ R a ). Forças actuantes nas superfícies  Componentes normais, segundo (zz) A partir da equação [31] pode observar-se o comportamento da capacidade de (W) com a inclinação do patim, expressa por (h i ),

26. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 26 Forças actuantes nas superfícies  Componentes normais, segundo (zz) Adicionalmente, pode ainda localizar-se o Centro de Pressões, isto é a posição de actuação da resultante (P z ) – sendo que as acções sobre duas superfícies (P z1 ) e (P z2 ) coincidem em valor e posição, sendo igualmente o ponto de aplicação da carga. 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica Assim, pelo que, que se pode demonstrar resultar em, [33]

27. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 27 Forças actuantes nas superfícies  Componentes normais, segundo (zz) Sendo a localização do centro de pressões (x cp ) apenas função de (h i ), pode analisar-se o comportamento dos dois parâmetros: 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica

28. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) Tomando, de igual modo, (b) para a largura do patim temos que, por definição, (P x1 ) = 0, enquanto que donde se pode deduzir: [34] 28 Forças actuantes nas superfícies  Componentes tangenciais, segundo (xx) 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica Como, por sua vez, pode chegar-se a: [35] [36]

29. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) ou na forma, μ = (h o /l)·μ [37] com recurso à definição de um parâmetro adimensional de atrito tal que, [38] 29 Forças actuantes nas superfícies  Componentes tangenciais, segundo (xx) A partir destas, pode deduzir-se o Coeficiente de Atrito: μ = - F 1 /P z1 = (F 2 +P x2 )/P z2 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica Nota:a ordem de grandeza do coeficiente de atrito viscoso espectável num patim, pode obter-se a partir de [37], tendo que: h o /l  10 -3  μ  5  μ  0.005

30. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 30 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica Forças actuantes nas superfícies  Componentes tangenciais, segundo (xx) A partir da equação [38] pode ainda analisar-se a evolução do atrito viscoso com a altura (h i ) que, como já visto, parametriza a inclinação do patim. assim, existirá um valor mínimo da função, para dμ/dh i = 0 sendo que esse valor corresponde a: h i = 2.534 para o qual, μ = 4.622

31. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 31 Forças actuantes nas superfícies  Componentes tangenciais, segundo (xx) As tensões viscosas tangencias, no seio da espessura da película, originam uma resistência ao movimento da superfície móvel, de grandeza (-F 1 ). 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica que, de igual modo, se pode adimensionalisar através de: [39] donde, [40] Assim, a Potência Dissipada será dada por: H = -U·F 1 =

32. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 32 Forças actuantes nas superfícies  Componentes tangenciais, segundo (xx) A sua variação pode igualmente ser analisada, obtendo-se a seguinte curva de comportamento: [Nota: no gráfico, E ≡ H] 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica

33. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 33 Caudal volúmico de escoamento 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica p  Assim, para a secção de pressão máxima (dp/dx=0), em que a altura de película (h m ) é dada pela equação [19] e a componente de escoamento de Poiseuille é nula, o caudal pode calcular-se através da equação [8], vindo como: Por sua vez, tomando o parâmetro adimensional, q = 2·h i /(1+h i ) [41] poderá reescrever-se o caudal na forma: [42]  Numa situação de patim de largura infinita, e em que portanto não há escoamento lateral e se, além disso, se considerar o fluido como incompressível, então o caudal será constante em qualquer secção do perfil da película.

34. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 34 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica Caudal volúmico de escoamento É de notar que (q) é igual a (h m ) sendo este, assim, uma medida do caudal de lubrificante De igual modo, sua relação com (h i ) pode ser parametrizada:

35. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 35 Geração de calor 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica  Na solução da equação de Reynolds, tal como apresentada – bem como o cálculo de todos os parâmetros de desempenho – considera-se um valor de viscosidade (μ e ) chamada de viscosidade efectiva, naquilo que se designa por uma aproximação isoviscosa do fenómeno. Nota:na verdade a temperatura num patim tende a aumentar ao longo do seu comprimento, sendo mais elevada na região de espessura mínima. Em termos de projecto ‘isoviscoso’, considera-se usualmente como aproximação um aumento de temperatura do lubrificante (ΔT), em relação à de entrada (T i ), baseado numa absorção de calor da ordem dos 80% do total gerado, utilizando-se este valor – designado por temperatura efectiva, (T e = T i + ΔT) – para efeitos de cálculo.  O calor gerado por atrito viscoso é, em parte, dissipado por condução e por radiação para o exterior.  Todavia, a maior parte é absorvido pelo fluido, contribuindo para o seu aumento de temperatura. Ora, tendo presente que, a viscosidade dos fluidos lubrificantes é significativamente influenciada pela temperatura; e, por sua vez, a capacidade de carga depende directamente da viscosidade ‘de serviço’, torna-se evidente a necessidade de uma estimativa, o mais precisa possível da temperatura do lubrificante em funcionamento.

36. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 36 Geração de calor A determinação do aumento de temperatura do fluido baseia-se na quantidade de calor gerado por atrito viscoso por unidade de tempo, ou seja, (H/J) – sendo (H) a potência dissipada, eventual- mente afectada da respectiva percentagem absorvida, e (J) o equivalente mecânico do calor. Esta quantidade de calor provocará um aumento (ΔT) da temperatura de acordo com a expressão: H/J = K·ρ·q·ΔT sendo (K) o calor específico do fluido e (ρ) a sua densidade, e (q) o caudal volúmico. 3.2 O patim de deslizamento 3. Lubrificação Hidrodinâmica Sendo então, ΔT = H/(J·K·ρ·q) e, recorrendo às equações [39] e [41], virá: [43]

37. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.)  Na prática os patins fixos são maquinados de forma a garantir um valor fixo de (hi) de cerca de 2.18. Como se pode comprovar, este é o valor para o qual a se maximiza a sua eficiência, para dadas condições de capacidade de carga (W p ) e de espessura de película mínima (h o p ). 37 Limitações do patim fixo 3.3 Aplicação à chumaceiras de patins pivotantes 3. Lubrificação Hidrodinâmica  Todavia esta solução tem algumas limitações, a saber: por razões óbvias razões, o sistema não comporta a inversão do sentido de rotação do moente; além disso se, para dadas condições, a carga for superior à de projecto (W>W p ), a espessura mínima de película será inferior (h o <h o p ), o que originará um aumento de (h i ) e consequentemente, o patim deixará de funcionar nas condições de máxima eficiência para que foi projectado; pela mesma ordem de razões, o mesmo sucede no caso de a carga ser inferior (W<W p );  Por estas razões – não só em grande parte das aplicações práticas o sentido de rotação pode alternar, como também a carga aplicada pode ter variações durante o ciclo, ou em regimes diferentes, de funcionamento de um equipamento – é frequente a adopção de uma solução de ‘patim pivotante’. a sua análise foi iniciada por Michell (1905), continuando ainda hoje a ser objecto de estudo e desenvolvimento, quer na parametrização do seu funcionamento quer na optimização a nível de projecto e de desempenho. em serviço.

38. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 38 Princípios de funcionamento  O patim tem rotação livre em torno de um eixo (R), judiciosamente localizado no seu centro de pressões (x cp ) desta forma o equilíbrio do patim determina que a componente (P z ), que contrabalança a carga (W), passa sempre por (R); sendo a posição do eixo fixa, o centro de pressões também é fixo e ocorre no mesmo ponto.  Sendo o centro de pressões função de (h i ), é de notar que uma vez escolhido este fica fixado aquele. Normalmente é adoptado um valor de (h i =2), muito próximo da maximização da capacidade de carga, donde de acordo com a equação [33] vem (x cp =0.57) para a posição do eixo. sendo que as espessuras à entrada e à saída do patim variarão com a carga aplicada, mantém-se no entanto constante o valor de (h i ) o que se traduz na maximização da capacidade de carga (W) e sua eficiência. esta solução resolve a questão da manutenção de eficiência mas, evidentemente, não a da reversibilidade do sentido de rotação. 3.3 Aplicação à chumaceira de patins pivotantes 3. Lubrificação Hidrodinâmica

39. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 39 Solução ‘universal’  A solução, para apoio de veios com funcionamento reversível do sentido de rotação, passa pela colocação do eixo na posição de (x cp =0.5). a este posicionamento corresponde um valor de (h i =1) que, equivalendo a ter as duas superfícies paralelas, resulta numa capacidade de carga teoricamente nula; na prática verifica-se que, mesmo assim, há a possibilidade de geração de pressões hidrodinâmicas e, portanto, de uma efectiva capacidade de suporte de carga.  A explicação do fenómeno envolve pelo menos um, senão vários, dos seguintes mecanismos: deformação da superfície, devido à carga aplicada, dando origem a um perfil convergente – a ‘cunha lubrificante’ necessária – obtida pela própria elasticidade do patim; imprecisões de planicidade na maquinagem, que permitem uma geometria favorável; a geração de calor que, fazendo aumentar a temperatura do lubrificante mas também o seu volume, ao longo do seu escoamento, gera um gradiente de pressão no seio deste. 3.3 Aplicação à chumaceira de patins pivotantes 3. Lubrificação Hidrodinâmica

40. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 40 Solução ‘universal’  Determinação da espessura mínima de película, para efeitos de cálculo para projecto: considerando uma chumaceira com vários patins, e admitindo uma distribuição uniforme da carga em que cada patim suportará uma carga de valor (W), o parâmetro (x cp =x cp /l) é uma característica geométrica do patim e, assim, o valor de (h i ) é constante e pode ser determinado pela equação [33] ; deste modo fica igualmente fixado o valor da capacidade de carga (W), pela equação [31] ; conhecida, ou arbitrada que seja, a temperatura efectiva do fluido (T e ) e respectiva viscosidade (μ e ), pode calcular-se a espessura mínima (h o ), usando a expressão [32] ; a determinação do calor gerado serve para aferir da razoabilidade do valor de temperatura efectiva inicialmente utilizado (T e ) inicial e, eventualmente, para o seu ajustamento (T e ) corrigido e consequente revisão dos cálculos; finalmente, há que verificar a exequibilidade do resultado, comparando a espessura mínima de película assim obtida com a rugosidade superficial espectável, para assegurar o funcionamento dentro do regime hidrodinâmico (ver curva de Stribeck) 3.3 Aplicação à chumaceira de patins pivotantes 3. Lubrificação Hidrodinâmica

41. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 41 Patins de largura finita  Todavia, a resolução da equação [13] na sua forma bidimensional – isto é em (xx) e em (yy), sendo a altura (h) em (zz) conhecida – é possível, com recurso a métodos numéricos computacionais. a consideração do escoamento lateral afecta notavelmente a predição das condições de desempenho da chumaceira, muito especialmente da capacidade de carga – como seria de esperar, esta influência é tanto mais significativa quanto menor for a relação (b/l); apenas para (b/l)≥5 o valor calculado através da equação [30] é suficientemente aproximado; A resolução da equação [13] para um patim de razão (b  l) demostra bem que os gradientes em ambas as direcções podem não só ser da mesma ordem de grandeza como até, dependendo da geometria, o gradiente em (yy) pode mesmo ser preponderante em relação ao que se verifica em (xx): 3.3 Aplicação à chumaceira de patins pivotantes 3. Lubrificação Hidrodinâmica  A análise, tal como apresentada até este ponto, baseia-se na resolução da equação de Reynolds [14] numa forma simplificada – considerar a largura infinita equivale a considerar que o gradiente de pressão nessa direcção é desprezável, face ao gradiente na direcção do movimento, ou seja, (dp/dy) = 0 não existindo – ou, mais correctamente, não se considerando – o escoamento lateral, isto é em (yy).

42. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 42 Patins de largura finita  A partir da resolução da equação ‘completa’ [13], para vários valores de (b/l), e dos resultados da equação na sua forma simplificada [30] para (b= h ), é possível quantificar um parâmetro de ajustamento (λ), tal que: W = λ·W b= h [44] 3.3 Aplicação à chumaceira de patins pivotantes 3. Lubrificação Hidrodinâmica que pode ser utilizado para ‘rectificar’ um resultado ‘simplificado’, de uma forma rápida :

43. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 43 Outros perfis de patins  Existem ainda vários tipos de perfis, especialmente ligados a patentes dos próprios de fabricantes (não raramente fruto de desenvolvimentos ‘empíricos’ e/ou produto de extenso histórico de meto- dologias de tentativa/erro) com diferentes tipos de complexidade geométrica, de fabrico, etc, bem como com a mais variada (e dificilmente comprovável à partida) eficiência de desempenho. 3.3 Aplicação à chumaceira de patins pivotantes 3. Lubrificação Hidrodinâmica

44. Tribologia Parte B: Contacto Lubrificado MIEMec (3º ano/2º sem.) 44