مدير المدرسة أ. عقيل محمد مهنا الموجهه الأولى أ. حصة العلي ورشة عمل للصف الثاني عشر علمي التكامل المحدد للعام الدراسي 2014/2015 ثانوية عيسى الحمد وزارة التربية قسم الرياضيات منطقة العاصمة التعليمية Definite Integral أعداد وتقديم أ. براك العلي الموجه الفني بالأنابة أ. كارم عطية الموجه الفني أ. سعيد خلف بالتنسيق والتعاون مع معلمي القسم رئيس القسم أ. موفق عقيل مدير المدرسة أ. عقيل محمد مهنا الموجهه الأولى أ. حصة العلي

محتوى الورشة الأهداف السلوكية الأدوات والوسائل التعليمية الحصص المقترحة

الأهداف السلوكية يوجد ناتج تكامل محدد لدالة معلومة. يوظف خواص التكامل المحدد في حل التمارين. يوجد تكامل محدد لدالة مطلق. يبين أن 𝑓 𝑥 ≥0 ∀ 𝑥∈ 𝑎,𝑏 كانت إذا 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥0 والعكس. يبين أن إذا كان 𝑓 𝑥 ≥𝑔 𝑥 ∀𝑥∈[𝑎,𝑏] فإن 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 يوظف مفهوم مساحة منطقة محددة بمنحى دالة في إيجاد تكامل محدد. يحل تمارين منوعة حول مفهوم التكامل المحدد.

الأدوات والوسائل التعليمية أدوات المعلم: كتاب الطالب – كراسة التمارين – السبورة – الأقلام الملونة – المسطرة – دائرة – حاسب ألي – جهاز عرض علوي – IPad أدوات الطالب: كتاب الطالب – كراسة التمارين

الحصص المقترحة الحصة الأولى. الحصة الثانية. الحصة الثالثة. الحصة الرابعة. الحصة الخامسة.

التكامل المحدد الحصة الأولى

سوف تتعلم التكامل المحدد والمساحة. خواص التكامل المحدد. قاعدة القوى في صورة التكامل. التعويض في التكامل المحدد.

المفردات والمصطلحات: تكامل محدد Definite Integral تكامل بالتعويض Integration by Substitution

دعنا نفكر ونتناقش لنعتبر 𝑓 𝑥 =2𝑥−2على الفترة [1 , 4], من الشكل المقابل, أوجد: .الدالة العكسية المشتقة 𝐹(𝑥) 𝐹 1 , 𝐹(4) , ثم احسب 𝐹 4 −𝐹 1 مساحة المنطقة 𝐴. ماذا تلاحظ ؟

دعنا نفكر ونتناقش 𝑭 𝟏 , 𝑭(𝟒) , ثم احسب 𝑭 𝟒 −𝑭 𝟏 𝑭(𝒙) المشتقة العكسية للدالة. 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥= 2𝑥−2 𝑑𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥+𝐶 ∴𝐹 𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥+𝐶 𝑭 𝟏 , 𝑭(𝟒) , ثم احسب 𝑭 𝟒 −𝑭 𝟏 𝐹 1 = (1) 2 −2 1 +𝐶 =−1+𝐶 𝐹 4 = (4) 2 −2 4 +𝐶 =8+𝐶 𝐹 4 −𝐹 1 =8+𝐶 −(−1+𝐶 ) =9

دعنا نفكر ونتناقش مساحة المنطقة .𝑨 𝐴 المنطقة مساحة= 1 2 × 𝐻𝑒𝑖𝑔ℎ𝑡 ×𝐵𝑎𝑠𝑒 𝐴 المنطقة مساحة= 1 2 × 𝐻𝑒𝑖𝑔ℎ𝑡 ×𝐵𝑎𝑠𝑒 = 1 2 × 6 ×3 =9 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑑 ماذا تلاحظ ؟ نلاحظ أن 𝐴 المنطقة مساحة=𝐹 4 −𝐹(1)

التكامل المحدد Definite Integral تعلمت فيما سبق إنه إذا كانت 𝑓 دالة متصلة على 𝑎 , 𝑏 وكانت الدالة 𝐹 مشتقة عكسية للدالة 𝑓 فإن التكامل غير المحدد للدالة 𝑓 هو: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑥 +𝐶 وفي هذا البند سوف تتعلم التكامل المحدد للدالة 𝑓 من 𝑎 إلى 𝑏 وهو العدد الحقيقي: 𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎) حيث: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝐹(𝑥) 𝑏 𝑎 =𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎) ويسمّى a , b حدّي التكامل, والقواعد التي سبق ذكرها في التكامل غير المحدد تطبق على التكامل المحدد.

معلومة عند كتابة 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 يأخذ المتغيّر 𝑥 كلّ القيم من .𝑏 إلى 𝑎

مثال (1) أوجد التكامل المحدد للدالة: .𝑥=3 إلى 𝑥=−2 من 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 −𝑥+4

مثال (1) P50 الحل: −2 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −2 3 3 𝑥 2 −𝑥+4 𝑑𝑥 = 𝑥 3 − 1 2 𝑥+4𝑥 −2 3 = (3) 3 − 1 2 (3) 2 +4(3) − (−2) 3 − 1 2 −2 2 +4(−2) =34.5+18=52.5

حاول أن تحل (1) أوجد: 2 7 𝑥 3 −2 𝑥 2 +2 𝑑𝑥

حاول أن تحل (1) P51 الحل: 2 7 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 7 𝑥 3 −2 𝑥 2 +2 𝑑𝑥 = 1 4 𝑥 4 − 2 3 𝑥 3 +2𝑥 2 7 = 1 4 (7) 4 − 2 3 (7) 3 +2(7) − 1 4 (2) 4 − 2 3 (2) 3 +2(2) ≃382.91

خواص التكامل المحدد Properties of the Definite Integral إذا كانت 𝑓 دالة متصلة على الفترة :فإن 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈𝐼 , 𝑘∈𝑅 , 𝐼 1) 𝒂 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =𝟎 2) 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =− 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 3) 𝒂 𝒃 𝒌 𝒅𝒙 =𝒌(𝒃−𝒂) 4) 𝒂 𝒃 𝒌 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =𝒌 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 5) 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 لاحظ في خاصية 3 أنه: 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 =𝑏−𝑎 :فإن 𝑘=1 كان إذا

مثال (2) أوجد: 𝑎) −8 −4 𝑑𝑥 𝑏) 𝜋 4 𝜋 4 (2 cos 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑐) 2 −1 𝑥+1 −3 𝑑𝑥 𝑎) −8 −4 𝑑𝑥 𝑏) 𝜋 4 𝜋 4 (2 cos 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑐) 2 −1 𝑥+1 −3 𝑑𝑥 𝑑) 1 2 3 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

مثال (2) P51 الحل: 𝑎) −8 −4 𝑑𝑥 = 𝑥 −4 −8 =−4− −8 =4

الحل: 𝑏) 𝜋 4 𝜋 4 (2 cos 𝑥 ) 𝑑𝑥=0 مثال (2) P51 خواص التكامل المحدد 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=0

مثال (2) P51 الحل: 𝑐) 2 −1 𝑥+1 −3 𝑑𝑥 =− −1 2 𝑥+1 −3 𝑑𝑥 =− −1 2 𝑥+1 1 2 −3 𝑑𝑥 = − 2 3 (𝑥+1) 3 2 −3𝑥 −1 2 =− 2 3 (2+1) 3 2 −3 2 − 2 3 (−1+1) 3 2 +3(−1) =− 2 3 3 3 −6−3 =9−2 3

الحل: 𝑑) 1 2 3 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 1 2 مثال (2) P51 الحل: 𝑑) 1 2 3 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 1 2 = 3 𝑒 𝑥 +𝑒 ln 2 − 3 𝑒 𝑥 +𝑒 ln 1 =3 𝑒 𝑥 +𝑒 ln 2 −3𝑒 𝑎 𝑏 1 𝑥 𝑑𝑥= ln 𝑥 𝑎 𝑏

حاول أن تحل (2) أوجد: 𝑎) 𝜋 4 𝜋 2 1 2 sin 2𝑥 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑏) 2 −3 5 𝑑𝑥 𝑏) 2 −3 5 𝑑𝑥 𝑐) 3 3 −2 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑) 2 4 𝑑𝑥 𝑥−1

حاول أن تحل (2) P52 الحل: 𝑎) 𝜋 4 𝜋 2 1 2 sin 2𝑥 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = − 1 4 cos 2𝑥 + cot 𝑥 𝜋 4 𝜋 2 = − 1 4 cos 2 𝜋 2 + cot 𝜋 2 − − 1 4 cos 2 𝜋 4 + cot 𝜋 4 = 1 4 +0 − 0+1 =− 3 4

حاول أن تحل (2) P52 الحل: 𝑏) 2 −3 5 𝑑𝑥 =− −3 2 5 𝑑𝑥 =− 5𝑥 −3 2 =−(5 2 −5 −3 ) =− 10+15 =−25 حل آخر 2 −3 5𝑑𝑥 =5 −3 − 2 𝑎 𝑏 𝑘𝑑𝑥 =𝑘(𝑏−𝑎) =5 −5

الحل: 𝑐) 3 3 −2 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑑𝑥 =0 حاول أن تحل (2) P52 𝑐) 3 3 −2 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑑𝑥 =0 خواص التكامل المحدد 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=0

الحل: 𝑑) 2 4 𝑑𝑥 𝑥−1 = ln 𝑥−1 2 4 = ln 4−1 − ln 2−1 ≅1.0986 حاول أن تحل (2) P52 الحل: 𝑑) 2 4 𝑑𝑥 𝑥−1 = ln 𝑥−1 2 4 = ln 4−1 − ln 2−1 ≅1.0986

تذكر: 𝑥 = 𝑥 :𝑥>0 0 :𝑥=0 −𝑥 :𝑥<0

مثال (3) أوجد: 𝑎) −2 3 𝑥 𝑑𝑥 𝑏) 0 5 𝑥−3 𝑑𝑥

الحل: 𝑎) −2 3 𝑥 𝑑𝑥= −2 0 𝑥 𝑑𝑥 + 0 3 𝑥 𝑑𝑥 = −2 0 −𝑥 𝑑𝑥 + 0 3 𝑥 𝑑𝑥 مثال (3) P52 الحل: 𝑎) −2 3 𝑥 𝑑𝑥= −2 0 𝑥 𝑑𝑥 + 0 3 𝑥 𝑑𝑥 = −2 0 −𝑥 𝑑𝑥 + 0 3 𝑥 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑥 2 −2 0 + 1 2 𝑥 2 0 3 =2+ 9 2 = 13 2

الحل: 𝑏) 0 5 𝑥−3 𝑑𝑥= 0 3 𝑥−3 𝑑𝑥+ 3 5 𝑥−3 𝑑𝑥 = 0 3 −𝑥+3 𝑑𝑥+ 3 5 𝑥−3 𝑑𝑥 مثال (3) P52 الحل: 𝑏) 0 5 𝑥−3 𝑑𝑥= 0 3 𝑥−3 𝑑𝑥+ 3 5 𝑥−3 𝑑𝑥 = 0 3 −𝑥+3 𝑑𝑥+ 3 5 𝑥−3 𝑑𝑥 = − 𝑥 2 2 +3𝑥 0 3 + 𝑥 2 2 −3𝑥 3 5 = 9 2 + 25 2 −15 − 9 2 −9 = 13 2

حاول أن تحل (3) أوجد: 𝑎) −3 4 2𝑥−4 𝑑𝑥 𝑏) 1 3 𝑥+2 𝑑𝑥

الحل: 𝑎) −3 4 2𝑥−4 𝑑𝑥 2𝑥−4 = 2𝑥−4 , 𝑥≥2 −2𝑥+4 ,𝑥<2 حاول أن تحل (3) P52 الحل: 𝑎) −3 4 2𝑥−4 𝑑𝑥 2𝑥−4 = 2𝑥−4 , 𝑥≥2 −2𝑥+4 ,𝑥<2 −3 2 −2𝑥+4 𝑑𝑥 + 2 4 2𝑥−4 𝑑𝑥 − 𝑥 2 −4𝑥 −3 2 + 𝑥 2 −4𝑥 2 4 = 4+21 + 0+4 =25+4=29

الحل: 𝑏) 1 3 𝑥+2 𝑑𝑥 𝑥+2 = 𝑥+2 , 𝑥≥−2 −𝑥−2 , 𝑥<−2 حاول أن تحل (3) P52 الحل: 𝑏) 1 3 𝑥+2 𝑑𝑥 𝑥+2 = 𝑥+2 , 𝑥≥−2 −𝑥−2 , 𝑥<−2 1 3 𝑥+2 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥 2 +2𝑥 1 3 = 9 2 +6 − 1 2 +2 =8

التكامل المحدد الحصة الثانية

لتكن 𝑓 دالة متصلة على [ 𝑎 , 𝑏 ] (𝟔 إذا كانت 𝒇 𝒙 ≥𝟎 ∀ 𝒙∈[ 𝒂 , 𝒃 ] فإن: 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ≥𝟎 (𝟕 إذا كانت 𝒇 𝒙 ≤𝟎 ∀ 𝒙∈[ 𝒂 , 𝒃 ] فإن: 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ≤𝟎

مثال (4) دون حساب قيمة التكامل أثبت أن: 3 5 𝑥 2 +𝑥 𝑑𝑥 ≥0

. . الحل: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +𝑥 𝑥 2 +𝑥=0 𝑥 𝑥+1 =0 𝑓 𝑥 ≥0 ∀ 𝑥∈ −∞ ,−1 ∪ 0 , ∞ مثال (4) P53 الحل: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +𝑥 𝑥 2 +𝑥=0 𝑥 𝑥+1 =0 𝑓 𝑥 ≥0 ∀ 𝑥∈ −∞ ,−1 ∪ 0 , ∞ .. 3 , 5 ⊆ 0 , ∞ ∴ 𝑥 2 +𝑥≥0 ∀ 𝑥∈ 3 , 5 3 5 𝑥 2 +𝑥 𝑑𝑥 ≥0 بفرض نضع . . −∞ + − + +∞ −𝟏 𝟎 .

حاول أن تحل (4) دون حساب قيمة التكامل أثبت أن: −1 0 𝑥 2 +𝑥 𝑑𝑥 ≤0

. . الحل: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +𝑥 𝑥 2 +𝑥=0 𝑥 𝑥+1 =0 𝑓 𝑥 ≤0 ∀ 𝑥∈[ −1 , 0 ] حاول أن تحل (4) P53 الحل: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +𝑥 𝑥 2 +𝑥=0 𝑥 𝑥+1 =0 𝑓 𝑥 ≤0 ∀ 𝑥∈[ −1 , 0 ] ∴ 𝑥 2 +𝑥≤0 ∀ 𝑥∈ −1 , 0 −1 0 𝑥 2 +𝑥 𝑑𝑥 ≤0 بفرض نضع . . −∞ + − + +∞ −𝟏 𝟎

(8 لتكن الدالتين 𝑓 , 𝑔 متصلتين على [ 𝑎 , 𝑏 ] وكانت: 𝑓 𝑥 ≤𝑔 𝑥 ∀ 𝑥∈ 𝑎 , 𝑏 فإن: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

مثال (5) دون حساب قيمة التكامل أثبت أن: 𝑎 𝑏 2𝑥−3 𝑑𝑥 ≤ 𝑎 𝑏 𝑥 2 +2 𝑑𝑥

مثال (5) P53 الحل: نفرض أن 𝑓 𝑥 =2𝑥−3 , 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +2 نفرض أن 𝑓 𝑥 =2𝑥−3 , 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +2 وهما دالتان متصلتان على 𝑅 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 = 2𝑥−3 − 𝑥 2 +2 نوجد =2𝑥−3− 𝑥 2 −2 =− 𝑥 2 +2𝑥−5 − 𝑥 2 +2𝑥−5=0 نضع ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 = 4−4(−1)(−5) =4−20=−16 , −16<0 ∴ لا توجد للمعادلة جذور حقيقية 𝑓 𝑥 −𝑔(𝑥) وحيدة الإشارة وبأخذ قيمة اختيارية نجد أن 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ≤0 ∀ 𝑥∈𝑅 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ≤0 ∀ 𝑥∈ 1 , 3 :أن أي 2𝑥−3 − 𝑥 2 +2 ≤0 ∀ 𝑥 ∈ 1 , 3 2𝑥−3≤ 𝑥 2 +2 ∴ 1 3 2𝑥−3 𝑑𝑥 ≤ 1 3 𝑥 2 +2 𝑑𝑥

حاول أن تحل (5) دون حساب قيمة التكامل أثبت أن: −1 2 𝑥 2 +1 𝑑𝑥 ≥ −1 2 𝑥−1 𝑑𝑥

حاول أن تحل (5) P54 الحل: نفرض أن 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +1, 𝑔 𝑥 =𝑥−1 نفرض أن 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +1, 𝑔 𝑥 =𝑥−1 وهما دالتان متصلتان على 𝑅 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +1 − 𝑥−1 نوجد = 𝑥 2 +1−𝑥+1 = 𝑥 2 −𝑥+2 𝑥 2 −𝑥+2=0 نضع ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 = 1−4(1)(2) =1−8=−7 , −7<0 ∴ لا توجد للمعادلة جذور حقيقية 𝑓 𝑥 −𝑔(𝑥) وحيدة الإشارة وبأخذ قيمة اختيارية نجد أن 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ≥0 ∀ 𝑥∈𝑅 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ≥0 ∀ 𝑥∈ −1 , 2 :أن أي 𝑥 2 +1 − 𝑥−1 ≥0 ∀ 𝑥 ∈ −1 , 2 𝑥 2 +1≥𝑥−1 ∴ −1 2 𝑥 2 +1 𝑑𝑥 ≥ −1 2 𝑥−1 𝑑𝑥

التكامل المحدد الحصة الثالثة

التفسير البياني للتكامل المحدد Graphical Interpretation of Definite Integral في المستوى الإحداثي لتكن 𝑓 دالة متصلة على 𝐴 , 𝑎 , 𝑏 تمثل مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة 𝑓 ومحور السينات والمستقيمين 𝑥=𝑎 , 𝑥=𝑏 (1 إذا كانت: 𝑓 𝑥 ≥0 ∀ 𝑥∈ 𝑎 , 𝑏 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐴فإن (2 إذا كانت: 𝑓 𝑥 ≤0 ∀ 𝑥∈ 𝑎 , 𝑏 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =−𝐴فإن

مثال (6) (𝒂 أوجد مساحة المنطقة المحددة بين منحنى الدالة 𝑓 𝑥 =−3 , ومحور السينات , والمستقيمين .𝑥=4 , 𝑥=−2 (𝒃 تحقق بيانيًّا.

مثال (6) P54 . الحل: 𝒂)𝑓 𝑥 =−3 .. 𝑓 𝑥 ≤0 ∀ 𝑥∈ −2 , 4 .. 𝑓 𝑥 ≤0 ∀ 𝑥∈ −2 , 4 𝐴=− −2 4 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −2 , 4 على سالبة 𝑓 =− −2 4 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 =−3 = −2 4 3 𝑑𝑥 =3 4− −2 =18 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑑 .

مثال (6) P54 (𝒃 تحقق بيانيًّا: مساحة المنطقة تساوي مساحة المستطيل الذي بعديه طول وحدة 6 , 3 ∴𝐴=3×6=18 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑑

حاول أن تحل (6) أوجد قيمة −1 5 2−2𝑥 𝑑𝑥 بيانيًّا.

من الرسم المنطقة المظللة مثلث قائم الزاوية حاول أن تحل (6) P55 الحل: من الرسم المنطقة المظللة مثلث قائم الزاوية مساحة المثلث = 1 2 × القاعدة × الارتفاع = 1 2 ×4 ×8 =16 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑑 ∴− 1 5 2−2𝑥 𝑑𝑥 =16 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑑

مثال (7) أوجد: 𝑎) −2 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏) 0 3 − 9− 𝑥 2 𝑑𝑥

مثال (7) P55 الحل: 𝒂) −2 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑥 نأخذ: 𝑦= 4− 𝑥 2 𝑦 2 =4− 𝑥 2 𝑥 2 + 𝑦 2 =4 وهي معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 2 وحدة طول. والدالة: 𝑦= 4− 𝑥 2 تمثل معادلة النصف العلوي للدائرة مساحة المنطقة المظللة −2 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑥 = −2 2 4− 𝑥 2 𝑑𝑥= 1 2 𝜋 (2) 2 =2𝜋

مثال (7) P55 الحل: 𝒃) 0 3 − 9− 𝑥 2 𝑑𝑥 نأخذ: 𝑦=− 9− 𝑥 2 𝑦 2 =9− 𝑥 2 𝒃) 0 3 − 9− 𝑥 2 𝑑𝑥 نأخذ: 𝑦=− 9− 𝑥 2 𝑦 2 =9− 𝑥 2 𝑥 2 + 𝑦 2 =9 وهي معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها 3 وحدات طول. والدالة: 𝑦=− 9− 𝑥 2 تمثل معادلة الربع السفلي للدائرة فيكون 0 3 − 9− 𝑥 2 𝑑𝑥=−𝐴 = −1 4 𝜋 3 2 = −9𝜋 4

حاول أن تحل (7) أوجد: 𝑎) −5 5 25− 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏) 0 4 − 16− 𝑥 2 𝑑𝑥

حاول أن تحل (7) P57 الحل: 𝒂) −5 5 25− 𝑥 2 𝑑𝑥 نأخذ: 𝑦= 25− 𝑥 2 𝑦 2 =25− 𝑥 2 𝑥 2 + 𝑦 2 =25 وهي معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 5 وحدة طول. والدالة: 𝑦= 25− 𝑥 2 تمثل معادلة النصف العلوي للدائرة مساحة المنطقة المظللة −5 5 25− 𝑥 2 𝑑𝑥 = −5 5 25− 𝑥 2 𝑑𝑥= 1 2 𝜋 (5) 2 = 25 2 𝜋

حاول أن تحل (7) P57 الحل: 𝒃) 0 4 − 16− 𝑥 2 𝑑𝑥 نأخذ: 𝑦=− 16− 𝑥 2 𝑦 2 =16− 𝑥 2 𝑥 2 + 𝑦 2 =16 وهي معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها 4 وحدات طول. والدالة: 𝑦=− 16− 𝑥 2 تمثل الربع السفلي للدائرة فيكون 0 4 − 16− 𝑥 2 𝑑𝑥=−𝐴 = −1 4 𝜋 4 2 =−4𝜋

التكامل المحدد الحصة الرابعة

تعلمت في البنود السابقة طرائق عدة لإيجاد التكامل غير المحدد منها التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء والتكامل بالكسور الجزئية. وتستخدم هذه الطرائق أيضًا في إيجاد التكاملات المحددة. ويجب مراعاة ما يلي عند استخدام طريقة التعويض في إيجاد التكامل المحدد: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑢=𝑔 𝑥 , 𝑑𝑢= 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 بفرض ثم كامل بالنسبة لـ :يكون بحيث 𝑢=𝑔 𝑏 إلى 𝑢=𝑔 𝑎 من 𝑢 𝑐 𝑏 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) 𝑓 𝑢 .𝑑𝑢

مثال (8) أوجد: 0 𝜋 4 tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥

الحل: 𝑢= tan 𝑥 , 𝑑𝑢= 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑢= tan 0 =0 فإن 𝑥=0 عندما مثال (8) P56 الحل: 𝑢= tan 𝑥 , 𝑑𝑢= 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑢= tan 0 =0 فإن 𝑥=0 عندما 𝑢= tan 𝜋 4 =1 فإن 𝑥= 𝜋 4 عندما 0 𝜋 4 tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = 0 1 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 2 2 0 1 = 1 2 −0= 1 2

حاول أن تحل (8) (𝑎 هل يمكن حل مثال (8) بطريقة آخرى ؟ فسّر إجابتك. (𝑎 هل يمكن حل مثال (8) بطريقة آخرى ؟ فسّر إجابتك. (𝑏 أوجد: 𝜋 6 𝜋 3 sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

حاول أن تحل (8) P57 الحل: (𝑎 نعم يمكن حل المثال بأخذ 𝑢= sec 𝑥 𝑢= sec 𝑥 , 𝑑𝑢= sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 𝑢= sec 0 =1 فإن 𝑥=0 عندما 𝑢= sec 𝜋 4 = 2 فإن 𝑥= 𝜋 4 عندما 0 𝜋 4 tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 2 2 1 2 =1− 1 2 = 1 2

حاول أن تحل (8) P57 الحل: 𝑏) 𝜋 6 𝜋 3 sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑢= sin 2𝑥 , 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =2 cos 2𝑥 , 𝑑𝑥= 𝑑𝑢 2 cos 2𝑥 𝑢= sin 2 𝜋 3 = 3 2 فإن 𝑥= 𝜋 3 عندما 𝑢= sin 2 𝜋 6 = 3 2 فإن 𝑥= 𝜋 6 عندما 𝜋 6 𝜋 3 sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 3 2 3 2 𝑢 cos 2𝑥 𝑑𝑢 2 cos 2𝑥 = 1 2 3 2 3 2 𝑢 𝑑𝑢 =0

مثال (9) أوجد: 𝑎) −1 1 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥+1 𝑑𝑥 𝑏) 0 3 𝑥 𝑥+1 𝑑𝑥

مثال (9) P57 لتكن: فإن الحل: 𝑎) −1 1 𝑥 2 +2𝑥−3 2 𝑥+1 𝑑𝑥 𝑢= 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑎) −1 1 𝑥 2 +2𝑥−3 2 𝑥+1 𝑑𝑥 𝑢= 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑑𝑢= 2𝑥+2 𝑑𝑥 1 2 𝑑𝑢= 𝑥+1 𝑑𝑥 𝑢=−4 فإن 𝑥=−1 عندما 𝑢=0 فإن 𝑥=1 عندما عندئذٍ −1 1 𝑥 2 +2𝑥−3 2 𝑥+1 𝑑𝑥 = 1 2 −4 0 𝑢 2 𝑑𝑢 = 1 2 𝑢 3 3 −4 0 = 1 2 0+ 64 3 = 32 3 لتكن: فإن

مثال (9) P57 الحل: 𝑏) 0 3 𝑥 𝑥+1 𝑑𝑥 :طريقة أولى بالتجزيء 𝑢=𝑥 𝑑𝑣= 𝑥+1 1 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢=𝑑𝑥 𝑣= 2 3 𝑥+1 3 2 𝑢 𝑑𝑣 =𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 0 3 𝑥 𝑥+1 𝑑𝑥 = 2𝑥 3 𝑥+1 3 2 0 3 − 2 3 0 3 𝑥+1 3 2 𝑑𝑥 = 2 3 𝑥 𝑥+1 3 2 0 3 − 4 15 𝑥+1 5 2 0 3 = 2 3 3× 4 3 2 − 4 15 4 5 2 −1 = 116 15

مثال (9) P57 الحل: 0 3 𝑥 𝑥+1 𝑑𝑥 = 0 3 (𝑥+1−1) 𝑥+1 𝑑𝑥 :ثانية طريقة = 0 3 (𝑥+1) 𝑥+1 𝑑𝑥 − 0 3 (𝑥+1) 1 2 𝑑𝑥 = 0 3 (𝑥+1) 3 2 𝑑𝑥 − 0 3 (𝑥+1) 1 2 𝑑𝑥 = 2 5 (𝑥+1) 5 2 0 3 − 2 3 (𝑥+1) 3 2 0 3 = 116 15

حاول أن تحل (9) أوجد: 𝑎) −1 1 (𝑥+1) 𝑥 2 +2𝑥+5 𝑑𝑥 𝑏) 2 5 𝑥 𝑥−1 𝑑𝑥

حاول أن تحل (9) P58 الحل: 𝑎) −1 1 (𝑥+1) 𝑥 2 +2𝑥+5 𝑑𝑥 𝑎) −1 1 (𝑥+1) 𝑥 2 +2𝑥+5 𝑑𝑥 𝑢= 𝑥 2 +2𝑥+5 , 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =2𝑥+2 𝑑𝑥= 𝑑𝑢 2(𝑥+1) 𝑢=4 فإن 𝑥=−1 عندما 𝑢=8 فإن 𝑥=1 عندما −1 1 (𝑥+1) 𝑥 2 +2𝑥+5 𝑑𝑥 = 4 8 (𝑥+1) 𝑢 1 2 𝑑𝑢 2(𝑥+1) 1 2 −1 1 𝑢 1 2 𝑑𝑢= 1 2 2 3 𝑢 3 2 4 8 = 1 3 𝑥 2 +2𝑥+5 3 2 4 8 ≃4.8758

حاول أن تحل (9) P58 الحل: 𝑏) 2 5 𝑥 𝑥−1 𝑑𝑥 𝑢=𝑥−1 , 𝑥=𝑢+1 , 𝑑𝑢=𝑑𝑥 𝑢=1 فإن 𝑥=2 عندما 𝑢=4 فإن 𝑥=5 عندما 2 5 (𝑢+1) 𝑢 1 2 𝑑𝑢= 1 4 𝑢 3 2 + 𝑢 1 2 𝑑𝑥 = 2 5 𝑢 5 2 1 4 + 2 3 𝑢 3 2 1 4 = 2 5 𝑥−1 5 2 + 2 3 𝑥−1 3 2 = 256 15

التكامل المحدد الحصة الخامسة

مثال (10) أوجد: −2 0 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

مثال (10) P58 الحل: −2 0 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑢=𝑥 𝑑𝑣= 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 :بالتجزيء التكامل نستخدم 𝑑𝑢=𝑑𝑥 𝑣=− 𝑒 −𝑥 𝑢 𝑑𝑣 =𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 −2 0 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 =− 𝑥 𝑒 −𝑥 −2 0 − −2 0 − 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 =− 0+2 𝑒 2 − 1− 𝑒 2 =−2 𝑒 2 −1+ 𝑒 2 =− 𝑒 2 −1

حاول أن تحل (10) أوجد: 0 𝜋 4 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥

حاول أن تحل (10) P58 الحل: 0 𝜋 4 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑢=𝑥 𝑑𝑣= 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢=𝑑𝑥 𝑣= tan 𝑥 𝑢 𝑑𝑣 =𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 0 𝜋 4 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 tan 𝑥 0 𝜋 4 − 0 𝜋 4 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 tan 𝑥 0 𝜋 4 − ln sec 𝑥 0 𝜋 4 = 𝜋 4 −0 − ln 2 − ln 1 = 𝜋 4 − ln 2

مثال (11) أوجد: 1 5 2𝑥+8 𝑥 2 +4𝑥+3 𝑑𝑥

مثال (11) P59 الحل: نوجد الكسور الجزئية للدالة الحدودية النسبية 𝑓 𝑥 = 2𝑥+8 𝑥 2 +4𝑥+3 𝑓 𝑥 = 2𝑥+8 (𝑥+1)(𝑥+3) :نكتب 2𝑥+8 (𝑥+1)(𝑥+3) = 𝐴 𝑥+1 + 𝐵 𝑥+3 نضرب طرفي المعادلة بـ (𝑥+1)(𝑥+3) ونعوّض 𝑥=−3 و 𝑥=−1 فنجد على الترتيب 𝐵=−1 , 𝐴=3 وبالتالي: 𝑓 𝑥 = 3 𝑥+1 − 1 𝑥+3 1 5 2𝑥+8 𝑥 2 +4𝑥+3 𝑑𝑥 = 1 5 3 𝑥+1 − 1 𝑥+3 𝑑𝑥 :ومنه =3 1 5 𝑑𝑥 𝑥+1 − 1 5 𝑑𝑥 𝑥+3

مثال (11) P59 1 5 2𝑥+8 𝑥 2 +4𝑥+3 𝑑𝑥 = 1 5 3 𝑥+1 − 1 𝑥+3 𝑑𝑥 :ومنه =3 1 5 𝑑𝑥 𝑥+1 − 1 5 𝑑𝑥 𝑥+3 =3 ln 𝑥+1 1 5 − ln 𝑥+3 1 5 =3 ln 6 − ln 2 − ln 8 − ln 4 =3 ln 6 2 − ln 8 4 =3 ln 3 − ln 2

حاول أن تحل (11) أوجد: 4 7 3 𝑥 2 −17 𝑥 2 −𝑥−6 𝑑𝑥

حاول أن تحل (11) P59 الحل: نوجد الكسور الجزئية للدالة الحدودية النسبية 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 2 −17 𝑥 2 −𝑥−6 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 2 −17 (𝑥−3)(𝑥+2) :نكتب 3 𝑥 2 −17 (𝑥−3)(𝑥+2) باستخدام القسمة المطولة 3 𝑥 2 −𝑥−6 3 𝑥 2 −17 3 𝑥 2 −3𝑥−18 3𝑥+1 3 𝑥 2 −17 (𝑥−3)(𝑥+2) =3+ 3𝑥+1 (𝑥−3)(𝑥+2) =3+ 𝐴 𝑥−3 + 𝐵 𝑥+2

حاول أن تحل (11) P59 نضرب طرفي المعادلة بـ (𝑥−3)(𝑥+2) ونعوّض 𝑥=3 و 𝑥=−2 فنجد على الترتيب 𝐵=1 , 𝐴=2 وبالتالي: 𝑓 𝑥 = 2 𝑥−3 + 1 𝑥+2 4 7 3 𝑥 2 −17 𝑥 2 −𝑥−6 𝑑𝑥 = 4 7 3+ 2 𝑥−3 + 1 𝑥+2 𝑑𝑥 = 4 7 3𝑑𝑥 +2 4 7 𝑑𝑥 𝑥−3 + 4 7 𝑑𝑥 𝑥+2 =3 7−4 +2 ln 𝑥−3 4 7 + ln 𝑥+2 4 7 =9+2 ln 4 − ln 1 + ln 9 − ln 6 =9+2 ln 4 + ln 9 6 =9+2 ln 4 + ln 3 2

المرشد لحل المسائل

المرشد لحل المسائل إن معدل التغير الشهري في دالة العائدات للمتجر الذي يملكه فهد من بيع سلعة معينة هو 𝑑𝑅 𝑑𝑥 = 𝑅 ′ 𝑥 = 𝑥 2 −𝑥 حيث 𝑥 هو عدد الوحدات المباعة شهريًّا من السعلة و 𝑅 هو العائدات الشهرية من بيع 𝑥 وحدات من السلعة نفسها بالدينار. اشرح كيف يمكن لفهد أن يجد الدالة التي تمثل العائدات الشهرية في متجره من بيع السلعة المذكورة. ما هي عائدات فهد في الشهر الذي يباع خلاله وحدة من السلعة المذكورة؟ (𝑎 30 (𝑏

أما عائدات المتجر من السلعة عندما يبيع 30 وحدة هو: الحل: لإيجاد دالة العائدات فكّر فهد بإيجاد المشتقة العكسية لمعدل التغير الشهري, وهنا قام بوضع 𝑅 𝑥 = 𝑥 2 −𝑥 𝑑𝑥 أي 𝑅 𝑥 = 𝑅 ′ 𝑥 𝑑𝑥 مما يعطي دالة العائدات على النحو مما يجعل وجود الثابت لغزًا, عندها فكّر وانتبه أنه عندما لا تباع أي وحدة شهريًا يكون العائد هو مما يعطيه أن وهنا تأكد أن دالة العائدات الشهرية هي: (دينار) في الشهر عندما يبيع 𝑥 وحدة. أما عائدات المتجر من السلعة عندما يبيع 30 وحدة هو: 𝑅 30 = 30 3 3 − 30 2 2 =9000−450=8550 (دينارًا) (𝑎 𝑅 𝑥 = 𝑥 3 3 − 𝑥 2 2 +𝐶 𝐶 𝐶=0 𝑅 0 =0 أي 0 𝑅 𝑥 = 𝑥 3 3 − 𝑥 2 2 (𝑏

مسألة إضافية إن معدل التغير الأسبوعي في دالة التكلفة لمصنع الإطارات الذي يملكه عيسى عند صنع 𝑥 إطارًا أسبوعيًّا هو : 𝑑𝐶 𝑑𝑥 = 𝐶 ′ 𝑥 =10𝑥+50 حيث 𝐶(𝑥) هي التكلفة الأسبوعية من بيع 𝑥 إطار بالدينار. اشرح كيف يمكن لعيسى أن يجد الدالة التي يمثل التكلفة الأسبوعية لصنع 𝑥 إطار علمًا أن التكلفة لصنع 10 إطارات أسبوعيًّا هي 2000 دينار. ما هي تكلفة صنع إطارًا في الأسبوع الواحد في مصنع عيسى؟ (𝑎 20 (𝑏

الحل: لإيجاد الدالة التي تمثل التكلفة الأسبوعية فيجب إيجاد المشتقة العكسية لمعدل التغير الأسبوعي , وذلك عن طريق 𝐶 𝑥 = 10𝑥+50 𝑑𝑥 مما يعطي دالة التكلفة الأسبوعية على النحو 𝐶 𝑥 =5 𝑥 2 +50𝑥+𝑐 ولإيجاد قيمة الثابت نستطيع عن طريق التعويض بعدد الإطارات المعطى بالسؤال لتصبح القيمة 2000 دينار عن طريق: 𝐶 10 =5 (10) 2 +50 10 +𝑐=2000 فإن: 1000+𝑐=2000 أي أن الثابت 𝑐=1000 فتصبح الدالة 𝐶 𝑥 =5 𝑥 2 +50𝑥+1000 . لإيجاد التكلفة يجب التعويض بـ 𝑥=20 فتصبح: 𝐶 20 =5 (20) 2 +50 20 +1000=4000 (دينارًا) (𝑎 (𝑏

مع جزيل الشكر أ. براك فايز العلي