Boundary-Value Problems for ODE )בעיות הגבול(

Boundary-Value Problems for ODE (The Uniqueness Theorem) satisfies the following conditions Theorem: Suppose the function f in the boundary-value problem Then the boundary-value problem has a unique solution.

Boundary-Value Problems for ODE )בעיות הגבול( עד עכשיו פתרנו רק משוואות דיפרנציאליות עם תנאי התחלה. למשוואות מסדר גבוה צריך לספק מספר תנאי התחלה (שווה לסדר המשוואה) כדי שהפתרון יהיה יחיד. אבל בבעיות הנדסה רבים במקום תנאי התחלה נתונות תנאי שפה (תנאי גבול) לדוגמא – משוואת בלאזיוס לשכבת גבול היא בקטע (l – עבי שכבת הגבול) עם 3 תנאים, כאשר 2 תנאים נתונים בגבול התחתון : ותנאי נוסף בקצה השני של שכבת הגבול (בגבול העליון): בעיות גבול הן בעיות טיפוסיות בזרימה ומעבר חום. התנאים בגבולות הזרימה הם תנאי אי-החלקה (מהירות הזורם שווה ל-0) על דפנות של צינורות ותעלות. תנאי הגבול בבעיות מעבר חום הן טמפרטורה או שטף חום ידועים בגבולות. בעיות מסוג זה שכיחות גם בתורת האלסטיות, חוזק ועוד.

The Shooting Method )שיטת הצליפה( ברור כי לא ניתן להפעיל אף שיטה מאלה שפיתחנו כאשר בתחילת הקטע חסרים תנאי התחלה. שיטת הצליפה היא אחת מהשיטות המאפשרות לעקוף את המכשול. שיטת הצליפה מורכבת מארבעה שלבים: ניחוש של תנאי ההתחלה החסרים פתרון הבעיה עם תנאי ההתחלה שניחשנו השוואה בין התוצאה שקיבלנו בקצה השני של הקטע עם תנאי השפה שם תיקון תנאי ההתחלה לפי תוצאת ההשוואה וחזרה לסעיף ב' תהליך הפתרון נמשך עד שבסעיף ג' ניראה קירוב טוב בין תוצאות החישוב לתנאי השפה הדרושים. שיטת הצליפה היא שיטה איטרטיבית שעלולה להיות ארוכה. בגלל זה חשוב להשתמש בשיטות מהירות לפתרון המשוואה. חשוב גם להשתמש בשיטות יעילות לתיקון תנאי ההתחלה. מהם השיטות היעילות הללו? כדי לענות על השאלה נמחיש את השיטה על דוגמא של ירי צלף לעבר מטרה.

שיטת הצליפה (הדגמה) נניח כי דרוש לפתור משוואה דיפרנציאלית בקטע ניחוש 1 תיקון ניחוש 2 נניח כי דרוש לפתור משוואה דיפרנציאלית בקטע עם תנאי שפה הפתרון (בגרף הזה t מיצג את x)

שיטת הצליפה (המשך) לפי שיטת הצליפה נחליף את התנאי בקצה השני של הקטע ( b=y(b) ) בניחוש של תנאי ההתחלה החסר, , ונחשב את הפתרון. נחזור ונפתור עם ניחוש נוסף שני ה"יריות" שלנו לא פגעו במטרה כי התוצאה בסוף הקטע, y(b), לא שווה לb . צריך לתקן את הניחושים ולחשב את הפתרון עוד ועוד עד שהתנאי y(b)=b יתקיים.

שיטת הצליפה (המשך 2) ברור כי הערך b-(b)y שאנו רוצים לאפס תלוי בערך של A(מתמטית הוא פונקציה (A)F). במילים אחרות, אנחנו מחפשים שורש A של משוואה לא ליניארית הפונקציה F לא נתונה בצורה מפורשת אלא ע"י פתרון (ארוך בדרך כלל) של ODE. האם יש לנו שיטות לפתרון של המשוואה מסוג זה?

דוגמת פתרון לפי שיטת הצליפה התשובה היא בהחלט חיובית. אחת מהשיטות היא שיטת החצייה אבל היא דורשת הרבה איטרציות עד להתכנסות. שיטת המיתר יותר יעילה בדרך כלל ולכן עדיפה. דוגמא. דרוש לפתור משוואה דיפרנציאלית בקטע 1>x>0 עם תנאי שפה פתרון. נתחיל מהורדת סדר המשוואה: נחליף את התנאי בקצה השני, 1=(1)y, בתנאי התחלה נוסף ונמצא את A כך שהתנאי 0=1-(1)=y(A)F יתקיים. קודם ננחש את A. נתחיל מהניחוש 1= A1. פותרים את המערכת ומקבלים עוד ניחוש 2= A2. שוב פותרים את המערכת ומקבלים:

פתרון לפי שיטת הצליפה (גרפים של 2 הניחושים) המטרה פתרון עם ניחוש התחלתי 2=2A=y′(0) פתרון עם ניחוש התחלתי 1=1A=y′(0) שני "היריות" לא פגעו במטרה. נצטרך לחשב את השיפוע A לפי שיטת המיתר.

שיטת הצליפה (פתרון לפי שיטת המיתר) לאחר שני הניחושים ניתן לעבור לשיטת המיתר לחישוב קירוב הבא: פתרון של הODE- עם שיפוע התחלתי 3A מביא אותנו קרוב מאוד לפתרון המדויק כפי שניתן לראות: קירוב לפי שיטת המיתר: 2.69=y′(0) ניחוש התחלתי 2=y′(0) ניחוש התחלתי 1=y′(0) האיטראציה הבאה נותנת ערך 2.78 = 4A שקרוב לפתרון עם דיוק של 2 ספרות אחרי הנקודה.

The Linear Shooting Method satisfies the following conditions Theorem: If the linear boundary-value problem Then the problem has a unique solution.

The Linear Shooting Method (cont.) To solve the linear boundary-value problem we solve two initial-value problems: Then the solution to the boundary-value problem is:

The Linear Shooting Method (cont.) We illustrate this method graphically:

The Shooting Method for Nonlinear Problems The solution to a nonlinear problem cannot be expressed as a linear combination of the solution to initial-value problem. Instead we need to use the solutions to a sequence of initial-value problems of the form: We choose , so that

The Shooting Method for Nonlinear Problems denotes the solution to the initial-value problem. Shooting begins with:

The Shooting Method for Nonlinear Problems and continues with: denotes the solution to the initial-value problem, then the problem is to determine t so that

The Shooting Method for Nonlinear Problems is a nonlinear equation! The Secant method (מיתר): The Newton-Raphson method: ?

The Shooting Method for Nonlinear Problems (Newton-Raphson) We rewrite the initial-value problem, emphasizing that the solution depends on both x and t as Since we need we take the partial derivative with respect to t =0 and…

The Shooting Method for Nonlinear Problems (Newton-Raphson) …and: By defining and reversing the order of differentiation of x and t, we have This is the initial-value problem for z(x,t).

The Shooting Method for Nonlinear Problems (Newton-Raphson) Finally, NR shooting method implies solving two initial-value problems: If the problem satisfies the uniqueness theorem, any choice of will give convergence.

Algorithm Nonlinear Shooting

Algorithm Nonlinear Shooting (cont.)

Algorithm Nonlinear Shooting (cont.)

Algorithm Nonlinear Shooting (cont.)

Algorithm Nonlinear Shooting (example) Consider the boundary value problem The algorithm requires solving two initial value problems

Algorithm Nonlinear Shooting (example) Numerical and exact results: iterations and If the iteration stops for this problem requires four

פתרון בעיות גבול ע"י שיטת הפרשים סופיים בעזרת שיטת הצליפה אפשר לפתור בעיות שפה לכל משדי"פ מסדר גדול מ1, כולל משוואות לא ליניאריות. ראינו שהפתרון לפי שיטה זו דורש איטראציות, לפעמים איטראציות רבות. בגלל זה השיטה היא איטית בד"כ. כאשר המשוואה היא ליניארית, ניתן להשתמש בשיטות אחרות ומהירות הרבה יותר. אחת מהשיטות הללו היא שיטת "הפרשים סופיים". עקרון השיטה הוא להחליף את כל הנגזרות במישדי"פ בנגזרות נומריות. התוצאה היא – מערכת משוואות ליניאריות שקל לפתור אותם ללא איטראציות. דוגמא. דרוש לפתור משוואה בקטע 3 > x > 1 עם תנאי שפה: 1- = (3)y , 2 = (1)y נשתמש בהפרשים מרכזיים לקירוב הנגזרת השנייה: נציב בODE- ונקבל בנקודות פנימיות: כאשר

שיטת הפרשים סופיים (דוגמא) נבחר ב-5=n, ז"א 0.5=h ונקבל: נציב תנאי השפה (1-=5y, 2=1y) ,נפשט ונקבל מערכת המשוואות עבור נקודות פנימיות: שימו לב שקיבלנו מטריצה תלת-אלכסונית! פותרים את המערכת ומקבלים: השגיאה היא בסדר גודל (2h)O.

פתרון מערכת משוואות עם מטריצה תלת-אלכסונית הפתרון שלנו איננו מדויק. אפשר להקטין את השגיאה באחת משתי דרכים: או ע"י שימוש בשיטת הגזירה מדויקת יותר או ע"י הגדלת מספר החלוקות n (הקטנת h). הדרך השנייה עדיפה כי בשיטה זו מתקבל מטריצת המערכת תלת-אלכסונית. למטריצות כאלה קיימת שיטת הפתרון מאד יעילה - אלגוריתם של תומאס. נוסחאות של Thomas Algorithm נמצאות באתר הקורס ובשקפים הבאים.

Thomas Algorithm

Thomas Algorithm (cont.)