Kombinatoorsete süsteemide disain L2. Arvusüsteemid ja kahend-loogika L3. Loogikafunktsioonide esitamine ja teisendamine L4. Digitaalsüsteemid, andme- ja juht-osa, modelleerimise alused © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

Abstraktsioonitasemed kümnendarvud sümbolid / Kasutajaliides Operatsiooni- süsteem Pooljuhid: Si, GaAs & Co reaalarvud Rakendus- programmid Progr. keeled Transistorid / traadid Assembler / binaarkood Loogika- elemendid kahendarvud / kahendloogika Arvutisüsteem: CPU + RAM RTL: ALU & Co Loogika- funktsioonid Protsessor © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Arvusüsteemid J.F. Wakerly “Digital Design: Principles and Practices” - 2.1-2.4 Positsionaalsed arvusüsteemid väärtus = numbrite kaalutud summa 173.4 = 1·100 + 7·10 + 3·1 + 4·0.1 173.4 = 1·102 + 7·101 + 3·100 + 4·10-1 D =  di·ri, i = -n, …, p-1 dp-1 dp-2 … d2 d1 d0 . d-1 d-2 ... d-n r - baas (radix) © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Kahendarvud Binary numbers D =  di·2i, i = -n, …, p-1 101.0012 = 1·4 + 0·2 + 1·1 + 0·0.5 + 0·0.25 + 1·0.125 = 5.12510 MSB - most significant bit vanim järk LSB - least significant bit noorim järk © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 8- ja 16-arvud Octal numbers – D =  di·8i 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1000110011102 = 100 011 001 1102 = 43168 Hexadecimal numbers – D =  di·16i 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 111011011101010012 = 0001 1101 1011 1010 10012 = 1DBA916 © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 8- ja 16-arvud Püsikomaarvud 10.10110010112 = 010 . 101 100 101 1002 = 2.54548 10.10110010112 = 0010 . 1011 0010 11002 = 2.B2C16 8-arv (16-arv) -> 2-arv 1 byte - 8 bits, 1 nibble - 4 bits © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Teisendamine Teisendus üle 10-süsteemi Üldistatud teisendus dp-1 dp-2 … d2 d1 d0 D =  di·ri ( i = 0, …, p-1) = dp-1·rp-1 + dp-2·rp-2 + … + d2·r2 + d1·r1 + d0·r0 = ((( … ((dp-1)·r + dp-2)·r + …)·r + d2)·r + d1)·r + d0 rekurssiivne jagamine jääk annab koha väärtuse © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Teisendamine – näited D =  di·ri ( i = 0, …, p-1) = ((( … ((dp-1)·r + dp-2)·r + …)·r + d2)·r + d1)·r + d0 F1AC16 = (((15)·16+1)·16+10)·16+12 = 61868 61868 / 16 = 3866 jääk 12 3866 / 16 = 241 jääk 10 241 / 16 = 15 jääk 1 5410 = ??13 (Kui palju on 6x9?) 54 / 13 = 4 jääk 2 5410 = 4213 © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Hulgad hulk on elementide (objektide) kogum [Georg Cantor, 1845-1918] hulk - set ,      element - element, member x  A - element x kuulub hulka A |A| , N(A) - hulga võimsus (kardinaalsus) lõplikud (finite) ja lõpmatud (infinite) hulgad loenduvad (countable) hulgad © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Hulgad P  Q   - alamhulk (subset) hulk P on on hulga Q alamhulk kui iga hulga P element on ka hulga Q element ühisosata hulgad (disjoint sets) tühi hulk (empty set) -  universaalhulk (universal set) - I © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Tehted hulkadega ühend (union) A  B = { x | xA V xB } ühisosa (intersection) A  B = { x | xA & xB } täiend (complement) A = { x | xI & xA } (AC) vahe (difference) A \ B = { x | xA & xB } sümmeetriline vahe A D B = { x | (xA & xB) V (xA & xB) } © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Tehted hulkadega Venn’i diagramm A  B A  C =  B  C   I B C A A  B = A A  B = B B  C B \ A © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Boole’i algebra J.F. Wakerly “Digital Design: Principles and Practices” - 4.1 Loogikafunktsioonide formaalne analüüs George Boole 1854 – kahevalentne algebrasüsteem – Boole’i algebra 1938 – Claude E. Shannon releeskeemide analüüs (switching algebra) Üksühene vastavus Cantor’i algebra (hulgad) ja Boole’I algebra (kahendloogika) vahel! © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Boole’i algebra Liitmine - a+b, ab, a|b Korrutamine - a·b, ab, a&b Aksioomid (1) X=0 kui X1 X=1 kui X0 (2) kui X=0, siis X’=1 kui X=1, siis X’=0 (3) 0 · 0 = 0 1 + 1 = 1 (4) 1 · 1 = 1 0 + 0 = 0 (5) 0 · 1 = 1 · 0 = 0 1 + 0 = 0 + 1 = 1 © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Boole’i algebra Ühemuutuja teoreemid (1) X + 0 = X X · 1 = X identsus (2) X + 1 = 1 X · 0 = 0 konstandid (3) X + X = X X · X = X idempotentsus (4) (X’)’ = X topelteitus (5) X + X’ = 1 X · X’ = 0 täiendid © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Boole’i algebra Kahe- ja kolmemuutuja teoreemid (6) X+Y = Y+X X·Y = Y·X kommutatiivsus (7) (X+Y)+Z=X+(Y+Z) (X·Y)·Z=X·(Y·Z) assotsiatiivsus (8) (X·Y)+(X·Z)=X·(Y+Z) (X+Y)·(X+Z)=X+(Y·Z) distributiivsus (9) X+(X·Y)=X X·(X+Y)=X X+(X’·Y)=X+Y X·(X’+Y)=X·Y neeldumine (10) (X·Y)’=X’+Y’ (X+Y)’=X’·Y’ De Morgan © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Loogikafunktsioonid b a a a b 1 a b y 1 a b y 1 a y a·b a+b a’ a JA, AND VÕI, OR EI, NOT © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Loogikafunktsioonid 1 a b y 1 a b y 1 a b y ab a’+b ab (a·b)+(a’·b’) ab (a·b’)+(a’·b) implikatsioon ekvivalents (XNOR) välistav-või (XOR) © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Loogikafunktsioonid 1 b c y a 1 b c y a 1 a b y 1 a b y (a·b)’ a’+b’ (a+b)’ a’·b’ JA-EI NAND VÕI-EI NOR 3-NAND 3-XOR © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

Kahendloogika pööratavus 1 a b y AND 0 ↔ 1 1 a b y muutujate järjestus? 1 a b y OR NOR 1 a b y NAND 1 a b y © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Miks kahendloogika? J.F. Wakerly “Digital Design: Principles and Practices” - 1.2 Analoog suvaline väärtus 0..5 V, -10..+10 mA, jne. Digitaal diskreetsed väärtused 0/1, tõene/väär, true/false, high/low, jne. © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Miks kahendloogika? Digitaali eelised Tulemuste korratavus samad sisendid annavad alati sama tulemuse analoog - temperatuur, toitepinge, vananemine, ... Projekteerimise lihtsus loogikafunktsioonid, optimeerimisalgoritmid Paindlikkus ja funktsionaalsus erinevad algoritmid, sama funktsionaalsus võimsustarve, loogikalülide arv, ... © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2 Miks kahendloogika? Digitaali eelised (järg) Programmeeritavus programmeerimiskeeled / riistvara kirjelduskeeled Töökiirus Turg ja tehnoloogia areng Analoogi eelised Diferentsiaalvõrrandite realiseerimine Energeetiline efektiivsus Kõrge töösagedus © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

Mitmevalentne loogika Nivoo loogika kindel pingevahemik (vooluvahemik) 0 - <0.8V, 1 - >3.8V Mitmevalentne loogika rohkem kui kaks diskreetset väärtust suurem infotihedus mälud - 4- & 16-valentsed Boole’i algebra edasiarendus funktsioonide süsteemi minimiseerimine © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2