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1 Disegno del modello di analisi di dati sperimentali Lezione 5: modelli MISTI anova annidati disegno split-plot.

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2 1 Disegno del modello di analisi di dati sperimentali Lezione 5: modelli MISTI anova annidati disegno split-plot

3 2 disegno a blocchi casuali Tutti i Trattamenti sono assegnati a tutte le singole unità sperimentali Trattamenti sono assegnati in modo random BCB ABD DAA CDC blocchi (b = 3) Trattamenti (a = 4)

4 3 Trattamenti paziente ABCDAverage blocchi (pazienti) Trattamenti (farmaci )

5 4 An alternative way di writing a GLM Risposta del paziente j ricevente il farmaco i OverTutti i mean Effect di farmaco i Effect di paziente j Residual α i = μ i - μ β j = μ j - μ

6 5 valori predetti di y α i = μ i - μ β j = μ j - μ Risposta del paziente j ricevente il farmaco i

7 6 Trattamenti paziente ABCD

8 7 Trattamenti paziente ABCD

9 8 Effetti dei farmaci Effetti dei pazienti Es: paziente 2 ricevente il trattamento C:

10 9 Considera le due questioni: sono i tre pazienti differenti? sono pazienti in general differenti? Nel primo caso, pazienti è considerato fattore fisso Nel secondo caso, pazienti è considerato fattore random

11 10 pazienti è un effetto casuale : β j è assunta come iid ND(0,σ b 2 ) Probability di β Se pazienti sono scelti random, β j è una variabile stocastica i.e. independentemente, identicamente e normalmente distribute con media zero e Varianza σ² b

12 11 V(y) = V(μ + α i + β j + ε) = V(μ)+ V(α i )+ V( β j )+ V(ε) = σ a 2 + σ b 2 + σ 2 Varianze Varianza dovuta a farmaco (fattore a) Varianza dovuta a paziente (fattore b) Varianza Residua

13 12 Entrambi i fattori sono fissi V(y) = V(μ + α i + β j + ε) = V(μ)+ V(α i )+ V( β j )+ V(ε) = σ a 2 + σ b 2 + σ 2 V(y) = σ 2 Varianza di una singola osservazione: Varianza di una media:

14 13 pazienti è un fattore casuale (MISTI anova) V(y) = V(μ + α i + β j + ε) = V(μ)+ V(α i )+ V( β j )+ V(ε) = σ a 2 + σ b 2 + σ 2 V(y) = σ b 2 + σ 2 Varianza di una singola osservazione: Varianza di una media:

15 14 Entrambi i fattori sono random V(y) = V(μ + α i + β j + ε) = V(μ)+ V(α i )+ V( β j )+ V(ε) = σ a 2 + σ b 2 + σ 2 V(y) = σ a 2 +σ b 2 + σ 2 Varianza di una singola osservazione: Varianza di una media:

16 15 SourcedfMSE[MS]F farmaci pazienti Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) MS a MS b MS e Totalab-1 Means Squares Expected

17 16 Expected Mean Squares E[MS a ] = bσ a 2 + σ 2 E[MS b ] = aσ b 2 + σ 2 E[MS e ] = σ 2 df = a-1 df = b-1 df = (a-1)(b-1) H 0 : α A = α B = α C = α D = 0σ a 2 = 0 H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0σ b 2 = 0

18 17 SourcedfMSE[MS]F farmaci pazienti Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) MS a MS b MS e bσ a 2 + σ 2 aσ b 2 + σ 2 σ 2 MS a /Ms e MS b /MS e Totalab-1

19 18 SourcedfMSE[MS]F farmaci pazienti Error bσ a 2 + σ 2 aσ b 2 + σ 2 σ 2 MS a /Ms e MS b /MS e Total11

20 19 Hvis pazienti è a fattore random, σ b 2 è stimato da E[MS b ] = aσ b 2 + σ 2 V(y) = σ b 2 + σ 2 = = Varianza di una singola osservazione: Varianza di una media:

21 20 Come fare questo con SAS

22 21 DATA eks5_1; INPUT pat $ treat $ y; /* indlæser data */ CARDS; /* her kommer data. Kan også indlæses fra en fil */ 1 A A A B B B C C C D D D 4.61 ; PROC GLM; /* procedure General Linear modelli */ TITLE 'Eksempel 5.1'; /* medtages hvis der ønskes en titel */ CLASS pat treat; /* pat og treat er klasse (kvalitative) variabile */ MODEL y = pat treat; RANDOM pat; /* paziente er er en tilfældig faktor */ RUN;

23 22 Eksempel :18 Monday, November 5, 2001 General Linear modelli Procedure Dependent variabile: Y Source DF Sum di Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V. Root MSE Y Mean Source DF tipo I SS Mean Square F Value Pr > F PAT TREAT Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F PAT TREAT MS b MS a MS e

24 23 Eksempel :00 Friday, November 16, 2001 General Linear models Procedure Source tipo III Expected Mean Square PAT Var(Error) + 4 Var(PAT) TREAT Var(Error) + Q(TREAT)

25 24 disegno annidati

26 A B C D fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: A B C D fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: paziente j è the same for Tutti i farmacipaziente j è not the same for Tutti i farmaci pazienti sono said to be annidati within farmaciReplicates can also be regarded as annidati within farmaci and pazienti

27 26 Rules for finding the EMS (after Dunn and Clark) 1.For each effect, write down every possible Varianza component containing every letter di the effect name. For example, in a two way disegno with r replicates per cell, the EMS for fattore A includes σ a 2, σ ab 2 and σ (ab)e 2, but not σ b 2 2.For any annidati fattore add in parentheses to the effect name the name(s) di the fattore within it è annidati e.g if B è annidati in A, σ (a)b 2 è the Varianza di β (i)j. 3.For the coefficient di each Varianza component, use Tutti i letters not in the subscripts di the Varianza component 4.For each Varianza component, look at any subscripts outside parentheses that sono not in the effect name; if any di these letters corresponds to a fissi effect, omit that Varianza component

28 A B C D anova a due vie(A and B fissi ) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: Interazione tra farmaco and paziente Residual di the kth replicate annidati within farmaco i and paziente j

29 28 Model: (1) For each effect, write down every possible Varianza component containing every letter di the effect name. For example, in a two way disegno with r replicates per cell, the EMS for fattore A includes σ a 2, σ ab 2 and σ (ab)e 2, but not σ b 2 σ a 2 + σ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore A: σ b 2 + σ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore B: σ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore AB: σ (ab)e 2 Residual:

30 29 Model: σ a 2 + σ ab 2 + σ (ab)e 2 σ b 2 + σ ab 2 + σ (ab)e 2 σ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore A: fattore B: fattore AB: (2) For any annidati fattore add in parentheses to the effect name the name(s) di the fattore within it è annidati e.g if B è annidati in A, σ (a)b 2 è the Varianza di β (i)j. σ (ab)e 2 Residual:

31 30 Model: brσ a 2 + rσ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore A: arσ b 2 + rσ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore B: rσ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore AB: (3) For the coefficient di each Varianza component, use Tutti i letters not in the subscripts di the Varianza component σ (ab)e 2 Residual:

32 31 Model: brσ a 2 + rσ ab 2 + σ (ab)e 2 arσ b 2 + rσ ab 2 + σ (ab)e 2 rσ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore A: fattore B: fattore AB: (4) For each Varianza component, look at any subscripts outside parentheses that sono not in the effect name; if any di these letters corresponds to a fissi effect, omit that Varianza component σ (ab)e 2 Residual:

33 A B C D anova a due vie(A and B fissi ) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B AB Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(r-1) MS a MS b MS ab MS e brσ a 2 +r σ ab 2 + σ 2 arσ b 2 + r σ ab 2 + σ 2 r σ ab 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS e MS b /MS e MS ab /MS e

34 A B C D anova a due vie (A fissi, B random) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B AB Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(r-1) MS a MS b MS ab MS e brσ a 2 +r σ ab 2 + σ 2 arσ b 2 + r σ ab 2 + σ 2 r σ ab 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS ab MS b /MS e MS ab /MS e β j è ND(0, σ b 2 ) (αβ) ij è ND(0; σ ab 2 (1-1/a)) NB!

35 A B C D anova a due vie(A and B random) fattore A: fattore B: Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B AB Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(r-1) MS a MS b MS ab MS e brσ a 2 +r σ ab 2 + σ 2 arσ b 2 + r σ ab 2 + σ 2 r σ ab 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS ab MS b /MS ab MS ab /MS e β i è ND(0, σ b 2 ) (αβ) ij è ND(0; σ ab 2 ) α i è ND(0, σ a 2 )

36 A B C D anova annidati (A fissi, B random) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B(A) Error a-1 a(b-1) ab(r-1) MS a MS (a)b MS e brσ a 2 +r σ (a)b 2 + σ 2 rσ (a)b 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS (a)b MS (a)b /MS e MS e β (i)j è ND(0, σ (a)b 2 )

37 A B C D annidati anova (A and B random) fattore A (doctor) fattore B (paziente ) Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B(A) Error a-1 a(b-1) ab(r-1) MS a MS (a)b MS e brσ a 2 +r σ (a)b 2 + σ 2 rσ (a)b 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS (a)b MS (a)b /MS e MS e β (i)j è ND(0, σ (a)b 2 ) α i è ND(0, σ a 2 )

38 37 40% 20% 0% Four level annidati anova Tree (b = 2 ) Replicate (r = 2) Model: β (i)j è ND(0, σ (a)b 2 ) Leaf (c = 3 ) trattamento (a = 3) γ (ij)k è ND(0, σ (ab)c 2 )

39 38 SourcecdfMSE[MS]F Trattamenti Trees Leaves Error a-1 a(b-1) ab(c-1) abc(r-1) MS a MS (a)b MS (ab)c MS e bcrσ a 2 +cr σ (a)b 2 + r σ (ab)c 2 +σ 2 cr σ (a)b 2 + r σ (ab)c 2 +σ 2 r σ (ab)c 2 +σ 2 σ 2 MS a /MS (a)b MS (a)b /MS (ab)c MS (ab)c /MS e MS e MS (ab)c = rs (ab)c 2 + s 2 MS (a)b = cr s (a)b 2 + r s (ab)c 2 +s 2 = cr s (a)b 2 + MS (ab)c MS a = bcrs a 2 +cr s (a)b 2 + r s (ab)c 2 +s 2 = bcrs a 2 +MS (a)b

40 39 How do it with SAS

41 40 PROC GLM; CLASS treat tree leaf disc; MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat); /* trattamento è a fattori fissi, while trees and leaves sono random */ RANDOM tree(treat) leaf(tree treat); /* gives the expected means squares */ RUN; DATA annidati; /* annidati anova (eks 6-4 in the lecture notes) */ INFILE 'H:\lin-mod\eks6x.prn' firstobs =2 ; INPUT treat $ tree $ leaf $ disc $ Nitro ;

42 41 General Linear modelli Procedure Dependent variabile: NITRO Source DF Sum di Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V. Root MSE NITRO Mean Source DF tipo I SS Mean Square F Value Pr > F TREAT TREE(TREAT) LEAF(TREAT*TREE) Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F TREAT TREE(TREAT) LEAF(TREAT*TREE) NB! These values sono based on MS e as the error term, which è wrong!

43 42 PROC GLM; CLASS treat tree leaf disc; MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat); /* trattamento è a fattori fissi, while trees and leaves sono random */ RANDOM tree(treat) leaf(tree treat); /* gives the expected means squares */ RUN; DATA annidati; /* annidati anova (eks 6-4 in the lecture notes) */ INFILE 'H:\lin-mod\eks6x.prn' firstobs =2 ; INPUT treat $ tree $ leaf $ disc $ Nitro ;

44 43 General Linear modelli Procedure Source tipo III Expected Mean Square TREAT Var(Error) + 2 Var(LEAF(TREAT*TREE)) + 6 Var(TREE(TREAT)) + Q(TREAT) TREE(TREAT) Var(Error) + 2 Var(LEAF(TREAT*TREE)) + 6 Var(TREE(TREAT)) LEAF(TREAT*TREE) Var(Error) + 2 Var(LEAF(TREAT*TREE))

45 44 PROC GLM; CLASS treat tree leaf disc; MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat); /* trattamento è a fattori fissi, while trees and leaves sono random */ RANDOM tree(treat) leaf(tree treat); /* gives the expected means squares */ TEST h=treat e= tree(treat); /* tests for the difference between Trattamenti with MS for tree(treat) as denominator */ TEST h= tree(treat) e=leaf(tree treat); /* tests for the difference between trees with MS for leaf(tree treat) as denominator*/

46 45 General Linear modelli Procedure Dependent variabile: NITRO Tests di Hypotheses using the tipo III MS for TREE(TREAT) as an error term Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F TREAT Tests di Hypotheses using the tipo III MS for LEAF(TREAT*TREE) as an error term Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F TREE(TREAT)

47 46 PROC GLM; CLASS treat tree leaf disc; MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat); /* trattamento è a fattori fissi, while trees and leaves sono random */ RANDOM tree(treat) leaf(tree treat); /* gives the expected means squares */ TEST h=treat e= tree(treat); /* tests for the difference between Trattamenti with MS for tree(treat) as denominator */ TEST h= tree(treat) e=leaf(tree treat); /* tests for the difference between trees with MS for leaf(tree treat) as denominator*/ MEANS treat / Tukey Dunnett('Control') e= tree(treat) cldiff; /* finds possible significant differences between Trattamenti and the control and the other Trattamenti */ RUN;

48 47 Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variabile: NITRO NOTE: This test controls the tipo I experimentwise error rate. Alpha= 0.05 Confidence= 0.95 df= 3 MSE= Critical Value di Studentized Range= Minimum Significant Difference= Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by '***'. Simultaneous Simultaneous Lower Difference Upper TREAT Confidence Between Confidence Comparison Limit Means Limit 20% - 40% % - Control % - 20% % - Control Control - 20% Control - 40%

49 48 Dunnett's T tests for variabile: NITRO NOTE: This tests controls the tipo I experimentwise error for comparisons di Tutti i Trattamenti against a control. Alpha= 0.05 Confidence= 0.95 df= 3 MSE= Critical Value di Dunnett's T= Minimum Significant Difference= Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by '***'. Simultaneous Simultaneous Lower Difference Upper TREAT Confidence Between Confidence Comparison Limit Means Limit 20% - Control % - Control

50 49 PROC annidati; CLASS treat tree leaf; VAR Nitro; RUN;

51 50 Coefficients di Expected Mean Squares Source TREAT TREE LEAF ERROR TREAT TREE LEAF ERROR SourcecdfMSE[MS]F Trattamenti Trees Leaves Error a-1 a(b-1) ab(c-1) abc(r-1) MS a MS (a)b MS (ab)c MS e bcrσ a 2 +cr σ (a)b 2 + r σ (ab)c 2 +σ 2 cr σ (a)b 2 + r σ (ab)c 2 +σ 2 r σ (ab)c 2 +σ 2 σ 2 MS a /MS (a)b MS (a)b /MS (ab)c MS (ab)c /MS e MS e

52 51 annidati effetto casuale s Analisi di Varianza for variabile NITRO Degrees Varianza di Sum di Error Source Freedom Squares F Value Pr > F Term TOTAL TREAT TREE TREE LEAF LEAF ERROR ERROR Varianza Varianza Percent Source Mean Square Component di Total TOTAL TREAT TREE LEAF ERROR Mean Standard error di mean

53 52 The problem di pseudoreplication

54 A B C anova a due vie(A fissi, B random) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate 18 measurements If we want to increase the power di the Analisi, we may e.g. double the number di measurements But be careful about what you do!

55 ABC A C B disegno 1 disegno 2 Entrambi experiments have 36 measurements 3 experimental unità/trattamento 6 experimental unità/trattamento Pseudoreplicates disegno 2 è best because it uses 6 experimental unità/trattamento

56 55 40% 20% 0% Four level annidati anova Tree (b = 2 ) Replicate (r = 2) Leaf (c = 3 ) trattamento (a = 3) Trees sono the experimental unità (2 replicates/trattamento ) Pseudoreplicates

57 56 Split-plot disegnos Tre tipi di fertilizers Two tipi di soil trattamento Interactions between fertilizers and soil trattamento

58 57 A1A1 A2A2 Block 3 A2A2 A1A1 Block 1 A2A2 A1A1 Block 4 A1A1 A2A2 Block 2 2 whole-plots within each block Soil Trattamenti

59 58 A1A1 A2A2 Block 3 A2A2 A1A1 Block 1 A2A2 A1A1 Block 4 A1A1 A2A2 Block 2 Fertilizer Trattamenti 3 sub- plots within each whole-plot

60 59 Analisi di intero-disegno fattoredfMSE[MS]F Soil trattamento (A) Block (B) Soil*Block (AB) Error a-1 = 1 b-1 =3 (a-1)(b-1) = 3 0 MS a MS b MS ab bσ a 2 +σ ab 2 aσ b 2 + σ ab 2 σ ab 2 MS a /MS ab MS b /MS ab Totalab-1 = 7 β j è ND(0, σ b 2 ) Effect di soil treat Interazione tra soil and block Effect di block Interaction term serves as error term

61 60 Analisi di sub-plots fattoredfMSE[MS]F Whole plots Fertilizer (C) Soil*Fertilizer (AC) Block*Fert. (BC) Soil*Block*Fert. (ABC) Error ab-1 = 7 c-1 = 2 (a-1)( c-1) = 2 (b-1)(c-1) = 6 (a-1)(b-1)(c-1) = 6 0 MS c MS ac MS bc MS abc abσ c 2 +σ abc 2 bσ ac 2 + σ abc 2 aσ bc 2 + σ abc 2 σ abc 2 MS c /MS abc MS ac /MS abc MS bc /MS abc Totalabc-1 = 23 (βγ) jk è ND(0, σ bc 2 (1-1/c)) Effect di fertilizer Interazione tra soil trattamento and fertilizer Interazione tra block and fertilizer

62 61 Analisi di sub-plots fattoredfMSE[MS]F Whole plots Fertilizer (C) Soil*Fertilizer (AC) Block*Fert. (BC) Soil*Block*Fert. (ABC) Error ab-1 = 7 c-1 =2 (a-1)( c-1) =2 (b-1)(c-1) = 6 (a-1)(b-1)(c-1) = 6 0 MS c MS ac MS bc MS abc abσ c 2 +σ 2 bσ ac 2 + σ 2 bσ bc 2 + σ 2 σ 2 MS c /MS e MS ac /MS e MS bc /MS e Totalabc-1 = 23 (βγ) jk è ND(0, σ bc 2 (1-1/c))

63 62 Analisi di sub-plots fattoredfMSE[MS]F Whole plots Fertilizer (C) Soil*Fertilizer (AC) Block*Fert. (BC) Soil*Block*Fert. (ABC) Error ab-1 = 7 c-1 =2 (a-1)( c-1) =2 (b-1)(c-1) = 6 (a-1)(b-1)(c-1) = 6 0 MS c MS ac MS bc MS abc abσ c 2 +σ 2 bσ ac 2 + σ 2 σ 2 MS c /MS e MS ac /MS e Totalabc-1 = 23 (βγ) jk è ND(0, σ bc 2 (1-1/c))

64 63 How do it with SAS

65 64 DATA SplitPlt; /* Example 6-8 in the lecture notes */ /* block = block effect (fattore random ) */ /* soil = effect di soil trattamento (whole-plot effect) */ /* fert = effect di fertilizer (subplot effect) */ /* yield = dependent variabile */ INFILE 'h:\lin-mod\eks6-8.prn'; INPUT soil $ block $ fert $ yield; PROC GLM; TITLE 'Split plot - full model'; CLASS block soil fert; MODEL yield= block soil block*soil fert soil*fert block*fert ; RANDOM block; /* declare block as a effetto casuale */ TEST h = soil e = block*soil; /* tests effect di wholeplot */ TEST h = block e = block*soil; /* tests effect di blocchi */ RUN;

66 65 Split plot - full model The GLM Procedure Dependent variabile: yield Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE yield Mean Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F block soil block*soil fert soil*fert block*fert Tests di Hypotheses Using the tipo III MS for block*soil as an Error Term Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F soil block Sub-plot effects NB! These P-values cannot be used! Instead use these whole-plot results Whole-plot effects

67 66 PROC GLM; TITLE 'Split plot - reduced model block*fert omitted'; CLASS block soil fert; MODEL yield= block soil block*soil fert soil*fert; RANDOM block; TEST h = soil e = block*soil; /* tests effect di wholeplot */ TEST h = block e = block*soil; /* tests effect di blocchi */ RUN;

68 67 Split plot - reduced model block*fert omitted The GLM Procedure Dependent variabile: yield Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE yield Mean Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F block soil block*soil fert soil*fert

69 68 PROC GLM; TITLE 'Split plot - reduced model block*fert and soil*fert omitted'; CLASS block soil fert; MODEL yield= block soil block*soil fert; RANDOM block; TEST h = soil e = block*soil; /* tests effect di wholeplot */ TEST h = block e = block*soil; /* tests effect di blocchi */ MEANS soil /TUKEY e= block*soil CLM CLDIFF; /* confidence limits for wholeplot effects */ MEANS fert /TUKEY CLM CLDIFF; /* confidence limits for subplot effects */ RUN;

70 69 Split plot - reduced model block*fert and soil*fert omitted 97 Dependent variabile: yield Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE yield Mean Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F block soil block*soil fert

71 70 The GLM Procedure Tukey's Studentized Range (HSD) Test for yield NOTE: This test controls the tipo I experimentwise error rate. Alpha 0.05 Error Degrees di Freedom 3 Error Mean Square Critical Value di Studentized Range Minimum Significant Difference Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by ***. Difference Simultaneous soil Between 95% Confidence Comparison Means Limits

72 71 The GLM Procedure Tukey's Studentized Range (HSD) Test for yield NOTE: This test controls the tipo I experimentwise error rate. Alpha 0.05 Error Degrees di Freedom 14 Error Mean Square Critical Value di Studentized Range Minimum Significant Difference Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by ***. Difference Simultaneous fert Between 95% Confidence Comparison Means Limits *** ***


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