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1 Disegno del modello di analisi di dati sperimentali Lezione 5: modelli MISTI anova annidati disegno split-plot.

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2 1 Disegno del modello di analisi di dati sperimentali Lezione 5: modelli MISTI anova annidati disegno split-plot

3 2 disegno a blocchi casuali Tutti i Trattamenti sono assegnati a tutte le singole unità sperimentali Trattamenti sono assegnati in modo random BCB ABD DAA CDC blocchi (b = 3) Trattamenti (a = 4)

4 3 Trattamenti paziente ABCDAverage 1 2 3 blocchi (pazienti) Trattamenti (farmaci )

5 4 An alternative way di writing a GLM Risposta del paziente j ricevente il farmaco i OverTutti i mean Effect di farmaco i Effect di paziente j Residual α i = μ i - μ β j = μ j - μ

6 5 valori predetti di y α i = μ i - μ β j = μ j - μ Risposta del paziente j ricevente il farmaco i

7 6 Trattamenti paziente ABCD 15.175.214.914.745.008 26.237.346.186.316.515 34.934.554.644.614.683 5.4435.7005.2435.2205.402

8 7 Trattamenti paziente ABCD 15.175.214.914.745.008 26.237.346.186.316.515 34.934.554.644.614.683 5.4435.7005.2435.2205.402

9 8 Effetti dei farmaci Effetti dei pazienti Es: paziente 2 ricevente il trattamento C:

10 9 Considera le due questioni: sono i tre pazienti differenti? sono pazienti in general differenti? Nel primo caso, pazienti è considerato fattore fisso Nel secondo caso, pazienti è considerato fattore random

11 10 pazienti è un effetto casuale : β j è assunta come iid ND(0,σ b 2 ) Probability di β Se pazienti sono scelti random, β j è una variabile stocastica i.e. independentemente, identicamente e normalmente distribute con media zero e Varianza σ² b

12 11 V(y) = V(μ + α i + β j + ε) = V(μ)+ V(α i )+ V( β j )+ V(ε) = σ a 2 + σ b 2 + σ 2 Varianze Varianza dovuta a farmaco (fattore a) Varianza dovuta a paziente (fattore b) Varianza Residua

13 12 Entrambi i fattori sono fissi V(y) = V(μ + α i + β j + ε) = V(μ)+ V(α i )+ V( β j )+ V(ε) = σ a 2 + σ b 2 + σ 2 V(y) = σ 2 Varianza di una singola osservazione: Varianza di una media:

14 13 pazienti è un fattore casuale (MISTI anova) V(y) = V(μ + α i + β j + ε) = V(μ)+ V(α i )+ V( β j )+ V(ε) = σ a 2 + σ b 2 + σ 2 V(y) = σ b 2 + σ 2 Varianza di una singola osservazione: Varianza di una media:

15 14 Entrambi i fattori sono random V(y) = V(μ + α i + β j + ε) = V(μ)+ V(α i )+ V( β j )+ V(ε) = σ a 2 + σ b 2 + σ 2 V(y) = σ a 2 +σ b 2 + σ 2 Varianza di una singola osservazione: Varianza di una media:

16 15 SourcedfMSE[MS]F farmaci pazienti Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) MS a MS b MS e Totalab-1 Means Squares Expected

17 16 Expected Mean Squares E[MS a ] = bσ a 2 + σ 2 E[MS b ] = aσ b 2 + σ 2 E[MS e ] = σ 2 df = a-1 df = b-1 df = (a-1)(b-1) H 0 : α A = α B = α C = α D = 0σ a 2 = 0 H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0σ b 2 = 0

18 17 SourcedfMSE[MS]F farmaci pazienti Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) MS a MS b MS e bσ a 2 + σ 2 aσ b 2 + σ 2 σ 2 MS a /Ms e MS b /MS e Totalab-1

19 18 SourcedfMSE[MS]F farmaci pazienti Error 326326 0.149 3.824 0.117 bσ a 2 + σ 2 aσ b 2 + σ 2 σ 2 MS a /Ms e MS b /MS e Total11

20 19 Hvis pazienti è a fattore random, σ b 2 è stimato da E[MS b ] = aσ b 2 + σ 2 V(y) = σ b 2 + σ 2 = 0.927+0.117 = 1.044 Varianza di una singola osservazione: Varianza di una media:

21 20 Come fare questo con SAS

22 21 DATA eks5_1; INPUT pat $ treat $ y; /* indlæser data */ CARDS; /* her kommer data. Kan også indlæses fra en fil */ 1 A 5.17 2 A 6.23 3 A 4.93 1 B 5.21 2 B 7.34 3 B 4.55 1 C 4.91 2 C 6.18 3 C 4.64 1 D 4.74 2 D 6.31 3 D 4.61 ; PROC GLM; /* procedure General Linear modelli */ TITLE 'Eksempel 5.1'; /* medtages hvis der ønskes en titel */ CLASS pat treat; /* pat og treat er klasse (kvalitative) variabile */ MODEL y = pat treat; RANDOM pat; /* paziente er er en tilfældig faktor */ RUN;

23 22 Eksempel 5.1 8 13:18 Monday, November 5, 2001 General Linear modelli Procedure Dependent variabile: Y Source DF Sum di Squares Mean Square F Value Pr > F Model 5 8.09475000 1.61895000 13.80 0.0031 Error 6 0.70401667 0.11733611 Corrected Total 11 8.79876667 R-Square C.V. Root MSE Y Mean 0.919987 6.341443 0.34254359 5.40166667 Source DF tipo I SS Mean Square F Value Pr > F PAT 2 7.64831667 3.82415833 32.59 0.0006 TREAT 3 0.44643333 0.14881111 1.27 0.3666 Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F PAT 2 7.64831667 3.82415833 32.59 0.0006 TREAT 3 0.44643333 0.14881111 1.27 0.3666 MS b MS a MS e

24 23 Eksempel 5.1 18 09:00 Friday, November 16, 2001 General Linear models Procedure Source tipo III Expected Mean Square PAT Var(Error) + 4 Var(PAT) TREAT Var(Error) + Q(TREAT)

25 24 disegno annidati

26 25 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 A B C D fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A B C D fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: 1 2 3 1 2 3 paziente j è the same for Tutti i farmacipaziente j è not the same for Tutti i farmaci pazienti sono said to be annidati within farmaciReplicates can also be regarded as annidati within farmaci and pazienti

27 26 Rules for finding the EMS (after Dunn and Clark) 1.For each effect, write down every possible Varianza component containing every letter di the effect name. For example, in a two way disegno with r replicates per cell, the EMS for fattore A includes σ a 2, σ ab 2 and σ (ab)e 2, but not σ b 2 2.For any annidati fattore add in parentheses to the effect name the name(s) di the fattore within it è annidati e.g if B è annidati in A, σ (a)b 2 è the Varianza di β (i)j. 3.For the coefficient di each Varianza component, use Tutti i letters not in the subscripts di the Varianza component 4.For each Varianza component, look at any subscripts outside parentheses that sono not in the effect name; if any di these letters corresponds to a fissi effect, omit that Varianza component

28 27 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 A B C D anova a due vie(A and B fissi ) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: Interazione tra farmaco and paziente Residual di the kth replicate annidati within farmaco i and paziente j

29 28 Model: (1) For each effect, write down every possible Varianza component containing every letter di the effect name. For example, in a two way disegno with r replicates per cell, the EMS for fattore A includes σ a 2, σ ab 2 and σ (ab)e 2, but not σ b 2 σ a 2 + σ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore A: σ b 2 + σ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore B: σ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore AB: σ (ab)e 2 Residual:

30 29 Model: σ a 2 + σ ab 2 + σ (ab)e 2 σ b 2 + σ ab 2 + σ (ab)e 2 σ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore A: fattore B: fattore AB: (2) For any annidati fattore add in parentheses to the effect name the name(s) di the fattore within it è annidati e.g if B è annidati in A, σ (a)b 2 è the Varianza di β (i)j. σ (ab)e 2 Residual:

31 30 Model: brσ a 2 + rσ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore A: arσ b 2 + rσ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore B: rσ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore AB: (3) For the coefficient di each Varianza component, use Tutti i letters not in the subscripts di the Varianza component σ (ab)e 2 Residual:

32 31 Model: brσ a 2 + rσ ab 2 + σ (ab)e 2 arσ b 2 + rσ ab 2 + σ (ab)e 2 rσ ab 2 + σ (ab)e 2 fattore A: fattore B: fattore AB: (4) For each Varianza component, look at any subscripts outside parentheses that sono not in the effect name; if any di these letters corresponds to a fissi effect, omit that Varianza component σ (ab)e 2 Residual:

33 32 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 A B C D anova a due vie(A and B fissi ) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B AB Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(r-1) MS a MS b MS ab MS e brσ a 2 +r σ ab 2 + σ 2 arσ b 2 + r σ ab 2 + σ 2 r σ ab 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS e MS b /MS e MS ab /MS e

34 33 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 A B C D anova a due vie (A fissi, B random) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B AB Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(r-1) MS a MS b MS ab MS e brσ a 2 +r σ ab 2 + σ 2 arσ b 2 + r σ ab 2 + σ 2 r σ ab 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS ab MS b /MS e MS ab /MS e β j è ND(0, σ b 2 ) (αβ) ij è ND(0; σ ab 2 (1-1/a)) NB!

35 34 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 A B C D anova a due vie(A and B random) fattore A: fattore B: Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B AB Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(r-1) MS a MS b MS ab MS e brσ a 2 +r σ ab 2 + σ 2 arσ b 2 + r σ ab 2 + σ 2 r σ ab 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS ab MS b /MS ab MS ab /MS e β i è ND(0, σ b 2 ) (αβ) ij è ND(0; σ ab 2 ) α i è ND(0, σ a 2 )

36 35 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A B C D anova annidati (A fissi, B random) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B(A) Error a-1 a(b-1) ab(r-1) MS a MS (a)b MS e brσ a 2 +r σ (a)b 2 + σ 2 rσ (a)b 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS (a)b MS (a)b /MS e MS e β (i)j è ND(0, σ (a)b 2 ) 1 2 3 1 2 3

37 36 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A B C D annidati anova (A and B random) fattore A (doctor) fattore B (paziente ) Replicate Model: SourcedfMSE[MS]F A B(A) Error a-1 a(b-1) ab(r-1) MS a MS (a)b MS e brσ a 2 +r σ (a)b 2 + σ 2 rσ (a)b 2 + σ 2 σ 2 MS a /MS (a)b MS (a)b /MS e MS e β (i)j è ND(0, σ (a)b 2 ) α i è ND(0, σ a 2 ) 1 2 3 1 2 3

38 37 40% 20% 0% Four level annidati anova Tree (b = 2 ) Replicate (r = 2) Model: β (i)j è ND(0, σ (a)b 2 ) Leaf (c = 3 ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 trattamento (a = 3) γ (ij)k è ND(0, σ (ab)c 2 )

39 38 SourcecdfMSE[MS]F Trattamenti Trees Leaves Error a-1 a(b-1) ab(c-1) abc(r-1) MS a MS (a)b MS (ab)c MS e bcrσ a 2 +cr σ (a)b 2 + r σ (ab)c 2 +σ 2 cr σ (a)b 2 + r σ (ab)c 2 +σ 2 r σ (ab)c 2 +σ 2 σ 2 MS a /MS (a)b MS (a)b /MS (ab)c MS (ab)c /MS e MS e MS (ab)c = rs (ab)c 2 + s 2 MS (a)b = cr s (a)b 2 + r s (ab)c 2 +s 2 = cr s (a)b 2 + MS (ab)c MS a = bcrs a 2 +cr s (a)b 2 + r s (ab)c 2 +s 2 = bcrs a 2 +MS (a)b

40 39 How do it with SAS

41 40 PROC GLM; CLASS treat tree leaf disc; MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat); /* trattamento è a fattori fissi, while trees and leaves sono random */ RANDOM tree(treat) leaf(tree treat); /* gives the expected means squares */ RUN; DATA annidati; /* annidati anova (eks 6-4 in the lecture notes) */ INFILE 'H:\lin-mod\eks6x.prn' firstobs =2 ; INPUT treat $ tree $ leaf $ disc $ Nitro ;

42 41 General Linear modelli Procedure Dependent variabile: NITRO Source DF Sum di Squares Mean Square F Value Pr > F Model 17 134.04000000 7.88470588 8.00 0.0001 Error 18 17.75000000 0.98611111 Corrected Total 35 151.79000000 R-Square C.V. Root MSE NITRO Mean 0.883062 3.271932 0.99303127 30.35000000 Source DF tipo I SS Mean Square F Value Pr > F TREAT 2 71.78000000 35.89000000 36.40 0.0001 TREE(TREAT) 3 36.04666667 12.01555556 12.18 0.0001 LEAF(TREAT*TREE) 12 26.21333333 2.18444444 2.22 0.0618 Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F TREAT 2 71.78000000 35.89000000 36.40 0.0001 TREE(TREAT) 3 36.04666667 12.01555556 12.18 0.0001 LEAF(TREAT*TREE) 12 26.21333333 2.18444444 2.22 0.0618 NB! These values sono based on MS e as the error term, which è wrong!

43 42 PROC GLM; CLASS treat tree leaf disc; MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat); /* trattamento è a fattori fissi, while trees and leaves sono random */ RANDOM tree(treat) leaf(tree treat); /* gives the expected means squares */ RUN; DATA annidati; /* annidati anova (eks 6-4 in the lecture notes) */ INFILE 'H:\lin-mod\eks6x.prn' firstobs =2 ; INPUT treat $ tree $ leaf $ disc $ Nitro ;

44 43 General Linear modelli Procedure Source tipo III Expected Mean Square TREAT Var(Error) + 2 Var(LEAF(TREAT*TREE)) + 6 Var(TREE(TREAT)) + Q(TREAT) TREE(TREAT) Var(Error) + 2 Var(LEAF(TREAT*TREE)) + 6 Var(TREE(TREAT)) LEAF(TREAT*TREE) Var(Error) + 2 Var(LEAF(TREAT*TREE))

45 44 PROC GLM; CLASS treat tree leaf disc; MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat); /* trattamento è a fattori fissi, while trees and leaves sono random */ RANDOM tree(treat) leaf(tree treat); /* gives the expected means squares */ TEST h=treat e= tree(treat); /* tests for the difference between Trattamenti with MS for tree(treat) as denominator */ TEST h= tree(treat) e=leaf(tree treat); /* tests for the difference between trees with MS for leaf(tree treat) as denominator*/

46 45 General Linear modelli Procedure Dependent variabile: NITRO Tests di Hypotheses using the tipo III MS for TREE(TREAT) as an error term Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F TREAT 2 71.78000000 35.89000000 2.99 0.1933 Tests di Hypotheses using the tipo III MS for LEAF(TREAT*TREE) as an error term Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F TREE(TREAT) 3 36.04666667 12.01555556 5.50 0.0130

47 46 PROC GLM; CLASS treat tree leaf disc; MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat); /* trattamento è a fattori fissi, while trees and leaves sono random */ RANDOM tree(treat) leaf(tree treat); /* gives the expected means squares */ TEST h=treat e= tree(treat); /* tests for the difference between Trattamenti with MS for tree(treat) as denominator */ TEST h= tree(treat) e=leaf(tree treat); /* tests for the difference between trees with MS for leaf(tree treat) as denominator*/ MEANS treat / Tukey Dunnett('Control') e= tree(treat) cldiff; /* finds possible significant differences between Trattamenti and the control and the other Trattamenti */ RUN;

48 47 Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variabile: NITRO NOTE: This test controls the tipo I experimentwise error rate. Alpha= 0.05 Confidence= 0.95 df= 3 MSE= 12.01556 Critical Value di Studentized Range= 5.910 Minimum Significant Difference= 5.9134 Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by '***'. Simultaneous Simultaneous Lower Difference Upper TREAT Confidence Between Confidence Comparison Limit Means Limit 20% - 40% -3.663 2.250 8.163 20% - Control -2.513 3.400 9.313 40% - 20% -8.163 -2.250 3.663 40% - Control -4.763 1.150 7.063 Control - 20% -9.313 -3.400 2.513 Control - 40% -7.063 -1.150 4.763

49 48 Dunnett's T tests for variabile: NITRO NOTE: This tests controls the tipo I experimentwise error for comparisons di Tutti i Trattamenti against a control. Alpha= 0.05 Confidence= 0.95 df= 3 MSE= 12.01556 Critical Value di Dunnett's T= 3.866 Minimum Significant Difference= 5.4714 Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by '***'. Simultaneous Simultaneous Lower Difference Upper TREAT Confidence Between Confidence Comparison Limit Means Limit 20% - Control -2.071 3.400 8.871 40% - Control -4.321 1.150 6.621

50 49 PROC annidati; CLASS treat tree leaf; VAR Nitro; RUN;

51 50 Coefficients di Expected Mean Squares Source TREAT TREE LEAF ERROR TREAT 12 6 2 1 TREE 0 6 2 1 LEAF 0 0 2 1 ERROR 0 0 0 1 SourcecdfMSE[MS]F Trattamenti Trees Leaves Error a-1 a(b-1) ab(c-1) abc(r-1) MS a MS (a)b MS (ab)c MS e bcrσ a 2 +cr σ (a)b 2 + r σ (ab)c 2 +σ 2 cr σ (a)b 2 + r σ (ab)c 2 +σ 2 r σ (ab)c 2 +σ 2 σ 2 MS a /MS (a)b MS (a)b /MS (ab)c MS (ab)c /MS e MS e

52 51 annidati effetto casuale s Analisi di Varianza for variabile NITRO Degrees Varianza di Sum di Error Source Freedom Squares F Value Pr > F Term TOTAL 35 151.790000 TREAT 2 71.780000 2.987 0.1933 TREE TREE 3 36.046667 5.501 0.0130 LEAF LEAF 12 26.213333 2.215 0.0618 ERROR ERROR 18 17.750000 Varianza Varianza Percent Source Mean Square Component di Total TOTAL 4.336857 5.213333 100.0000 TREAT 35.890000 1.989537 38.1625 TREE 12.015556 1.638519 31.4294 LEAF 2.184444 0.599167 11.4930 ERROR 0.986111 0.986111 18.9152 Mean 30.35000000 Standard error di mean 0.99847105

53 52 The problem di pseudoreplication

54 53 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A B C anova a due vie(A fissi, B random) fattore A (farmaco) fattore B (paziente ) Replicate 18 measurements If we want to increase the power di the Analisi, we may e.g. double the number di measurements But be careful about what you do!

55 54 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3123123 ABC 1 2 1 2 3 4 5 6 A 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 C B disegno 1 disegno 2 Entrambi experiments have 36 measurements 3 experimental unità/trattamento 6 experimental unità/trattamento Pseudoreplicates disegno 2 è best because it uses 6 experimental unità/trattamento

56 55 40% 20% 0% Four level annidati anova Tree (b = 2 ) Replicate (r = 2) Leaf (c = 3 ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 trattamento (a = 3) Trees sono the experimental unità (2 replicates/trattamento ) Pseudoreplicates

57 56 Split-plot disegnos Tre tipi di fertilizers Two tipi di soil trattamento Interactions between fertilizers and soil trattamento

58 57 A1A1 A2A2 Block 3 A2A2 A1A1 Block 1 A2A2 A1A1 Block 4 A1A1 A2A2 Block 2 2 whole-plots within each block Soil Trattamenti

59 58 A1A1 A2A2 Block 3 A2A2 A1A1 Block 1 A2A2 A1A1 Block 4 A1A1 A2A2 Block 2 Fertilizer Trattamenti 3 sub- plots within each whole-plot

60 59 Analisi di intero-disegno fattoredfMSE[MS]F Soil trattamento (A) Block (B) Soil*Block (AB) Error a-1 = 1 b-1 =3 (a-1)(b-1) = 3 0 MS a MS b MS ab bσ a 2 +σ ab 2 aσ b 2 + σ ab 2 σ ab 2 MS a /MS ab MS b /MS ab Totalab-1 = 7 β j è ND(0, σ b 2 ) Effect di soil treat Interazione tra soil and block Effect di block Interaction term serves as error term

61 60 Analisi di sub-plots fattoredfMSE[MS]F Whole plots Fertilizer (C) Soil*Fertilizer (AC) Block*Fert. (BC) Soil*Block*Fert. (ABC) Error ab-1 = 7 c-1 = 2 (a-1)( c-1) = 2 (b-1)(c-1) = 6 (a-1)(b-1)(c-1) = 6 0 MS c MS ac MS bc MS abc abσ c 2 +σ abc 2 bσ ac 2 + σ abc 2 aσ bc 2 + σ abc 2 σ abc 2 MS c /MS abc MS ac /MS abc MS bc /MS abc Totalabc-1 = 23 (βγ) jk è ND(0, σ bc 2 (1-1/c)) Effect di fertilizer Interazione tra soil trattamento and fertilizer Interazione tra block and fertilizer

62 61 Analisi di sub-plots fattoredfMSE[MS]F Whole plots Fertilizer (C) Soil*Fertilizer (AC) Block*Fert. (BC) Soil*Block*Fert. (ABC) Error ab-1 = 7 c-1 =2 (a-1)( c-1) =2 (b-1)(c-1) = 6 (a-1)(b-1)(c-1) = 6 0 MS c MS ac MS bc MS abc abσ c 2 +σ 2 bσ ac 2 + σ 2 bσ bc 2 + σ 2 σ 2 MS c /MS e MS ac /MS e MS bc /MS e Totalabc-1 = 23 (βγ) jk è ND(0, σ bc 2 (1-1/c))

63 62 Analisi di sub-plots fattoredfMSE[MS]F Whole plots Fertilizer (C) Soil*Fertilizer (AC) Block*Fert. (BC) Soil*Block*Fert. (ABC) Error ab-1 = 7 c-1 =2 (a-1)( c-1) =2 (b-1)(c-1) = 6 (a-1)(b-1)(c-1) = 6 0 MS c MS ac MS bc MS abc abσ c 2 +σ 2 bσ ac 2 + σ 2 σ 2 MS c /MS e MS ac /MS e Totalabc-1 = 23 (βγ) jk è ND(0, σ bc 2 (1-1/c))

64 63 How do it with SAS

65 64 DATA SplitPlt; /* Example 6-8 in the lecture notes */ /* block = block effect (fattore random ) */ /* soil = effect di soil trattamento (whole-plot effect) */ /* fert = effect di fertilizer (subplot effect) */ /* yield = dependent variabile */ INFILE 'h:\lin-mod\eks6-8.prn'; INPUT soil $ block $ fert $ yield; PROC GLM; TITLE 'Split plot - full model'; CLASS block soil fert; MODEL yield= block soil block*soil fert soil*fert block*fert ; RANDOM block; /* declare block as a effetto casuale */ TEST h = soil e = block*soil; /* tests effect di wholeplot */ TEST h = block e = block*soil; /* tests effect di blocchi */ RUN;

66 65 Split plot - full model The GLM Procedure Dependent variabile: yield Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 17 32796.58333 1929.21078 3.24 0.0764 Error 6 3575.41667 595.90278 Corrected Total 23 36372.00000 R-Square Coeff Var Root MSE yield Mean 0.901699 15.02223 24.41112 162.5000 Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F block 3 588.33333 196.11111 0.33 0.8050 soil 1 7848.16667 7848.16667 13.17 0.0110 block*soil 3 3740.83333 1246.94444 2.09 0.2027 fert 2 10950.75000 5475.37500 9.19 0.0149 soil*fert 2 462.58333 231.29167 0.39 0.6942 block*fert 6 9205.91667 1534.31944 2.57 0.1373 Tests di Hypotheses Using the tipo III MS for block*soil as an Error Term Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F soil 1 7848.166667 7848.166667 6.29 0.0870 block 3 588.333333 196.111111 0.16 0.9185 Sub-plot effects NB! These P-values cannot be used! Instead use these whole-plot results Whole-plot effects

67 66 PROC GLM; TITLE 'Split plot - reduced model block*fert omitted'; CLASS block soil fert; MODEL yield= block soil block*soil fert soil*fert; RANDOM block; TEST h = soil e = block*soil; /* tests effect di wholeplot */ TEST h = block e = block*soil; /* tests effect di blocchi */ RUN;

68 67 Split plot - reduced model block*fert omitted The GLM Procedure Dependent variabile: yield Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 11 23590.66667 2144.60606 2.01 0.1224 Error 12 12781.33333 1065.11111 Corrected Total 23 36372.00000 R-Square Coeff Var Root MSE yield Mean 0.648594 20.08372 32.63604 162.5000 Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F block 3 588.33333 196.11111 0.18 0.9051 soil 1 7848.16667 7848.16667 7.37 0.0188 block*soil 3 3740.83333 1246.94444 1.17 0.3615 fert 2 10950.75000 5475.37500 5.14 0.0244 soil*fert 2 462.58333 231.29167 0.22 0.8079

69 68 PROC GLM; TITLE 'Split plot - reduced model block*fert and soil*fert omitted'; CLASS block soil fert; MODEL yield= block soil block*soil fert; RANDOM block; TEST h = soil e = block*soil; /* tests effect di wholeplot */ TEST h = block e = block*soil; /* tests effect di blocchi */ MEANS soil /TUKEY e= block*soil CLM CLDIFF; /* confidence limits for wholeplot effects */ MEANS fert /TUKEY CLM CLDIFF; /* confidence limits for subplot effects */ RUN;

70 69 Split plot - reduced model block*fert and soil*fert omitted 97 Dependent variabile: yield Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 9 23128.08333 2569.78704 2.72 0.0457 Error 14 13243.91667 945.99405 Corrected Total 23 36372.00000 R-Square Coeff Var Root MSE yield Mean 0.635876 18.92739 30.75702 162.5000 Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F block 3 588.33333 196.11111 0.21 0.8896 soil 1 7848.16667 7848.16667 8.30 0.0121 block*soil 3 3740.83333 1246.94444 1.32 0.3079 fert 2 10950.75000 5475.37500 5.79 0.0147

71 70 The GLM Procedure Tukey's Studentized Range (HSD) Test for yield NOTE: This test controls the tipo I experimentwise error rate. Alpha 0.05 Error Degrees di Freedom 3 Error Mean Square 1246.944 Critical Value di Studentized Range 4.50067 Minimum Significant Difference 45.879 Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by ***. Difference Simultaneous soil Between 95% Confidence Comparison Means Limits 2 - 1 36.17 -9.71 82.05 1 - 2 -36.17 -82.05 9.71

72 71 The GLM Procedure Tukey's Studentized Range (HSD) Test for yield NOTE: This test controls the tipo I experimentwise error rate. Alpha 0.05 Error Degrees di Freedom 14 Error Mean Square 945.994 Critical Value di Studentized Range 3.70139 Minimum Significant Difference 40.25 Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by ***. Difference Simultaneous fert Between 95% Confidence Comparison Means Limits 3 - 2 15.38 -24.87 55.62 3 - 1 51.00 10.75 91.25 *** 2 - 3 -15.38 -55.62 24.87 2 - 1 35.63 -4.62 75.87 1 - 3 -51.00 -91.25 -10.75 *** 1 - 2 -35.63 -75.87 4.62


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