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CH 14-可靠度工程之數學基礎 探討重點 失效時間之機率分配 指數模式之可靠度工程.

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1 CH 14-可靠度工程之數學基礎 探討重點 失效時間之機率分配 指數模式之可靠度工程

2 探討重點 1. 機率 2. 產品提供之服務水準 3. 操作時間 4. 操作條件

3 失效時間之機率分配 (Distribution of Time to Failure)
設 ft 表某系統失效時間的pdf, F(t)表系統從時間0到t的失效機率,則 (1) R(t) 表系統存活機率,則 R(t) = 1- F(t) 系統在時間區間 t 至 t+△t失效機率為 F(t+△t) – F(t), 系統在時間t存活下,能繼續存活至t+△t的條件機率為 (2)

4 失效時間之機率分配 所以平均單位時間失效機率為 = ---------------(3) 當△t趨近於非常小時,以Z(t)表瞬時失效率:
= (3) 當△t趨近於非常小時,以Z(t)表瞬時失效率: ----(4) 又 ,得 (5)

5 失效時間之機率分配 由式(5)解微分方程得: -------------------------(6)
再利用 f(t) = Z(t) × R(t) 得 f(t) = (7) 若失效率以固定常數λ帶入,可得 此式剛好符合指數分配

6 失效時間之機率分配 若元件失效後,可立即更換另個有相同失效率之元件,則這種隨機發生失效的現象,剛好符合Poisson Process。
平均等待二個失效所發的時間應該是失效率的倒數 = 1/λ,此值常稱之為平均失效時間 (Mean Time Between Failures)。 然而假定固定的失效率與現實世界並不吻合,失效率常隨時間而改變 (漸增或漸減) 。

7 失效時間之機率分配 若將瞬時失效率修正為與時間有關之函數: --------------(9) 當β<1 時,失效率隨時間遞減
當β>1 時,失效率隨時間遞增 當β=1 時,失效率不隨時間而改變 將式(9)帶入式(7),可得 (10) 式(10)為著名的韋氏分配 (Weibull Distribution)。

8 浴盆曲線 – Bath-tub Curve 時間 失效率 早期失效率 老化失效率 機率型失效率

9 系統組成型式 串聯系統 並聯系統

10 系統組成型式 串並聯系統

11 指數模式之可靠度工程 假設:失效率為常數,可靠度為 (11)

12 指數模式之可靠度工程 (一)串聯系統 若系統是由 n 個元件串聯而成,其失效率分別為 ,則系統可靠度為
Rs(t) = R1 × R2 × ….Rn = (12)

13 串聯系統 由式(12)得知,串聯系統之失效率為個別元間失效率之和 ( ) 因MTBF為失效率之倒數,由式(12)可得 系統之MTBF為
由式(12)得知,串聯系統之失效率為個別元間失效率之和 ( ) 因MTBF為失效率之倒數,由式(12)可得 系統之MTBF為 (13)

14 並聯系統 若系統是由 n 個元件並聯而成,其失效率分別為λ1, λ2, λ3,… λn, 則系統在時間 t 之不可靠度為為
從上式可知,其失效時間並非是指數分配

15 並聯系統 – 失效率函數之推導

16 並聯系統 – 失效率函數之推導 λ t

17 並聯系統 若系統是由n個元件並聯而成,其失效率均相同,則系統之MTBFs為 ---------------------------(14)
式(14)是假定在系統任一元件失效後,可立即更換。從式(14)得知,當並聯一個元件時,系統壽命只增加50%,而非一倍。隨著元件數增加,而系統可靠度之增加率卻遞減,實務上並聯系統應考慮Trade-off成本效益。(cf. 圖14-4)

18

19 失效時間之機率分配 在現實世界裡,產品之可用期之失效率常設為固定值,一般稱之為實用壽命。若把固定之失效率設為λ(λ> 0),則可推得
(8) 上式洽為指數分配,因此我們常假設一般產品可用期之失效時間為服從指數分配,從完好到失效之期間被稱為等候時間 (Waiting Time)。


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