1. ارائه کننده: آلاء شريعتی
آشنايي با نامساويهاي ماتريسي خطي (Linear Matrix Inequalities) و کاربردهاي آن در مسائل کنترل
ارائه کننده:
آلاء شريعتی
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

2. نامساوي ماتريسي خطي (LMI) چيست؟
در مسائل بهينه سازي معمولاً قيود نامساويهاي خطي هستند
در بعضي موارد اين قيود نا مساويهاي ماتريسي مي باشند
به دستة خاصي از اين نامساويهاي ماتريسي LMI گفته مي شود
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

3. تعريف نامساوي ماتريسی خطی (LMI)
يک نامساوي ماتريسی خطي به شکل زير بيان ميشود: که در آن با تعريف فوق
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

4. K.N.Toosi University of technology
نکته :
هر نامساوي ماتريسي متقارن که بصورت affine به متغير خود وابسته باشد، قابل بيان بصورت نامساوي ماتريسي خطي است.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

5. K.N.Toosi University of technology
مثال:
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

6. K.N.Toosi University of technology
چرا LMI؟
در تئوري کنترل به مسائلي بر مي خوريم که دستيابي به جواب منوط به حل يک نامساوي ماتريسي است و يا در بعضي مسائل بهينه سازي، قيود نامساويهاي ماتريسي هستند.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

7. مثال 1 : پايداري سيستمهاي خطي
سيستم خطي زير را در نظر ميگيريم:
تابع لياپانوف :
شرط پايداري :
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

8. K.N.Toosi University of technology
مثال 2 : معادلة ريکاتي
معادلات ريکاتي که بطور وسيعي در کنترل بهينه استفاده مي شوند يک نامساوي ماتريسي است. نمايش آن بصورت رابطة زير است:
که در آن ماتريسهاي Aو B معلوم و P=PT>0 ، R=RT>0 و Q=QT>0 مجهول هستند
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

9. مثال 3 : بيشترين مقدار تکين (Maximum Singular Value)
بيشترين مقدار بهرة يک سيستم چند متغيره با بيشترين مقدار تکين آن نمايش داده ميشود.
بطور کلي اگر A(x) يک ماتريس باشد بزرگترين مقدار تکين آن بصورت نمايش داده ميشود.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

10. K.N.Toosi University of technology
مسألة کمينه سازي بيشترين مقدار تکين را در نظر مي گيريم:
از آنجا که
قيد اين مسألة بهينه سازي را مي توان بصورت زير نوشت:
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

11. K.N.Toosi University of technology
در مثال 1 شرط پايداري لياپانوف يک LMI مي باشد
چون:
1-متقارن است
2-نسبت به درايه هاي P از درجة 1 است (affine)
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

12. K.N.Toosi University of technology
ولي مثالهاي 2 و 3 LMI نيستند
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

13. K.N.Toosi University of technology
شرط پايداري لياپانوف بعنوان اولين LMI در مهندسي کنترل شناخته مي شود. در دهة 40 قرن گذشته اين معيار وارد مسائل واقعي مهندسي کنترل شد و حل آن بصورت دستي و تنها براي مسائل کوچک انجام مي گرفت.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

14. K.N.Toosi University of technology
در دهة 60 تئوريهايي ارائه شد مبني بر اينکه دستة خاصي از نامساويهاي غيرخطي نظير معادلة ريکاتي قابل بيان بصورت LMI مي باشند. لم معروف شر(Schur) اين دسته از نامساويهاي ماتريسي را معرفي مي کند.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

15. K.N.Toosi University of technology
نامساوي شر(Schur)
مجموعه نامساويهای غير خطي به شکل که در آن R(x)=RT(x) و S(x)=ST(x)، به LMI به صورت زير قابل تبديل است.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

16. K.N.Toosi University of technology
بنابراين معادلة ريکاتي و مسألة بزرگترين مقدار تکين قابل تبديل به يک LMI مي باشند.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

17. K.N.Toosi University of technology
تا قبل از دهة 80 اگرچه دامنة مسائلي که با نامساوي ماتريسي قابل بيان بودند گسترش پيدا کرده بود ولي هنوز حل LMIها به مسائل با ابعاد کوچک محدود بود.
تا اينکه در دهة 80 الگوريتم نقطة داخلي براي LMI ارائه شد
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

18. طراحي کنترل کنندة فيدبک حالت با استفاده از LMI
سيستم خطي زير را در نظر مي گيريم:
فيدبک حالت:
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

19. K.N.Toosi University of technology
شرط پايداري لياپانوف:
??!
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

20. ضرب نامساوي ماتريسي بالا در P-1 از چپ و راست
متغير جديد:
ضرب نامساوي ماتريسي بالا در P-1 از چپ و راست
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

21. K.N.Toosi University of technology
L=KY
Y=P-1
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

22. K.N.Toosi University of technology
G1(s) +
C(s) _
G2(s)
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

23. K.N.Toosi University of technology
شرط پايداري:
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

24. K.N.Toosi University of technology
ماکزيمم پاسخ ضربه
محدوديت روي گين ماکزيمم خروجي به ماکزيمم ورودي
عملکرد H∞
عملکرد H2
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

25. K.N.Toosi University of technology
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

26. K.N.Toosi University of technology
u=Kx
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

27. K.N.Toosi University of technology
L=KY
Y=P-1
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

28. پايداري + پيک پاسخ ضربه کوچکتر از ξ
سيستم زير را در نظر مي گيريم:
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

29. K.N.Toosi University of technology
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

30. K.N.Toosi University of technology
خواص LMIها
1- LMIها يکتا نيستند يعني LMIهاي مختلفي مي توانند منجر به يک مجموعه جواب شوند. به عنوان مثال مجموعه جواب LMIها تحت هماني ثابت است.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

31. K.N.Toosi University of technology
خواص LMIها
2- چند LMI مي توانند بصورت يک LMI نمايش داده شوند.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

32. K.N.Toosi University of technology
خواص LMIها
3- LMIها قيود محدب مي باشند.
مجموعة محدب
مجموعة غير محدب
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology

33. K.N.Toosi University of technology
مراجع
Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, S. Boyd, E. Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, Siam, 1994.
Advances in Linear Matrix Inequality Methods in Control, L. El Ghaoui, S. Niculescu, Siam 2000.
A tutorial on linear and bilinear matrix inequalities, J. G. VanAntwerp, R. D. Braatz, Journal of Process Control, 2000.
17-Apr-17
K.N.Toosi University of technology