Presentation is loading. Please wait.

Presentation is loading. Please wait.

Povijest matematike, 2. predavanje ©FMB 10. Zlatni rez ovo je geometrijsko rješavanje kvadratne jednadžbe.

Similar presentations


Presentation on theme: "Povijest matematike, 2. predavanje ©FMB 10. Zlatni rez ovo je geometrijsko rješavanje kvadratne jednadžbe."— Presentation transcript:

1 Povijest matematike, 2. predavanje ©FMB 10

2 Zlatni rez ovo je geometrijsko rješavanje kvadratne jednadžbe

3 Kutevi u poligonima Zbroj kuteva u trokutu iznosi dva prava kuta. Zbroj kuteva u n - terokutu iznosi 2n-4 prava kuta. Ravninu možemo popločati pravilnim n -terokutom ako i samo ako je n = 3, 4 ili 6.

4 Platonova tijela Platon ih je opisao u dijalogu Timej, ali svih pet su bila poznata već pitagorejcima. Konveksan poliedar je pravilan ako su mu sve strane međusobno sukladni pravilni poligoni i u svakom vrhu ih se sastaje jednako mnogo.

5 Zenon iz Eleje ( ) 40 paradoksa – počeci teorije infinitezimalnih veličina Ahil i kornjača: na početku je kornjača 10 metara ispred Ahila; Ahil je dvostruko brži; kad je Ahil na mjestu gdje je kornjača bila na početku, ona je 5m ispred; kad Ahil dođe na to mjesto, onda je 2,5m ispred itd.  Ahil ne može stići kornjaču!

6 Platon ( ) učenik Sokrata i pitagorejca Teodora iz Kirene u Italiji je upoznao i pitagorejca Arhitu iz Tarenta na ulazu Akademije (osnovana oko 387. pr. Kr.): Neka ovamo ne ulazi nitko tko ne zna geometriju prema Papusu, od Platona potječe zahtjev geom. konstrukcija ravnalom i šestarom matematika je dio nematerijalnog svijeta matematički objekti postoje neovisno o razumu inzistira na jasnim definicijama, hipotezama i postulatima, koncentrira se na ideju dokaza za matematiku bitni dijalozi: Timej, Teetet

7 Teodor iz Kirene ( ) izvor Platonovog dijaloga Teetet dokaz iracionalnosti kvadratnih korijena od 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 i 17 Iracionalnost korijena iz 3: a = kateta pravokutnog trokuta kojem je druga kateta 1, a hipotenuza 2 Pretp. a sumjerljiva s 1 ako je u pit. trojci jedan član neparan, onda su točno dva člana pitagorejske trojke neparna  a neparan ako je u pitagorejskoj trojci c paran, onda su i a i b parni  a paran

8 Aristotel (384 – 322) svaka matematička tvrdnja je ili istinita ili lažna promatra isključivo konkretne objekte: pravac nije beskonačan jer iako ga možemo nacrtati po volji dugog, nije ga moguće realizirati kao beskonačnog

9 Tri klasična problema 1.Problem udvostručenja kocke. 2.Problem trisekcije kuta. 3.Problem kvadrature kruga. Platonova akademija (387.pr.Kr.-529.n.e.): geometrijske konstrukcije smiju se izvoditi isključivo ravnalom i šestarom; ravnalo se koristi samo za pravocrtno spajanje dvije točke, a šestar za crtanje kružnice zadanog središta i polumjera

10 Konstrukcije ravnalom i šestarom

11 “Racionalne” operacije 1: b=a:xb: 1 =a:x x: 1 =a:x

12 Problem udvostručenja kocke (delijski problem) 1.Hipokrat s Hiosa (ca ): svodi na traženje srednjih geometrijskih proporcionala ( a:x=x:y=y:b ) – uz b = 2a je x tražena stranica 2.Arhita iz Tarenta (ca ): srednje geometrijske proporcionale od a i 2a dobiva presjekom valjka, stošca i torusa presjekom valjka, stošca i torusa 3.Menehmo (ca ): pomoću presjeka parabole i hiperbole (otkrio je konike)

13 Problem kvadrature kruga kako krug pretvoriti (ravnalom i šestarom) u kvadrat iste površine? 1.Anaksagora iz Klazomene ( ) 2.Antifont ( ) predlaže upisivanje pravilnih poligona sa sve većim brojem stranica u krug 3.Hipokrat s Hiosa : Hipokratovi mjeseci (prvi likovi zakrivljenih rubova kojima je izračunata površina); koristi da je omjer površina krugova jednak omjeru kvadrata njihovih radijusa 4.Hipija iz Elide (ca ) i Dinostrat (ca ): kvadratisa

14 Hipokratovi mjeseci mjesec = trokut + polukrug nad hipotenuzom ( A ) – četvrt kruga kojem je radijus kateta ( B ) A:2B = 1:2  A = B  mjesec = trokut krak 2 :baza 2 =1:3 R+S+T=U R=S=T P (mjesec)= P (trapez)

15 Hipijina kvadratisa

16 Problem trisekcije kuta ponekad rješiv ravnalom i šestarom (npr. za pravi kut, za kut od 27°,...) više mehaničkih rješenja (Hipokrat, Arhimed,...) Hipokrat: pomoću kvadratise: kut možemo konstruirati ako možemo konstruirati njegov kosinus:

17 O nemogućnosti rješenja tri klasična problema dodat ćemo i četvrti problem (također vrlo popularan u antičkih Grka): konstrukcija pravilnog sedmerokuta za kvadraturu kruga treba konstruirati kvadratni korijen od  – nemoguće jer  transcendentan (von Lindemann, 1882) problem kvadrature kruga, trisekcije kuta (od 60°) te konstrukcije pravilnog sedmerokuta svode se redom na geometrijsko rješavanje kubnih jednadžbi

18 Duplikacija kocke brida a Trisekcija kuta od 60° Konstrukcija pravilnog sedmerokuta

19 Doba helenizma početak: Aleksandar Veliki: osvajanja izvan Grčke g.pr.Kr. kraj: oko prijelaza era nakon smrti A.V. Grčka se raspada na više zemalja glavni znanstveni centar: Aleksandrija (331) – u nju je A.V. naselio Grke, Egipćane i Židove nakon Aleksandrove smrti Aleksandrija postaje glavni grad egipatskog kraljevstva (Ptolomej I)

20 Aleksandrija više od 600 godina znanstveni centar museion = univerzitet + biblioteka u museionu rade svi najveći znanstvenici helenizma manuskripata procvat egzaktnih znanosti, osobito matematike prvi “pročelnik” za matematiku: Euklid

21 Euklid (330 – 275) malo se zna o njegovu životu djela o matematici, optici, glazbi i astronomiji glavno djelo: Elementi (EE) – Stoichea sinteza sve dotad poznate matematike u 13 knjiga 2.st.n.e. Hipsikl dodaje EE XIV, 6.st.n.e. Izidor iz Mileta dodaje EE XV Data – vrsta repetitorija i djelomično upotpunjenje EE (izgubljeno) Porizmi – primjena EE sa samostalnim značenjem

22 Euklidovi elementi 23 definicije, 5 aksioma i 5 postulata definicije, aksiomi, postulati  teoremi (svaki teorem slijedi isključivo iz već dokazanih ili iz osnovnih tvrdnji): utemeljen deduktivni pristup u matematici htio je izvesti svu matematiku iz malo osnovnih tvrdnji izvori: pitagorejci, osim za EE III i IV (Hipokrat s Hiosa), EE V i EE XII (Eudoks s Knida), EE X i EE XIII (Teetet)

23 Euklidovi postulati 1.Dvije točke određuju dužinu. 2.Dužina se može produžiti u oba smjera. 3.Kružnica je zadana središtem i polumjerom. 4.Svi pravi kutevi su jednaki. 5.(Postulat o paralelama) Ako pravac siječe dva pravca tako da je zbroj kuteva s iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca (ako se dovoljno produže) sijeku.

24 Euklidovi aksiomi 1.a = b & b = c  a = c 2.a = c & b = d  a+b = c+d 3.a = c & b = d  a-b = c-d 4.Ono što se podudara je jednako. 5.Cjelina je veća od dijela.

25 EE I – elementarna geometrija (48)  konstrukcija paralelograma sa zadanim kutem jednakog zadanom trokutu

26 EE II – geometrijska algebra (14)

27 EE III – planimetrija kružnice i kruga (37)

28 EE IV – konstrukcije pravilnih poligona (16)

29 EE V – opća teorija omjera i razmjera (25) za istovrsne geometrijske veličine A, B, C, D vrijedi A:B=C:D ako za sve prirodne m,n vrijedi  mA>nB  mC>nD  mA=nB  mC=nD  mA

30 EE VI – primjena opće teorije omjera i razmjera na planimetriju (33) sličnost likova c a x b a:b=c:x

31 EE VII – teorija brojeva (39) Euklidov algoritam prosti i složeni brojevi najmanji zajednički višekratnik

32 EE VIII – teorija brojeva (27) djeljivost i omjeri EE IX – teorija brojeva (36) Euklidov teorem parni i neparni brojevi teorem o parnim savršenim brojevima suma geometrijskog niza

33 EE X – klasifikacija kvadratnih iracionalnosti (117) (1) Eudoksova lema : Ako od neke veličine oduzmemo više od pola, od ostatka više od njegove polovine itd. onda će, ako se postupak ponovi dovoljno puta, ostatak biti manji od bilo koje veličine (2) ako dvije veličine nisu sumjerljive, onda u Euklidovom algoritmu nijedan od ostataka ne dijeli manju od njih

34 EE XI – opća steoreometrija (39) presjek dvije ravnine je pravac (3) pravci okomiti na istu ravninu su paralelni (6) ravnine okomite na isti pravac su paralelne (14) prostorni kut sadržan je u kutevima među ravninama čiji zbroj je manji od 4 prava kuta (21) parelelepipedi iste baze i visine su jednaki (31) omjer volumena paralelepipeda iste visine jednak je omjeru njihovih baza (32)

35 EE XII – primjena metode ekshaustije na stereometriju (18) površine krugova su proporcionalne kvadratima njihovih promjera (2) dva tetraedra su jednaka ako imaju iste baze i visine (5) trostrana prizma se može podijeliti na 3 piramide istog volumena  vol. piramide je 1/3 vol. prizme iste baze i visine (6,7) vol. stošca je 1/3 vol. valjka iste baze i visine (10) omjer vol. kugli je trostruki omjer njihovih promjera tj. vol kugle je proporc. kubu njena promjera (18)

36 EE XIII – teorija pravilnih poliedara (18) pravilni tetraedar : po 4 vrha, brida i strane, a:R=  6 : 3 kocka : 8 vrhova, 12 bridova, 6 strana, brida i strane, a:R=  3 : 3 pravilni oktaedar : 6 vrhova, 12 bridova, 8 strana, brida i strane, a:R=  2 : 2 dodekaedar : 20 vrhova, 30 bridova, 12 strana, a:R= (  5 -1) : 2  3 ikozaedar : 12 vrhova, 30 bridova, 20 strana, a:R=2 :  (10+2  5)


Download ppt "Povijest matematike, 2. predavanje ©FMB 10. Zlatni rez ovo je geometrijsko rješavanje kvadratne jednadžbe."

Similar presentations


Ads by Google