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Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

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1 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos y geométricos

2 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Notación de operador Operador diferencial Propiedades de operadores Polinomio diferencial Función característica Ecuación característica Valores característicos de una ED Operadores diferenciales

3 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Operadores Un operador es una función con una regla de correspondencia particular que depende del problema en estudio. Por ejemplo, Operador suma Operador raíz cuadrada Operador integral Operador derivada

4 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Entrada SalidaProceso + Operador suma Entrada Salida Proceso Operador derivada Esquema de un operador

5 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Notación de operador para una ED Considere la ED de primer orden Escribiendo a las derivadas en términos del operador diferencial, es posible rescribir la ecuación (1) como (1) (2)

6 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Factorizando a la función desconocida, y(x) en (2), es posible escribir a (1) como Operador diferencial de primer orden, L Función incógnita Excitación (término no homogéneo) Entrada Salida Proceso Esquema de una ED

7 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Exprese la siguiente ED en términos de un operador diferencial Escribiendo en términos del operador D: Factorizando a y: El operador diferencial de la ED es

8 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Entonces es posible expresar la ED como sigue: Donde L es el operador lineal de coeficientes variables:

9 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Los operadores diferenciales pueden tener coeficientes variables (como en el caso anterior) o constantes como en la siguiente ED: El operador diferencial lineal de la ED es coeficientes constantes

10 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Si una ED es lineal, entonces su operador L será lineal sin importar el tipo de coeficientes La solución general de está dada por Entonces, donde

11 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Para una ED de segundo orden tenemos: L Para una ED de tercer orden tenemos:

12 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Para una ED de orden n tenemos: L operador lineal de orden n

13 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Propiedades de operadores 1.La suma entre dos operadores diferenciales es conmutativa sin importar el tipo de coeficientes 2.La composición de operadores diferenciales de coeficientes constantes es conmutativa 3.La composición de operadores diferenciales de coeficientes variables NO es conmutativa

14 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ilustración de la propiedad 1 Considere los operadores de coeficientes variables: Obtenga L 1 + L 2 y L 2 + L 1 Solución: Considere los operadores de coeficientes constantes: Obtenga L 1 + L 2 y L 2 + L 1 Solución:

15 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Considere los operadores Obtenga (L 1 )(L 2 )[y] y (L 2 )(L 1 )[y] Ilustración de la propiedad 2 Solución:

16 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ilustración de la propiedad 3 Considere los operadores Obtenga (L 1 o L 2 )[y] y (L 2 o L 1 )[y] Solución: La composición de operadores también puede expresarse como

17 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Considere los operadores Obtenga (L 1 )(L 2 )[f(x)] donde f(x) = xe -x Ejercicio

18 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Resuelva la ED siguiente:

19 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Polinomio diferencial de una ED Considere la ED lineal de orden n: donde El polinomio diferencial de la ED es La ecuación característica (o auxiliar) de la ED es

20 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Los polinomios diferenciales de coeficientes constantes tienen las propiedades de un polinomio algebraico. Es decir, las propiedades de igualdad, adición y multiplicación se conservan. Ejemplo: Factorización e igualdad en polinomios diferenciales: Suma en polinomios diferenciales:


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