1. Ecuaciones diferenciales
2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales
Objetivo
El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones
diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos
y geométricos

2. Operadores diferenciales
Notación de operador
Operador diferencial
Propiedades de operadores
Polinomio diferencial
Función característica
Ecuación característica
Valores característicos de una ED

3. Operadores
Un operador es una función con una regla de correspondencia particular
que depende del problema en estudio.
Por ejemplo,
Operador suma
Operador raíz cuadrada
Operador integral
Operador derivada

4. Esquema de un operador + Entrada Proceso Salida Proceso Entrada Salida
Operador suma
Entrada
Proceso
Salida +
Operador derivada
Proceso
Entrada
Salida

5. Notación de operador para una ED (1) (2)
Considere la ED de primer orden
(1)
Escribiendo a las derivadas en términos del operador diferencial,
es posible rescribir la ecuación (1) como
(2)

6. Esquema de una ED Proceso Entrada Salida
Factorizando a la función desconocida, y(x) en (2), es posible escribir a (1) como
Operador diferencial
de primer orden, L
Función
incógnita
Excitación
(término no
homogéneo)
Esquema de una ED
Proceso
Entrada
Salida

7. Exprese la siguiente ED en términos de un operador diferencial
Escribiendo en términos del operador D:
Factorizando a y:
El operador diferencial de la ED es

8. Entonces es posible expresar la ED como sigue:
Donde L es el operador lineal de coeficientes variables:

9. Los operadores diferenciales pueden tener coeficientes variables (como en el caso anterior) o constantes como en la siguiente ED:
El operador diferencial lineal de la ED es
coeficientes
constantes

10. Si una ED es lineal, entonces su operador L
será lineal sin importar el tipo de coeficientes
La solución general de
está dada por
Entonces,
donde

11. L Para una ED de segundo orden tenemos:
Para una ED de tercer orden tenemos:

12. L operador lineal de orden n
Para una ED de orden n tenemos:
L operador lineal de orden n

13. Propiedades de operadores
La suma entre dos operadores diferenciales es conmutativa sin importar el tipo de coeficientes
La composición de operadores diferenciales de coeficientes constantes es conmutativa
La composición de operadores diferenciales de coeficientes variables NO es conmutativa

14. Ilustración de la propiedad 1
Considere los operadores de coeficientes variables:
Obtenga L1 + L2 y L2 + L1
Solución:
Considere los operadores de coeficientes constantes:
Obtenga L1 + L2 y L2 + L1
Solución:

15. Ilustración de la propiedad 2
Considere los operadores
Obtenga (L1)(L2)[y] y (L2)(L1)[y]
Solución:

16. Ilustración de la propiedad 3
Considere los operadores
Obtenga (L1 o L2)[y] y (L2 o L1)[y]
La composición de operadores también puede expresarse como
Solución:

17. Ejercicio Considere los operadores
Obtenga (L1)(L2)[f(x)] donde f(x) = xe-x

18. Resuelva la ED siguiente:

19. Polinomio diferencial de una ED
Considere la ED lineal de orden n:
donde
El polinomio diferencial de la ED es
La ecuación característica (o auxiliar) de la ED es

20. Los polinomios diferenciales de coeficientes constantes tienen las propiedades de un polinomio algebraico. Es decir, las propiedades de igualdad, adición y multiplicación se conservan.
Ejemplo:
Factorización e igualdad en polinomios diferenciales:
Suma en polinomios diferenciales: