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MÉTODO DE GAUSS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Tema 3.6 * 1º BCS.

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1 MÉTODO DE GAUSS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Tema 3.6 * 1º BCS

2 Repasemos… Una combinación lineal de varias ecuaciones es otra ecuación que resulta de multiplicarlas por números distintos de cero y sumarlas. Dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o varias de las siguientes operaciones: –S–Se multiplica una ecuación por un número. –S–Se cambia el orden de las ecuaciones. –S–Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de otras. –S–Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número.

3 Sea:a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”/a Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’/a Queda:a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g + e’.y + f’z = g’ Siendo e, f, g, e’.f’ y g’ números reales. MÉTODO DE GAUSS

4 Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Y obtengo finalmente: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h =0, j <> 0  S. INCOMPATIBLE La solución del sistema será: z = j / h y = ( g – f.z ) / e x = ( d – c.z – b.y ) / a, en ese orden. Este método sirve cualquiera que sea el número de incógnitas. … MÉTODO DE GAUSS

5 Sea: x - y + z = 1 - x + 2 y + z = 2 3.x – 2.y - z = 0 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + F1 Queda: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 y - 4.z = -3 F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 -6.z = -6 La solución del sistema será: z = -6 / -6 = 1 y = ( 3 – 2.1 ) / 1 = 1 x = ( 1 – 1.1 – (-1).1 ) / 1 = 1, en ese orden. EJEMPLO_1 DEL MÉTODO DE GAUSS

6 Sea: x - y + 2.z = x + 2 y + z = 2 3.x + 5.y - z = 2 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + 2.F1 Sea: x - y + 2.z = 4 5. z = 10 8.y - 7.z = - 10 Permuto la 2º y 3º fila Y obtengo finalmente: x - y + 2.z = 4 8.y - 7.z = z = 10 La solución del sistema será: z = 10 / 5 = 2 y = ( ) / 8 = 1 / 2 x = ( 4 – (1 / 2 ) ) / 1 = 1 / 2, en ese orden. EJEMPLO_2 DEL MÉTODO DE GAUSS

7 Sea:3x - 6y + 2.z = x + 2 y + z = 2 5.x + 5.y - z = 2 F1 = F1 : 3,, F2 = F2 : (-2),, F3 = F3 : 5 Queda: x - 2y + 2/3.z = 4/3 x - y - ½ z = - 1 x + y - 1/5 z = 2 /5 Muy importante: No olvidar dividir a TODOS los elementos de la fila F2 = F2 – F1,, F3 = F3 – F1 Y obtengo: x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 3y - 13/15 z = - 14 /15 F3 = F3 – 3xF2 x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 79/30 z = 91 /15 EJEMPLO_3 DEL MÉTODO DE GAUSS

8 El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1). Sea:a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Divido toda la primera fila (ecuación) entre a. Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a” Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’ Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Clave práctica del Método de Gauss


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