Presentation is loading. Please wait.

Presentation is loading. Please wait.

Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Similar presentations


Presentation on theme: "Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."— Presentation transcript:

1 Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2 Proses Stokastik  Suatu keluarga dari peubah acak {X(t) | t ∊ T}  T adalah indeks dari himpunan, yang bisa diskrit maupun kontinyu  T = {1, 2, 3, …} untuk t diskret dan T = {0,  } untuk t kontinyu  Contoh:  Waktu: menit, jam, hari, minggu  Jarak dari suatu titik 0 (origin)  Nilai-nilai yang mungkin untuk X(t) disebut states.  Diskrit atau kontinyu  State space (I): himpunan seluruh kemungkinan state  Contoh:  X(t): jumlah kelahiran di suatu tempat pada hari T = {1,2, } (dalam satu tahun)  X(t): jumlah kerusakan pada jalan tol dalam interval (0,t], t adalah jarak dari pintu tol dalam km.  Data deret waktu

3 Beberapa Proses Stokastik yang akan dipelajari Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Rantai Markov  Proses Poisson  Rantai Markov dalam waktu kontinyu  Proses kelahiran  Proses kematian  Proses kelahiran dan kematian  Proses Pembaharuan  Sistem Antrian

4 Review Peluang Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Dari percobaan dengan hasil yang tidak diketahui:  Ruang Sampel: Himpunan seluruh kejadian yang mungin  Kejadian: Himpunan bagian dari ruang sampel.  Peluang biasanya dinyatakan dalam pasangan berikut ( , , Pr) di mana  adalah ruang sampel  adalah seluruh kejadian yang mungkin di dalam ruang sampel dan Pr adalah peluang untuk setiap kejadian di dalam .  Untuk kejadian A dan B berlaku berikut ini:  Pr(  ) = 1  Pr(A)  0  Pr(A C ) = 1 – Pr(A)  Pr(A  B) = Pr(A) + Pr(B), if A  B = .

5 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Jika A dan B adalah kejadian di dalam  dengan Pr(B)  0, peluang A dengan syarat B adalah:

6 Peubah Acak Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel (hasil percobaan) menjadi bilangan real  Peubah acak adalah angka yang belum diketahui nilainya sebelum percobaan dilakukan  Diskrit vs. Kontinyu  Fungsi sebaran Kumulatif  Fungsi kepekatan peluang (kontinyu)  Fungsi massa (frekuensi) peluang (diskrit)  Fungsi peluang gabungan  Peluang bersyarat  Fungsi dari peubah acak  Fungsi pembangkit momen  Fungsi transformsi

7 Fungsi sebaran Kumulatif, Fungsi Kepekatan Peluang dan Fungsi Frekuensi Peluang Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Fungsi sebaran kumulatif peubah acak X :  F X (x) = F(x) = Pr(X  x).  Fungsi p(x i ) = p X (x i ) = a i untuk i = 1, 2, … fungsi massa peluang untuk peubah acak X.  Fungsi sebaran kumulatif:  Jika f(x) sebagai fungsi kepekatan peluang untuk peubah acak X: Fungsi sebaran kumulatif

8 Fungsi sebaran Kumulatif, Fungsi Kepekatan Peluang dan Fungsi Frekuensi Peluang Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Peluang kejadian di antara dua nilai dapat dinyatakan dalam bentuk sebaran kumulatif:  Bentuk tersebut dimanfaatkan untuk memperoleh bentuk berikut ini:

9 Momen dan Nilai Harapan Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Momen ke-m dari X peubah acak diskrit:  Momen ke-m dari X peubah acak kontinyu:  Momen ke-1 dari peubah acak X:  Nilai harapan X atau mean μ  Momen pusat ke-m dari peubah acak X:

10 Momen dan nilai harapan Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Momen central ke-1: nol  Momen central ke-2: ragam dari X  Nilai harapan dari suatu fungsi untuk peubah acak diskrit:  Nilai harapan dari suatu fungsi untuk peubah acak kontinyu:

11 Fungsi Peluang Gabungan Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Jika dalam suatu percobaan terdapat dua peubah acak yang diamati.  Fungsi sebaran bersama bagi X dan Y:  F XY (x,y) = P(X  x, Y  y)  Fungsi kepekatan marjinal:

12 Fungsi Peluang Gabungan Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Kebebasan dua peubah:  f XY (x,y) = f X (x) f Y (y)  Nilai harapan: E[X+Y] = E[X] + E[Y]  Cov(X,Y):   XY = E[(X -  X ) (Y -  Y )] = E[XY] -  X  Y.  X dan Y dikatakan tidak berkorelasi bila memiliki kovarian nol.  Koefisien korelasi  =  XY /  X  Y di mana -1    1.

13 Sebaran Peluang Bersyarat Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Fungsi peluang jika salah satu peubah menjadi syarat:  Dapat digunakan untuk menghitung peluang bersyarat:  Dengan hukum peluang total:

14 Jumlah dan Konvolusi Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Jika X dan Y adalah peubah acak yang bebas dengan fungsi sebaran masing – masing F X dan F Y maka fungsi sebaran penjumlahan Z = X + Y adalah konvolusi dari F X dan F Y  Diperoleh dengan memanfaatkan sifat peluang bersyarat:

15 Jumlah dan Konvolusi Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Dengan memanfaatkan hukum peluang total:

16 Jumlah dan Konvolusi Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Apabila X dan Y saling bebas, maka peluang bersyarat akan sama dengan peluang tanpa syarat.  Dengan definisi sebaran peluang kumulatif:

17 Jumlah dan Konvolusi Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Dengan hubungan antara fungsi sebaran kumulatif dan fungsi kepekatan peluang:  Untuk memperoleh kepekatan peluang, turunan pertama dari sebaran kumulatif:

18 Jumlah dan Konvolusi Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Untuk X dan Y yang non negatif, batas integrasi berubah:

19 Peubah sebagai Fungsi Dari Peubah Lain Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Jika X peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang f X dan Y adalah peubah acak yang merupakan fungsi dari X g(X) fungsi naik dan dapat diturunkan (differentiable)  Maka fungsi sebaran kumulatif bagi Y:

20 Peubah sebagai Fungsi Dari Peubah Lain Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc  Untuk menentukan fungsi kepekatan peluang:  Dari Kalkulus berlaku: Sehingga:


Download ppt "Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."

Similar presentations


Ads by Google