1. Primijenjena matematika Damir Krstinic damir.krstinic@fesb.hr

2. Diskretna statistička obilježja Neka je zadan niz statističkih podataka x 1,x 2,...,x n i neka su a 1,a 2,...,a r međusobno različite vrijednosti tog statističkog niza. Svaka od vrijednosti a 1,a 2,...,a r se u nizu pojavljuje s frekvencijom f 1,f 2,...,f r Ovako organizirani podaci lako se prikazuju tablično i grafički.

3. Relativne frekvencije Za različite vrijednosti a 1,a 2,...,a n s pripadnim frekvencijama f 1,f 2,...,f n, relativne frekvencije definiramo kao f 1 /n,f 2 /n,...,f n /n. Ukupan broj podataka u nizu jednak je

4. Aritmetička sredina i varijanca Aritmetičku sredinu niza definiramo sa Disprezija ili varijanca statističkog niza je Standardna devijacija statističkog niza je

5. Primjer 1 Broj glavica kupusa po beraču kupusa dan je nizom statističkih podataka: 3, 5, 3, 0, 3, 0, 5, 4, 6, 3, 4, 6, 3, 5, 3, 4, 1, 0, 3, 4, 5, 6, 3, 0, 3, 0, 4, 1, 2, 0, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 2, 1, 5 Tabličnim prikazom podataka olakšavamo računanje numeričkih karakteristika niza

6. Tablični prikaz akak fkfk akfkakfk ak2fkak2fk 0600 1444 251020 31648144 41248192 5840200 6530180  n=56180740

7. Proračuna parametara stat. niza Iz tablice računamo:

8. Proračun korištenjem Matlaba Podatke unosimo u Matlab. Za obradu podataka pišemo funkciju koja računa pripadne frekvencije za međusobno različite vrijednosti statističkog niza

9. a k, f k function [a,f]=af(x) x=sort(x); j=1; a(1)=x(1); f(1)=1; for k=2:size(x,2) if x(k)==x(k-1) f(j)=f(j)+1; else j=j+1; a(j)=x(k); f(j)=1; end

10. Parametri niza Nakon proračuna frekvencija, računamo parametre niza x=[3 5 3 0 3 0 5 4 6 3 4 6 3 5 3 4 1... 0 3 4 5 6 3 0 3 0 4 1 2 0 3 4 5 3... 3 2 3 4 5 6 4 3 2 4 2 1 3 4 5 6 4... 3 4 2 1 5 ]; [a,f]=af(x); n=sum(f) sv=a*f’/n d=(a.^2)*f’/N-sv^2 sd=sqrt(d)

11. Grafički prikaz Izračunate podatke moguće je grafički prikazati: plot(a,f)

12. Kontinuirana statistička obilježja Neka je zadan niz od n statističkih podataka x 1,...,x n kontinuiranog statističkog obilježja. Podatke svrstavamo u razrede [a 0,a 1 ),...,[a r-1,a r ] širina c, sa ritmetičkim sredinama razreda s 1,...,s n. Ako frekvencije razreda označimo redom sa f 1,..,f n, a pripadne relativne frekvencije sa r 1,...r n, podatke možemo pregledno prikazati

13. Primjer 2 Mjerena je težina glavica kupusa, pri čemu su dobiveni sljedeći podaci: 5.22, 3.03, 2.81, 4.23, 2.67, 1.90, 3.97, 5.65, 5.44, 4.57, 3.89, 3.60, 3.85, 2.52, 2.14, 3.97, 4.98, 2.70, 2.09, 4.22, 2.54, 5.06, 4.33, 2.94, 3.47, 4.24, 3.59, 2.83, 4.58, 3.15 Podatke organiziramo u r=5 razreda i računamo numeričke karakteristike niza

14. Parametri niza Uočavamo da je najmanja vrijednost u nizu 1.90, a najveća 5.65 Kako imamo 5 razreda, njihova širina je c=(5.65-1.90)/5=0.75

15. Računanje korištenjem Matlaba Definiramo funkciju sfc(x,r) koja podatke svrstava u zadani broj razreda x=[5.22 3.03 2.81 4.23 2.67 1.90 3.97 5.65... 5.44 4.57 3.89 3.60 3.85 2.52 2.14 3.97... 4.98 2.70 2.09 4.22 2.54 5.06 4.33 2.94... 3.47 4.24 3.59 2.83 4.58 3.15]; [s,f,c] = sfc(x,5); n=sum(f) sv=s*f’/n d=(s.^2)*f’/n-sv^2 sd=sqrt(d)

16. Grafički prikaz Podatke prikazujemo grafički plot(s,f) bar(s,f)

17. Binomna razdioba Za binomnu razdiobu s parametrima karakteristično je da su vrijednosti a k -ova 0,1,...,n. Ako je X slučajna varijabla distribuirana po binomnoj razdiobi, onda je vjerojatnost da ona poprimi određenu vrijednost k (k=0,1,2,...,n):

18. Primjer 3 Rezultati natjecanja u ispijanju piva dani su u tablici. Zbog sigurnosti natjecatelja, maksimalan broj ispijenih piva ograničen je na 10. Rezultate prilagodite binomnoj razdiobi. Broj piva a k =k Pripadne frekvencije f k 02 13 25 315 418 510 611 74 83

19. Rešenje: a=0:8 f=[2 3 5 15 18 10 11 4 3] N=sum(f) n=10 sv=a*f’/N p=sv/n ft=round(N*binomna(n,p,a))

20. Poissonova razdioba Kod Poissonove razdiobe, vrijednosti ak su svi prirodni brojevi i nula. Ako je X slučajna varijabla distribuirana po Poissonovoj razdiobi s parametrom >0  sv), onda je vjerojatnost da ona poprimi vrijednost k dana sa:

21. Primjer 4 Skupina iračkih gerilaca natječe se u gađanju Američkih vojnika. Rezltate natjecanja u broju pogođenih Amerikanaca, dane u tablici, prilagodi Poissonovoj razdiobi. a k =k 012345678910111213 fkfk 361011502213122361518832146311

22. Rješenje a=0:13 f=[36 101 150 221 312 236 151 88 32 14 6 3 1 1] N=sum(f) sv=a*f '/N ft=round(N*poisson(sv,a)) Rezultat: ft = 23 93 190 259 264 215 146 85 43 20 8 3 1 0

23. Grafički prikaz rezultata plot(a,f,a,ft,’--’)

24. Normalna razdioba Kod normalne razdiobe podaci mogu poprimiti bilo koju realnu vrijednost. Ako je X slučajna varijabla distribuirana po normaalnoj razdiobi s parametrima  i  , onda je njeno očekivanje EX= , a disperzija (varijanca) DX=VarX=  

25. Primjer 5 Mjerenjem pogreške serije dubinomjera, ustanovljeno je da greška varira između –2 i 0.5m. Podatke grupirane u 5 razreda, dane u tablici, prilagodi normalnoj razdiobi. razredi frekvencije f k -2, -1.55 -1.5, -110 -1, -0.520 -0.5, 08 0, 0.53

26. Rješenje – parametri razdiobe c=0.5 dg=-2:c:0 gg=dg+c f=[5 10 20 8 3] s=(dg+gg)/2 N=sum(f) sv=s*f’/N d=(s.^2)*f’/N-sv^2 sd=sqrt(d)

27. Teorijske frekvencije Aritmetičku sredinu sv interpretiramo kao očekivanje , a sd kao standardnu devijaciju . Teorijske frekvencije računaju se prema:

28. Računanje teoretskih frekvencija Jednorenu matricu (vektor) teoretskih frekvencija u matlabu računamo naredbom: ft=N*c/sd/sqrt(2*pi)*exp(-((s-sv)/sd).^2 /2) ft=round(ft)