Presentation is loading. Please wait.

Presentation is loading. Please wait.

SEBARAN PELUANG BERSAMA. Peubah Acak Yang Menyebar Bersama Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X.

Similar presentations


Presentation on theme: "SEBARAN PELUANG BERSAMA. Peubah Acak Yang Menyebar Bersama Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X."— Presentation transcript:

1 SEBARAN PELUANG BERSAMA

2 Peubah Acak Yang Menyebar Bersama Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X dan Y adalah p(x,y) = P(X=x, Y=y) Yang terdefinisi untuk semua bilangan nyata x dan y. Fungsi dari p(x,y) dinamakan fungsi peluang bersama.

3 Sifat fungsi peluang bersama p(x,y) 1. p(x,y) ≥ 0 2.

4 Contoh 1 Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)

5  Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0)  f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putih  Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220  Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10  f(0,0) adalah 10/220

6  Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1  Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut  Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3 p(x,y) x Total Baris 0123 y 010/22030/22015/2201/22056/220 140/22060/22012/220 112/220 230/22018/220 48/220 34/220 Total Kolom84/220108/22027/2201/2201

7 Definisi Untuk dua peubah acak X dan Y, fungsi sebaran peluang kumulatif bersama dari X dan Y adalah F(a,b) = P{X  a,Y  b} Untuk dua peubah acak diskret X dan Y, F(a,b) memiliki bentuk F(a,b) =

8 Definisi  Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang kontinu dengan fungsi sebaran bersama F(a,b). Jika terdapat fungsi nonnegatif f(x,y) sedemikian hingga  untuk semua bilangan nyata a dan b, maka X dan Y dikatakan peubah acak kontinu yang menyebar bersama.  Fungsi f(x,y) dinamakan fungsi kepekatan peluang bersama.

9 Contoh  Fungsi kepekatan bersama X dan Y adalah Hitunga. P(X>1,Y<1) b. P(X { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.com/3642676/12/slides/slide_8.jpg", "name": "Contoh  Fungsi kepekatan bersama X dan Y adalah Hitunga. P(X>1,Y<1) b. P(X1,Y<1) b. P(X

10 Jawab. a. P(X>1,Y<1) = = b. P(X { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.com/3642676/12/slides/slide_9.jpg", "name": "Jawab. a. P(X>1,Y<1) = = b. P(X1,Y<1) = = b. P(X

11 c. P(X { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.com/3642676/12/slides/slide_10.jpg", "name": "c. P(X

12 Sifat dari Fungsi Sebaran Bersama F(a,b)  F(- , -  ) = F(- , y) = F(x, -  ) = 0  F( ,  ) = 1  Jika a 2 ≥ a 1 dan b 2 ≥ b 1, maka F(a 2,b 2 )+F(a 1,b 1 )- F(a 1,b 2 )-F(a 2,b 1 ) ≥ 0

13 Sifat dari fungsi kepekatan bersama 1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua x, y 2.

14 Contoh Suatu restoran keluarga melayani dua jenis layanan, yaitu layanan makan di tempat dan layanan drive thru. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, misalkan X adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang makan di tempat dan Y adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang memanfaatkan layanan drive thru. Bila fungsi kepekatan bersama dari (X,Y) adalah

15 1. Buktikan bahwa f(x,y) adalah fungsi kepekatan peluang yang sah 2. Berapa peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran ?

16 Jawab a. =

17 Peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran adalah ====

18 Sebaran Peluang Marginal dan Sebaran Peluang Bersyarat  Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret yang menyebar bersama dengan fungsi peluang p(x,y), maka fungsi peluang marginal dari X dan Y adalah dan

19  Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y), maka fungsi kepekatan marginal dari X dan Y adalah  dan

20 Contoh Misalkan Carilah fungsi kepekatan marginal X dan Y. Jawab Fungsi kepekatan marginal X adalah = 2x(1) – 2x(0) = 2x,0  x  1

21 Sedangkan fungsi kepekatan marginal Y adalah

22 Fungsi peluang diskret bersyarat X jika diketahui Y P(x|y)=P(X=x|Y=y)= dengan syarat p y (y)>0

23 Contoh Dari Sebaran bersama berikut a. P(X=0|Y=1) b. P(X=1|Y=1) c. P(X≥2|Y=1) p(x,y) x Total Baris 0123 y 010/22030/22015/2201/22056/220 140/22060/22012/220 112/220 230/22018/220 48/220 34/220 Total Kolom84/220108/22027/2201/2201

24 Jawab a. P(X=0|Y=1) = P(Y=1) = p Y (1) = = p(0,1) + p(1,1) + p(2,1) + p(3,1) = Sehingga P(X=0|Y=1) =

25 b. P(X=1|Y=1) = c. P(X≥2|Y=1) = =

26 Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan fungsi kepekatan marginal f x (x) dan f y (y), maka fungsi kepektan bersyarat X jika diketahui Y=y adalah

27  Dan fungsi kepekatan bersyarat Y jika diketahui X=x adalah

28 Contoh Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya supply pada mesin soft drink di awal suatu hari dan X adalah banyaknya soft drink yang terjual selama hari tersebut (dengan ukuran galon). Bila X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama sebagai berikut a. Tentukan fungsi kepekatan bersyarat X jika diketahui Y=y b. Hitunglah peluang soft drink yang terjual adalah kurang dari ½ gallon jika mesin tersebut berisi 1 galon di awal hari

29 Jawab a.

30 b. P(X  1/2|Y=1) =

31 Peubah Acak yang Bebas (Independent) Definisi Misalkan X mempunyai fungsi sebaran F x (x), Y mempunyai fungsi sebaran F y (y), dan X dan Ymemiliki fungsi sebaran bersama F(x,y), maka X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika F(x,y) = F x (x). F y (y) untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y) Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang marginal p x (x) dan p y (y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika p(x,y) = p x (x)p y (y) untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y) Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan kepekatan marginal f x (x) dan f y (y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika f(x,y) = f x (x)f y (y) untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

32 Contoh p(x,y) x Total Baris 0123 y 010/22030/22015/2201/22056/220 140/22060/22012/220 112/220 230/22018/220 48/220 34/220 Total Kolom84/220108/22027/2201/2201 Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut: Apakah X dan Y bebas? Jawab. Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan p(0,0) adalah 10/220, sedangkan p X (0) = 84/220 dan p Y (0) = 56/220 sehingga p(0,0)  p X (0).p Y (0)  X dan Y tidak bebas

33 Contoh Apakah X dan Y bebas jika X dan Y memiliki sebaran bersama berikut? Jawab. Kita dapatkan sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa X dan Y tidak bebas

34 Theorema Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama f(x,y), yang positif jika dan hanya jika a  x  b, c  y  d, untuk konstanta a, b,c, dan d dan f(x,y) = 0 selainnya, maka X dan Y adalah peubah acak yang bebas jika dan hanya jika f(x,y) = g(x) h(y) dimana g(x) adalah fungsi nonnegatif dari x dan h(y) adalah fungsi nonnegatif dari y

35 Contoh a. Misalkan X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama Apakah X dan Y bebas Jawab f(x,y) positif jika dan hanya jika dan f(x,y) = g(x) h(y) di mana g(x) = 2x dan h(y)=1 Sehingga X dan Y adalah peubah acak yang bebas

36  Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama Apakah X dan Y bebas Jawab fungsi kepekatan bersama positif jika dan hanya jika, tidak ada konstanta a, b, c, dan d sedemikian hingga fungsi kepekatan positif pada selang a  x  b, c  y  d

37 Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan. Bila kita cek ternyata X dan Y adalah peubah acak yang tidak bebas karena fungsi kepekatan bersamanya tidak sama dengan perkalian fungsi marginal X dan fungsi kepekatan marginal Y.


Download ppt "SEBARAN PELUANG BERSAMA. Peubah Acak Yang Menyebar Bersama Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X."

Similar presentations


Ads by Google