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机电耦合系数 electro-mechanical coupling factor  一般情况下的压电方程组  机电耦合因子.

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1 wangcl@sdu.edu.cn1 机电耦合系数 electro-mechanical coupling factor  一般情况下的压电方程组  机电耦合因子

2 wangcl@sdu.edu.cn2 一般情况下的压电方程组 在上节中以 z 切割的钛酸钡晶片为例,分 别讨论了压电方程组以及各常数之间的 关系。下面将进一步给出一般情况下的 压电方程组以及各常数之间的关系。虽 然一般情况下的压电方程组比较复杂, 但是处理方法以及各常数之间的关系, 基本上与节中一致。所以这里只给出结 果,不作详细地重复讨论。

3 wangcl@sdu.edu.cn3 第一类压电方程组( X j , E n )

4 wangcl@sdu.edu.cn4 第二类压电方程组( x i , E n )

5 wangcl@sdu.edu.cn5 第三类压电方程组( X j , D m )

6 wangcl@sdu.edu.cn6 第四类压电方程组( x i , D m )

7 wangcl@sdu.edu.cn7 ( 1 )表中 i 、 j=1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 , m 、 n=1 、 2 、 3 ; ( 2 )表中 d t 矩阵是 d 矩阵的转置矩阵, e t 、 g t 和 h t 是 e 、 g 和 h 的转置矩阵。 ( 3 )表中短路弹性柔顺常数 s E ij =(  x i /  X j ) E 为 短路时由于应力分量 X j 变化引起应变分 量 x i 的变化与应力分量 X j 的变化之比。

8 wangcl@sdu.edu.cn8 压电常数 d ni =(  x i /  E n ) X =(  D n /  X i ) E 为机械自 由时由于电场分量 E n 变化引起应变分量 x i 的 变化与电场分量 E n 的变化之比;或者短路时, 由于应力分量 X i 变化引起电位移分量 D n 的变 化与应力分量 X i 的变化之比。介电常数  X mn =(  D m /  E n ) X 为机械自由时,由于电场分 量 E n 变化引起电位移分量 D n 的变化与电场分 量 E n 的变化之比。其它常数与此类似。

9 wangcl@sdu.edu.cn9 压电方程组中各常数之间的关系 介电常数与压电常数 之间的关系

10 wangcl@sdu.edu.cn10 压电方程组中各常数之间的关系 弹性常数与压电 常数之间的关系

11 wangcl@sdu.edu.cn11 各类压电常数之间的关系

12 wangcl@sdu.edu.cn12 举例说明 : 第一类压电方程组分量表达式

13 wangcl@sdu.edu.cn13 可见压电方程组共包括九个方程式, 前六个称为弹性方程, 后三个称为介电方程。 每个方程又包括九项,前六项与应力 有关,后三项与电场强度有关。

14 wangcl@sdu.edu.cn14 第一类压电方程组的矩阵形式为: 弹性方程部分

15 wangcl@sdu.edu.cn15 第一类压电方程组的矩阵形式为: 介电方程部分

16 wangcl@sdu.edu.cn16 可见 d t 矩阵为六行三列, d 矩阵三行六列。 d t 是 d 的转置矩阵(或称易位矩阵)。 d 矩阵的行与列 互换就成为 d t 矩阵。其余三类压电方程组的情况 与( 4-27 )、( 4-28 )和( 4-29 )式类似,这里 不再一一列出。在压电晶体中,除去属于三斜晶 系的压电晶体外,其它晶系的对称性较高,独立 的弹性常数、介电常数和压电常数随着对称性程 度增高而相应减少,压电方程组也相对应简化。

17 wangcl@sdu.edu.cn17 几种典型晶体的压电方程组 实用化晶体: 石英 : 属 32 点群 钛酸钡 : 属 4mm 点群 铌酸锂和钽酸锂 : 属 3m 点群 压电陶瓷 : 可用  m 表示,与 6mm 点群相 同

18 wangcl@sdu.edu.cn18 钛酸钡晶体的第一类方程组

19 wangcl@sdu.edu.cn19 分量形式为

20 wangcl@sdu.edu.cn20 铌酸锂和钽酸锂的第一类方程组

21 wangcl@sdu.edu.cn21 分量形式为

22 wangcl@sdu.edu.cn22 压电陶瓷的第一类方程组

23 wangcl@sdu.edu.cn23 写成为分量为

24 wangcl@sdu.edu.cn24 几点注意 在这里,这四类压电方程组是作为根据 实验结果而得到的,但是从热力学理论也可 以严格地导出这四类压电方程组。 在本章中讨论这四类压电方程组时,并 没有考虑压电晶体与工作环境(例如空气) 交换热量问题。因为压电体工作时机械能与 电能之间转换过程是很快的,所以可以近似 认为转换过程中与工作环境无热量交换。就 是说压电方程组是在绝热过程中建立的。

25 wangcl@sdu.edu.cn25 关于单位问题。 压电方程组中各物理量的单位,在实际应用中, 常用 MKS 单位制,因此这里中也采用 MKS 单 位制。参考资料中也有采用 CGS 单位制的。为 了便于换算,在表 4-6 中给出了 MKS 单位制与 CGS 单位制之间的换算因子。

26 wangcl@sdu.edu.cn26 压电方程组是分析讨论压电元件性能的根据, 在大多数情况下,是从第一类压电方程组出发, 其次是第三类方程组。至于第二类和第四类压 电方程组,往往只在某一个方向的应变分量远 大于其它应变分量的情况下,才被选用(例如, 在细长杆压电元件以及利用厚度振动模的压电 元件中,有时就选用第二类和第四类压电方程 组)。

27 wangcl@sdu.edu.cn27 机电耦合系数 前面已经引入了介电常数、弹性常数和压 电常数来描写材料的压电性质,但是在实 际应用上,还使用另一个衡量元件压电性 质好坏的重要物理量 — 机电耦合系数(也 称压电耦合因子)。例如,压电滤波器的 频率宽度、压电变压器的升压比等等都直 接与机电耦合系数有关。 Electro-mechanical coupling factor

28 wangcl@sdu.edu.cn28 所谓 “ 机电耦合系数 ” 就是指压电材料中与压电效应 相联系的相互作用强度(也称压电能密度)与弹性 能密度和介电能密度的几何平均值之比。用数学式 表示为 : ( 4-37 ) 机电耦合系数

29 wangcl@sdu.edu.cn29 式中 k 代表机电耦合系数, U I 为相互作用能密度, U M 为弹性能密度, U E 为介电能密度, 为弹性能密度和介电能密 度的几何平均值。

30 wangcl@sdu.edu.cn30 因为压电常数、弹性常数、介电常数和机电 耦合系数都是描写材料压电性能的物理量, 因此机电耦合系数与这些常数之间存在一定 的关系。这个关系可通过压电材料的内能以 及机电耦合系数的定义( 4-37 )式而导出。

31 wangcl@sdu.edu.cn31 压电晶体的内能与应力、应变、电位移和电场强 度之间的一般关系为 : 式中 U 为压电晶体的内能。 ( 4-38 )

32 wangcl@sdu.edu.cn32 如果要得到某个压电晶体的内能表达式,将该晶 体的压电方程组代入到内能表达式( 4-38 )后, 即可得到体系的内能 U 。实际上常用的压电元件都 是采用沿晶体的某个方向切下的晶片,例如薄长 条片、薄圆片或细长杆等都具有较简单的形状, 这样的压电元件的内能表示式也比较简单。

33 wangcl@sdu.edu.cn33 求出内能表示式后,再代入到机电耦合系数表达 式( 4-37 ),即得到相应的机电耦合系数 k 。 举例如下: 薄长条片的机电耦合系数 ; 细长杆的机电耦合系数 ; 平面机电耦合系数 ; 厚度切变机电耦合系数 ;

34 wangcl@sdu.edu.cn34 薄长条片的机电耦合系数 设为 z 切割晶片,如图 4-17 所示,若晶片受到沿 x 方向的应力 X 1 与沿 z 方向的电场强度 E 3 的作用, 其它 X 2 、 X 3 、 X 4 、 X 5 、 X 6 、 E 1 、 E 2 皆等于零,在 此情况下,晶片的内能表示式为:

35 wangcl@sdu.edu.cn35 图 4-17 薄长条片压电晶片示意图

36 wangcl@sdu.edu.cn36 选 X 、 E 为自变量,则晶体的第一类压电方程组为,

37 wangcl@sdu.edu.cn37 式中: s E 11 X 1 2 /2 为晶片的弹性能密度 U M ;  X 33 E 3 2 /2 为晶片的介电能密度 U E ; d 31 E 3 X 1 /2 为与 压电效应有关的相互作用能密度 U I 。 将上式代入( 4-39 )式得到晶片的内能表示式为:

38 wangcl@sdu.edu.cn38 将这些结果代入到( 4-37 )式即得晶片的机电耦合 系数 k 为: 即: 与元件的形状有关!

39 wangcl@sdu.edu.cn39 式中机电耦合系数 k 31 的前一个下标代表电场的方 向是沿 z 轴方向,后一个下足标代表晶片是 x 方向 的伸缩振动。从( 4-40 )式可以看出长条晶片的 机电耦合系数 k 31 与压电常数 d 31 成正比;与短路弹 性柔顺常数 s E 11 和自由介电常数  X 33 的乘积的平方 根成反比 。

40 wangcl@sdu.edu.cn40 k 31 的数值举例 钛酸钡晶片: d 31 =-34.5  10 -12 库仑 / 牛顿 s E 11 =8.05  10 -12 米 2 / 牛顿  X 33 =168  8.85  10 -12 法拉 / 米 故有: k 31 =0.317

41 wangcl@sdu.edu.cn41 k 31 的数值举例 PZT-4 压电陶瓷 d 31 =-123  10 -12 库仑 / 牛顿 s E 11 =12.3  10 -12 米 2 / 牛顿  X 33 =1300  8.85  10 -12 法拉 / 米 故有: k 31 =0.327

42 wangcl@sdu.edu.cn42 钛酸钡陶瓷 d 31 =-78  10 -12 库仑 / 牛顿 s E 11 =9.1  10 -12 米 2 / 牛顿  X 33 =1700  8.85  10 -12 法拉 / 米 故有: k 31 =0.212 计算时已将 d 31 中的负号省去

43 wangcl@sdu.edu.cn43 细长杆的机电耦合系数 设细长杆的长度方向与 z 轴平行,电极面与 z 轴 垂直。若杆只受到沿 z 轴方向的应力 X 3 以及电场 E 3 的作用,在此情况下,杆的内能表示式为:

44 wangcl@sdu.edu.cn44 图 4-18 细长杆压电振子示意图 选 T 、 E 为自变量,杆的第一 类压电方程组为

45 wangcl@sdu.edu.cn45 代入到( 4-41 )式得到杆的内能为: 故得:

46 wangcl@sdu.edu.cn46 可见电场与形变都沿 z 方向的细长杆的机电耦合 系数与 d 33 成正比,与 s E 33  X 33 的根方成反比。 再代入到( 4-37 )式,即得细长杆的机电耦合系 数为,

47 wangcl@sdu.edu.cn47 k 33 的数值举例 钛酸钡晶片: d 33 =86.5  10 -12 库仑 / 牛顿 s E 33 =15.7  10 -12 米 2 / 牛顿  X 33 =168  8.85  10 -12 法拉 / 米 故得: k 33 =0.565

48 wangcl@sdu.edu.cn48 PZT-4 压电陶瓷 d 33 =289  10 -12 库仑 / 牛顿 s E 33 =15.5  10 -12 米 2 / 牛顿  X 33 =1300  8.85  10 -12 法拉 / 米 故得: k 33 =0.70

49 wangcl@sdu.edu.cn49 钛酸钡陶瓷 d 33 =190  10 -12 库仑 / 牛顿 s E 33 =9.51  10 -12 米 2 / 牛顿  X 33 =1700  8.85  10 -12 法拉 / 米 故得: k 33 =0.50

50 wangcl@sdu.edu.cn50 平面机电耦合系数 设所研究的晶片为 z 切割的薄圆片,并有 s E 11 =s E 22 , d 31 =d 32 ,电极面与 z 轴垂直,晶片只 受到应力 X 1 与 X 2 以及电场 E 3 的作用。在此情况下, 选 X 、 E 为自变量,则第一类压电方程组为:

51 wangcl@sdu.edu.cn51 图 4-19 薄圆片压电振子示意图

52 wangcl@sdu.edu.cn52 考虑到薄圆片存在 s E 11 =s E 22 , d 31 =d 32 等对称性, 因而有 X 1 =X 2 =X p ,并引入平面应变 x p =x 1 +x 2 , 平面压电常数 d p =2d 31 ,平面弹性柔顺常数 s E p =2 ( s E 11 +s E 22 ),利用这些关系,压电方 程组可简化为:

53 wangcl@sdu.edu.cn53 即: X 1 =X 2 =X p , x p =x 1 +x 2 , d p =2d 31 , s E p =2 ( s E 11 +s E 22 )

54 wangcl@sdu.edu.cn54 又薄片的内能表示式为: 即:

55 wangcl@sdu.edu.cn55 将( 4-43 )式代入( 4-44 )式可得 式中:

56 wangcl@sdu.edu.cn56 再代入到( 4-37 )式,即得薄圆片的机电耦合系 数为:

57 wangcl@sdu.edu.cn57 式中 k p 称为平面机电耦合系数,  =-s E 12 /s E 11 称为 泊松比,可见平面机电耦合系数 k p > k 31 。应该注 意,因为导出( 4-45 )式时曾用到 s E 11 =s E 22 , d 31 =d 32 等对称性关系,所以( 4-45 )式规定的平 面机电耦合系数适用范围为:属于四方晶系中的 4 、 4mm 点群,三方晶系中的 3 、 3m 点群,六方 晶系中的 6 、 6mm 点群等晶体以及压电陶瓷。

58 wangcl@sdu.edu.cn58 k p 的数值举例 钛酸钡晶体的 k p 值:  =-s E 12 /s E 11 =2.35  10 -12 /8.08  10 -12 = 0.292 k 31 =0.317 故得: k p =0.529

59 wangcl@sdu.edu.cn59 PZT-4 压电陶瓷的 k p 值:  =4.05  10 -12 /12.3  10 -12 =0.33 k 31 =0.327 故: k p =0.562

60 wangcl@sdu.edu.cn60 钛酸钡陶瓷的 k p 值  =2.7  10 -12 /9.1  10 -12 =0.296 k 31 =0.212 故有: k p =0.358

61 wangcl@sdu.edu.cn61 厚度切变机电耦合系数 设有压电常数 d 15  0 的 x 切割的晶片,电极面 与 x 轴垂直,若此晶片只受到切应力 X 5 以及 电场强度 E 1 的作用。在此情况下选 X 5 、 E 1 为 自变量,第一类压电方程组为:

62 wangcl@sdu.edu.cn62 厚度切变压电振子示意图 图 4-20

63 wangcl@sdu.edu.cn63 晶片内能为 :

64 wangcl@sdu.edu.cn64 代入到( 4-37 )式,即得晶片的机电耦合系 数为 :

65 wangcl@sdu.edu.cn65 对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的晶体, 具有 d 15  0 的压电晶体以及压电陶瓷( z 轴为极 化轴)都存在 s E 55 =s E 44 ,故( 4-46 )式可改写 为

66 wangcl@sdu.edu.cn66 对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的大多 数晶体以及压电陶瓷,除了 s E 55 =s E 44 外,还存 在 d 14 =d 15 关系。于是可得到切变机电耦合系数 k 14 为:

67 wangcl@sdu.edu.cn67 可见切变机电耦合系数 k 15 和 k 14 与 d 15 成正比, 与 s E 55  X 11 平方跟成反比。 k 15 和 k 14 的数值举例,钛酸钡晶体: d 15 =392  10 -12 库仑 / 牛顿 s E 55 =18.4  10 -12 米 2 / 牛顿  X 11 =2920  8.85  10 -12 法拉 / 米 故得 k 15 = k 14 =0.568

68 wangcl@sdu.edu.cn68 小结  一般情况下的四类压电方程组,矩阵形 式和分量形式,参量之间的关系;  机电耦合因子:定义,如何求得;薄长 条片的机电耦合系数,细长杆的机电耦 合系数,平面机电耦合系数,厚度切变 机电耦合系数。


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