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CAP-223 Grafos Muitos problemas formulados em objetos e conexões entre eles  Mapa com rotas aéreas  maneira mais rápida de x para y  maneira mais barata.

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2 CAP-223 Grafos Muitos problemas formulados em objetos e conexões entre eles  Mapa com rotas aéreas  maneira mais rápida de x para y  maneira mais barata de x para y interconexões (rotas aéreas) entre objetos (cidades)  Sequenciar tarefas (job scheduling)  objetos são tarefas a serem executadas  interconexões indicam seqüência das tarefas

3 CAP-223 Grafos (cont.) História Euler (1736) - pontes de Königsberg Baseado na disposição das pontes, mostrou que era impossível percorrer por todas passando somente uma vez

4 CAP-223 Grafos (cont.) Kirchoff (1847) - estudo das árvores para problemas de circuitos elétricos Hamilton (1859) - problemas de caminho Jordan (1869) - procura formalizar teoria de árvores Século XX - desenvolveu rapidamente Ford e Fulkerson (1962) - aplicação na teoria de fluxos de rede Apesar das tendências em considerar o estudo de fluxo em rede, muitos outros problemas podem ser resolvidos através da teoria dos grafos

5 CAP-223 Grafos (cont.) Grafo é um objeto matemático que consegue modelar tais situações Grafo VérticesArestas Objetos com nome e outras propriedades Conexão entre dois vértices

6 CAP-223 Grafos (cont.) Matematicamente, um grafo G = (V, E) V é um conjunto de vértices E é um conjunto de arestas (edges) onde cada aresta é um par de vértices Exemplo: (v, w) Um grafo é representado graficamente usando pequenos círculos para vértices e retas ou curvas para arestas

7 CAP-223 V =  a, b, c, d, e, f  E =  (a, b), (b, c), (b, e), (c, e), (c, d), (d, f)  (a, b) é uma aresta entre vértice a e vértice b Arestas do tipo (a, a) não são permitidas ORDEM A cardinalidade ou ORDEM é igual à quantidade de seus elementos.C(V) = 6 direcionadonão direcionado Um grafo pode ser direcionado ou não direcionado digrafo Um grafo é dito direcionado, ou também chamado de digrafo, quando o sentido das ligações entre os vértices é importante Grafos (cont.)

8 CAP-223 Grafos (cont.) A F BCG D E Caminho de vértice x a vértice y vértice y é uma lista de vértices na qual sucessivos vértices estão conectados por arestas no grafo {(B,A), (A,F), (F,E), (E,G)} conectado Grafo é conectado se  um caminho de cada vértice para qualquer outro vértice Caminho simples Caminho simples é um caminho no qual nenhum vértice é repetido (B - A - F - E - G) Ciclo Ciclo é um caminho simples com exceção de que o primeiro e o último vértices são os mesmos (A - F - E - G - A) Circuito Circuito é um ciclo onde pode haver repetição de vértices no caminho (A - C - A - G - E - D - F - A)

9 CAP-223 Grafos (cont.) Adjacência de dois vértices v e w ocorre quando  uma aresta (v, w) entre v e w Vértices Maria e Pedro são adjacentes Esta aresta é dita incidente a ambos os vértices Grafo direcionado Adjacência Sucessor - w é sucessor de v se aresta sai de v e chega em w Exemplo: Emerson e Antonio são sucessores de Alfredo Adjacência Antecessor - w é antecessor de v se aresta sai de w e chega em v Exemplo: Alfredo e Cecília são antecessores de Antonio

10 CAP-223 Grafos (cont.) Grau de um vértice está relacionado com a incidência das arestas Grau (Pedro) = 3 Grau (Maria) = 2 Grau de Emissão/Recepção Grau Emissão (Alfredo) = 2 Grau Emissão (Cecília) = 1 Grau Emissão (Renata) = 0 Grau Recepção (Antonio) = 2 Grau Recepção (Renata) = 1 Grau Recepção (Alfredo) = 0

11 CAP-223 Grafos (cont.) fonte Vértice v é fonte se Grau Recepção (v) = 0 Exemplo: Isadora, Alfredo e Cecília sumidouro Vértice v é sumidouro se Grau Emissão (v) = 0 Exemplo: Emerson e Renata regular Um grafo é regular se todos os seus vértices tem o mesmo grau Grafo regular-3 Todos os seus vértices tem grau = 3

12 CAP-223 Grafos (cont.) subgrafo Um subgrafo G’ = (V’, E’) de um grafo G = (V, E) é um grafo tal que V’  V e E’  E. O subgrafo é sempre obtido pela supressão de pelo menos um vértice e suas respectivas arestas incidentes

13 CAP-223 Grafos (cont.) Um subgrafo G 1 (V 1, E 1 ) de um grafo subgrafo gerador G (V, E) é um subgrafo gerador (de G (V, E) se V = V 1 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4

14 CAP-223 Grafos (cont.) Quando o subgrafo gerador é uma árvore árvore geradora ela é chamada de árvore geradora (spanning tree) [remover arestas até eliminar os ciclos, mas mantendo a conexidade] 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4

15 CAP-223 Grafos (cont.) conexo Grafo G (V, E) é conexo quando existe caminho entre cada par de vértices de G. desconexo Caso contrário é desconexo.

16 CAP-223 Grafos (cont.) G (V, E) é um grafo conexo Cada aresta e = (v,w) possui um peso d(e) Peso Peso de uma árvore geradora T (V, E T ) é a soma dos pesos das arestas de G que formam T. Árvore geradora máxima Árvore geradora máxima (Maximum Spanning Tree) Árvore geradora mínima Árvore geradora mínima (Minimum Spanning Tree)

17 CAP-223 Grafos (cont.) parcial Grafo parcial é um grafo onde os vértices são iguais mas as arestas não são.

18 CAP-223 Grafos (cont.) complementar Grafo complementar de G possui a mesma ordem (cardinalidade) de G mas as arestas não existentes em G G

19 CAP-223 Grafos - Aplicações Verificação de existência de funções inúteis

20 CAP-223 Grafos - Aplicações (cont.) Problema do caixeiro viajante Área de venda de um caixeiro viajante com várias cidades Muitas conectadas (aos pares) por rodovias Necessidade de visitar cada cidade Como estabelecer uma viagem circular (volta ao ponto de partida) de tal forma que cada cidade é visitada somente uma vez?

21 CAP-223 Grafos - Aplicações (cont.) Problema da Coleta de Correspondência ECT mantém vários pontos de coleta O motorista tem que coletar passando por todos os postos Como modelar o problema? Como encontrar a melhor rota?

22 CAP-223 Grafos - Aplicações (cont.) Problema do caminho do custo mínimo Transporte de carga - selecionar caminho de menor custo entre quaisquer duas cidades

23 CAP-223 Grafos - Aplicações (cont.) Problema dos dissidentes políticos Prisioneiros divididos em celas. Para escapar precisa explodir os portões. Destruir o menor número de portões e garantindo que todos escapem. Quantos portões devem ser explodidos?

24 CAP-223 Grafos - Aplicações (cont.) Problema da RNP (Rede Nacional de Pesquisa) Rede de computadores que interliga grande número de instituições (ensino/pesquisa). Em algumas cidades há um POP (Ponto de Presença) Havendo mais de uma rota possível entre dois POPs como determinar qual a rota mais apropriada?

25 CAP-223 Grafos - Aplicações (cont.) Problema dos canibais e missionários 3 canibais e 3 missionários precisam atravessar o rio. Barco com capacidade de 2 pessoas. Restrição - número de canibais não podem ser maior que o número de missionários Como administrar a travessia?

26 CAP-223 Grafos - Aplicações (cont.) Problema de rede de computadores Projeto de redes de computadores onde os vértices são máquinas e arestas são conexões entre 2 máquinas juntamente com o custo. Possibilidade de comunicação sempre a um custo mínimo Determinar quais ligações inúteis?

27 CAP-223 Grafos - Aplicações (cont.) Problema de 3 casas e 3 serviços É possível conectar cada serviço a cada uma das três casas sem haver cruzamento de tubulações?

28 CAP-223 Grafos - Aplicações (cont.) Problema de coloração de mapas Na atualização de mapa político de um estado, cada município é colorida com uma cor distinta de seus vizinhos Minimizar o número de cores do mapa Como colorir o mapa com o menor número de cores?


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