Presentation is loading. Please wait.

Presentation is loading. Please wait.

112 maart 2013 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging numerieke advectieschema's.

Similar presentations


Presentation on theme: "112 maart 2013 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging numerieke advectieschema's."— Presentation transcript:

1 112 maart 2013 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging numerieke advectieschema's

2 2Wislunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013 Inhoud

3 numerieke advectieschema’s tijdstappen t 1, t 2, …, t n i-1i+1i i+1/2 i-1/2 massa en transport in gridcellen x midden : x i rand : x i+1/2 concentratie c(x,t) notatie:

4 Flux f volume V= Δ x Δ y Δ z, oppervlak S = Δ y Δ z (m 3, m 2 ) massabehoud concentratie c = M/V = M/ (Δ x Δ y Δ z )(g/m 3 ) flux f afspraak: outflow  f > 0g/(m 2 s) massa M (g) ΔxΔx ΔyΔy ΔzΔz S

5 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013 5 numerieke advectieschema’s x c i+1i-1i

6 numerieke advectieschema’s massabehoud: deel door volume V = Δ x Δ y Δ z : Euler forward: <> : gemiddeld over interval [t n,t n+1 ] Leonhard Euler, Institutionum calculi integralis, 1768–70

7 Flux Flux is evenredig met de windsnelheid u m/s f = u c g/(m 2 s) centred Veronderstel u constant en u > 0 evenredig met concentratie c g/m 3

8 centred scheme ( u > 0) substitueeren

9 Courant number Courant – Friedrich – Lewy number (CFL) Courant, R.; Friedrichs, K.; Lewy, H. : "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik", Mathematische Annalen 100 (1): 32–74, 1928.

10 numerieke advectieschema’s ●MATLAB centred differences....

11 Flux Flux is evenredig met de windsnelheid u m/s f = u c g/(m 2 s) centred upwind Veronderstel u constant en u > 0 evenredig met concentratie c g/m 3

12 upwind scheme ( u > 0) substitueer en R. Courant, E. Isaacson, M. Rees: Comm. Pure Appl. Math. 5 (1952), 243

13 numerieke advectieschema’s ●MATLAB upwind differences....

14 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013 14 numerieke advectieschema’s x c i+1i-1i volgende tijstap: stof staat al klaar voor cel i+2  numerieke diffusie

15 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013 15 van Leer x c i+1i-1i Bram van Leer: Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme, J. of Computational Physics 23, 276-299 (1977)

16 MUSCL scheme (van Leer, 1977): c lineaire functie van x want: c(x,t+ Δ t) = c(x-u Δ t,t), helling Gemiddelde flux over [ t n, t n+1 ]

17 MUSCL scheme, slope centred slope:Frommupwind slope:Beam-Warmingdownwind slope:Lax-Wendroff

18 numerieke advectieschema’s ●MATLAB van Leer....

19 numerieke advectieschema’s ●monotoniciteit  extra checks op c ≥ 0 en c ≤ max –let op massabehoud! ●minder numerieke diffusie  helling steiler maken rond lokale pieken Chris J. Walcek: Minor flux adjustment near mixing ratio extremes for simplified yet highly accurate monotonic calculation of tracer advection, J. of Geophysical Research, vol. 105, pp. 9335-9348, 2000

20 numerieke advectieschema’s, Walcek ●1D Test met 14 verschillende vormen en verschillende Courant nummers. ●verschillende "steepening factors" 1 < α < 2 voor upwind en downwind helling. ●optimale α bepaald (minimale RMS error)

21 numerieke advectieschema’s, Walcek ieder punt: gemiddelde α voor 14 vormen witte lijn: α down als functie van CFL zwarte lijn: α up als functie van CFL

22 numerieke advectieschema’s ●MATLAB Walcek....


Download ppt "112 maart 2013 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging numerieke advectieschema's."

Similar presentations


Ads by Google