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Department Mathematics-Statistics: Stochastics I, m. kohlmann Willkommen zur Stochastik an Ihrer Uni Konstanz im SS 11.

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1 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I, m. kohlmann Willkommen zur Stochastik an Ihrer Uni Konstanz im SS 11

2 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Organisation: Vorlesung Mo14.00h in R512 und Di 8.30h in M629 Skriptum auf meiner homepage, woraus wir etwa die ersten 120 Seiten besprechen werden (s.u.) in den nächsten sieben Vorlesungswochen: Wort zum Sonntag: Nacharbeiten der Vorlesung, Teilnahme an Übungen, Veranschaulichungen durch applets, …. und Freude an der Sache ! Bitte schicken Sie mir eine , damit ich Sie regelmäßig updaten kann webpage der Vorlesung (Folien, weitere Erläuterungen, Mitteilungen… ) erhalten Sie dann per . Und wenn Sie Probleme – Vorschläge - … haben : schreiben Sie mir oder sprechen Sie nach der Vorlesung mit mir

3 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Übungen Die erfolgreiche Teilnahme an den Übungsgruppen ist Voraussetzung zur Zulassung zur Klausur Einteilung

4 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Übungen Die erfolgreiche Teilnahme an den Übungsgruppen ist Voraussetzung zur Zulassung zur Klausur Einteilung

5 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Übungen 1)Die ersten Ü-aufgaben sind bereits auf dem Netz 2)Abgabe: Mo h in Briefkästen auf F4 (Die Ü-gruppenleiter richten diese ein (Janssen)) 3) Die neuen Ü-aufgaben erscheinen immer am Wochenende, spätestens montags 4) Die Übungen beginnen in der nächsten Woche ab ) Die Einteilung in die Ü-gruppen finden Sie auf der Seite exercises spätestens am Sonntag mit Raumangabe 6) Ein Wechsel der Ü-gruppe ist nur im Tausch und nach Absprache mit dem Ü-gruppenleiter möglich

6 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Struktur Stochastik I BA Teil I bis Anfang Juni 1.Einheit: Motivation für die Kolmogorovschen Axiome zur Einführung des Maßraums (,A,P) [topologischer Raum] Eigenschaften, Rechenregeln, Spezialfälle 2. Einheit: Kolmogorovsche Axiome, Diskussion der ~, Beispiele diskreter und nicht diskreter Maßräume homepage

7 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Struktur: 3. Einheit: Reduktion von Modellen: bedingte W-keit Abbildungen zwischen Maßräumen (,A) (,A) =Zufallsvariablen [Abbildungen zw. topol. Räumen, Stetigkeit] Verteilungsfunktionen induziert durch Maß und Zufallsvariable Zusammensetzung von Experimenten

8 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Struktur: 4. Einheit: Erwartungwert, Varianz, Kovarianz als charakteristische Größen von Zufallsvariablen [Integral von stetigen Abbildungen] Bedingter Erwartungswert als Verallgemeinerung eines Integrals bezüglich der bedingten W-keit 5. Einheit: Konvergenzbegriffe von Zufallsvariablen [Konvergenzen stetiger Funktionen] Gesetze der großen Zahlen (auch zur Rechtfertigung der Kolmogorovschen Axiomatik)

9 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Struktur: 6. Einheit: Charakteristische Funktionen [Fourier Transformierte] Konvergenz von Verteilungsfunktionen Zentrale Grenzwertsätze In eckigen Klammern sind die aus der Analysis bekannten analogen Begriffe angegeben, damit Sie auch ohne die neuen Begriffe zu kennen einen Eindruck haben, was gemacht wird. Man sollte diese Analogien jedoch sehr bedacht einsetzen.

10 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Geschichte und Geschichten Vor JAHREN. Würfel auf Felsmalereien in Jabiru um 00 die alten Römer: alea iacta 15./16. Jh. Erste Beschäftigungen mit speziellen wahrscheinlichkeitstheoretische Aufgaben durch Luca Pacioli (1445-um1514), NicoloTartaglia(um ), Hieronimo Cardano ( ) und Galileo Galilei ( ) 1654 Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Beschäftigung mit Glücksspielerproblemen durch Chevaliere de Méré und dem Mathematiker Blaise Pascal ( ) Korrespondenz zwischen den Mathematikern Pierre Fermat ( ) und Blaise Pascal ( ) Herauskristallisierung der Begriffe Wahrscheinlichkeit und mathematische Erwartung Anfang 17. Jh. Beschäftigung Graunts mit der Sterbewahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom Lebensalter Aufstellung von Tabellen für Rentenzahlungen durch Johan De Witt ( ) und Edmund Halley ( ) Nutzung wahrscheinlichkeitstheoretischer Gedanken in der Histographie und der Fehlerrechnung durch Isaac Newton ( ) Würfel

11 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Geschichte und Geschichten 1665 Befassung mit geometrischen Wahrscheinlichkeiten in einem unveröffentlichten Manuskript 1655 Verfassung des Lehrbuches der Wahrscheinlichkeitsrechnung "De ratiociniis in ludo aleae" (Über Berechnungen beim (Würfelspiel) durch Christian Huygens ( ) 1713 Erscheinen des Buches "Ars coniectandi" (Kunst des Vermutens) von Jacob Bernoulli ( ) 1718 Publizierung des Buches "The doctrine of chances" von Abraham de Moivre ( ) 1730 "Miscellanea analytica" (Analytische Beiträge), Abraham de Moivre 1733 Ableitung der Nominal-Verteilung der Wahrscheinlichkeit als Näherung der Binominalverteilung und Aufstellung einer zur Stirlingschen Fomel äquivalenten Formel durch Abraham de Moivre ( ) 1740 Angabe einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Aufgabe durch Th. Simpson (Simpsonsches Verteilungsgesetz) Verbindung von theoretische Problemen der Völkerkunde und des Versicherungswesens mit Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Leonhard Euler ( ) Formulierung des "Petersburger Spiel" von Nikolaus Bernoulli ( )

12 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Geschichte und Geschichten Mitte 18. Jh. Aufwerfen der Frage nach der Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Hypothesen, wenn schon Beobachtungsergebnisse vorliegen, durch Daniel Bernoulli ( ), Lösung hierzu von Thomas Bayes (gest. 1751) 1777 Einführung einer geometrischen Wahrscheinlichkeit durch den französische Naturforscher Graf Comte de Buffon ( ) 1812 Entwicklung der Hauptsätze der Wahrscheinlichkeit durch Laplace in seinem Werk "Théorie analytique des probabilités" zur Mitte des 19. Jh. Stagnation der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Westeuropa ab Mitte des 19. Jh. russische Gelehrte wie Pafnuti L. Tschebyschew ( ), A.A.Markow und A.M. Ljapunow fördern die Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Vorbereitungen durch W.J.Bunjakowski Erstes russisches Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung von W.J. Bunjakowski Ab 1918 Entwicklung eine "statistischen Wahrscheinlichkeitstheorie" durch den österreichischen Mathematiker Richard von Mises

13 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Geschichte und Geschichten 1933 nach dem Vorbild des Axiomensystems für die Geometrie des deutschen Methematikers David Hilbert ( ) wird auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein Axiomensystem aufgebaut, das in seiner endgültigen Form von Andrej N. Kolmogorov formuliert wird um 1910 E. Borel verknüpft die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Theorie der reellen Funktion, A.J. Chintschin, A.N. Kolmogoroff, E.E. Slutzki, P. Lévy und A. Lomnicki entwickelten diese Idee in den zwanziger Jahren ab 1920 abschließende Lösungen für klassische Aufgaben, die schon von P.L. Tschebyschew gestellt worden waren, werden gefunden weiter Größen sind in diesem Zusammenhang auch Lindeberg, S.N. Bernstein und W. Feller Ab 1930 Grundlagenschaffung für die Theorie der stochastischen (zufälligen) Prozesse Und das kommt in Stochastik II Stoch Prozess Heute: Anwendungen in Physik (Feynman), der Technik (Nelson) und der Finanzmathematik (ab 1980) (Merton, Black-Scholes

14 Der Begriff Tradeology (2007): Stochastics History George Lane was the originator of the stochastics in the 1970's. Lane observed that as prices increase in an up trend, closing prices tend to be closer to the upper end of bars and in a down trend closing prices tend to be nearer the lower end of bars. Lane developed stochastics to discern the relationship between the closing price and the high and low of a bar. (meanwhile corrected) Die Stochastik (von altgr: στόχαστικ τέχνη, (stochastike techne), lat. ars coniectandi, also Kunst des Vermutens, "Ratekunst") ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusammen. Mathematische Stochastik beschäftigt sich mit der Beschreibung und Untersuchung von Zufallsexperimenten wie zum Beispiel dem Werfen von Würfeln oder Münzen sowie vom Zufall beeinflussten zeitlichen Entwicklungen und räumliche Strukturen. Was hat das mit der exakten Mathematik zu tun ? Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Galton Board und random walk Würfel

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17 Wir unterscheiden also zwischen den Auskommen ωΩ des Experiments und den Ereignissen AK. Spezielle Ereignisse sind dann die Elementarereignisse {ω}. Bspl: 5 ist ein Auskommen beim Würfelwurf, {5} ist das Ereignis, dass eine 5 fällt. Der Stichprobenraum=Urne ist also die Familie der Auskommen. Die Algebra K ist die Familie der Ereignisse. Je nach Experiment wird (Ω, K) sehr unerschiedlich sein (Bsple)

18 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I (Definition!) Allgemein beachte: ω Ω K und {ω} Ω K P (Ω)

19 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Algebra auf R mit verschiedenen Erzeugern

20 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Algebra auf R n

21 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Algebra auf R

22 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Algebra auf R T

23 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Die Borelschen σ-Algebren auf R, R n, R, R T anschaulich auf RErzeugendensystem T = {(-,a), (a,b], [a, )} Borelsche -Algebra BB= σ ( T)) = kleinste sigma_Algebra, die T enthält …………………………………. R n Erzeugendensystem T n = {I 1 x I 2 …. x I n } I j T B n = σ ( T n ) ……………………………………… R = R x R x.…. R x.….. = {x: N R } (a 1, …., a n, …..) (x(1), … x(n), ….) Erzeugendensystem = T = Urbilder in R aller Rechteckmengen

24 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Die Borelschen σ-Algebren auf R, R n, R, R T R (x 1,x 2,x 3 ….) (x 1,x 2 ) B = σ ( T )) …………………………………………. R T ={x: T R } Erzeugendensystem = T = Urbilder in R T aller Rechteckmengen B T = σ ( T)) R T (x t ) (x t1,x t2,….. )

25 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Die Methode der Konstruktion einer Sigmaalgebra auf den reellen Zahlen (und den Produkten solcher Räume) läßt sich natürlich verallgemeinern: Betrachten wir eine beliebige nichtleere Menge Ω und eine beliebige nichtleere Teilmenge T von P (Ω), so bezeichnet Ϭ (T) die kleinste Sigmaalgebra, die T enthält. Bspl: Sei A eine Teilmenge von Ω, so ist mit T={A} Ϭ (T)={,A, A c, Ω }

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27 Einige Eigenschaften

28 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I N W T =P(N W T) = P(N) + P(W) + P(T) P(N)+P(W)+P(T) – P(N W)-P(N T) – P(W T) +?

29 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I s.u. Überprüfen Sie, ob dies formal W-maße auf der entsprechenden Algebra sind !

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32 applet

33 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I BuffonBuffon1THE EXPERIMENT

34 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Buffon2 THE EXPERIMENT

35 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Comic alles Quatsch ?

36 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Jetzt müssen wir messen, ob der Abschnitt x länger ist als die Seite des einbeschriebenen Dreiecks Methode2 : Drehe den Kreis, so dass zurück

37 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Konsequenz: Das W-modell zu einem Experiment ist nicht eindeutig gegeben !

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39 Binomial hypergeometrisch poisson

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42 Diverse Verteilungen/Dichten

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49 Den vollständigen Beweis entnehmen Sie der Vorlesung zur Maßtheorie.

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57 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I ??? Elementare Eigenschaften

58 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Game Experiment

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62 Nach unserer Rechnung hätte er seine Arbeit 24 Mal lesen müssen

63 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I CoinDieCoin Und damit weiter zu Begriffen, die aus der bedgten Wkeit hergeleitet werden können: Das Würfel-Münze-Spiel besteht darin, einen Würfel zu werfen und dann gemäß der Augenzahl so häufig die Münze zu werfen. Wie sieht dann die Verteilung des Erscheinens von K aus?

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66 Vorsicht

67 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Wiederholung (tower formula) Multiplikationsformel

68 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I 0 k/n 1

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75 Notation:

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80 Damit wissen wir, wie Zva aussehen. Weiteres Vorgehen: Die einfachste Zva ist eine Indikatorfunktion eines Ereignisses A: [A]. Nun hatten wir die Unabhängigkeit von Ereignissen definiert und es stellt sich die Frage, lässt sich die übertragen auf Zvaen. Seien A und B unabhängige Ereignisse. So sollten natürlich die zugehörigen Indikatorfunktionen als Zvaen, sagen wir x und y, unabhängig sein: Also hier gilt: [A] -1 (C)=x -1 (C) und [B] -1 (D)=y -1 (C) für C,D in B sind unabhängig: Dies können wir nun allgemein definieren durch die Unabhängigkeit der durch x und y erzeugten Sigma-algebren, S x = Ϭ (x -1 (C) | C Borelsch) unabhängig von S y = Ϭ (y -1 (C) | C Borelsch) Die Eigenschaft P(x -1 (C) y -1 (D)) = P(x -1 (C)) P(y -1 (D)) lässt sich dann mit Hilfe der sogenannten Verteilungsfunktionen aufschreiben. Die Idee

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92 Der Begriff der Verteilung einer eindimensionalen Zva verallgemeinert sich in natürlicher Weise auf n-dimensionale Zvaen / gemeinsame Verteilung von und man kann analoge Ergebnisse herleiten. heißt Randverteilung der gemeinsamen Verteilung Man beachte schon hier: Die gemeinsame Verteilung von x und y ist i.a. nicht das Produkt der Randverteilungen, also hier das Produkt der Verteilung von x und der Verteilung von y. (Bspl: Münzwurf und Summe des zweifachen Münzwurfs (s.o.)) Wann die Verteilung Produkt zweier Verteilungen ist, klären wir als Nächstes. triviale Verallgemeinerung:

93 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I … in SII Wichtige Verallgemeinerung:

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103 Jetzt stellt sich die Frage, ob dies sich verallgemeinern lässt auf unendlich viele Wiederholungen von Experimenten: Die Antwort: JA, aber die Details sparen wir uns für SII auf. Betrachten wir W-modelle Für eine beliebige Indexmenge I. Dann ist es leicht, eine -Algebra auf zu erklären als die kleinste - Algebra, die alle möglichen endlichen Tensorprodukte, J endliche Teilmenge von I, enthält. Die bezeichnen wir mit. Nach dem gerade bewiesenen Satz existiert ein eindeutiges W-maß P J auf, nämlich Allgemein glt dann der Satz, dass auf genau ein W-maß P existiert, so dass P eingeschränkt auf mit P J übereinstimmt. Beispiel: Man betrachte die Irrfahrt, oder analog die unendliche Wiederholung des Münzwurfexperiments. Dafür existiert dann also ein vernünftiges W-modell den einmaligen Münzwurf beschreibt.

104 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Damit können wir die Irrfahrt vollständig beschreiben, also

105 Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Faltungsformel

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107 Beispiel:

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109 powered by the beamer.tex to ppt project Hiermit können wir endlich das Problem zur Unabhängigkeit des einmaligen Münzwurfs x und der Summe des 2-maligen Münzwurfs (s.o.) z=x+y vollständig lösen: Zeigen Sie mit obiger Formel: Es gibt k, m mit Man führe das mal durch !


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