1. Aufgaben im Mathematikunterricht Seminar zum semesterbegleitenden fachdidaktischen Praktikum Dozentin: Claudia Homberg-Halter Fachrichtung 6.1: Mathematik Lehrstuhl für Mathematik & ihre Didaktik Universität des Saarlandes Wintersemester 2008/2009

2. Aufgabenvariationen Referent: Philipp Schommer

3. Seminarverlauf

4. Literatur Büchter, A. & Leuders, T. (2005). Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern – Leistung überprüfen. Berlin: Cornelsen Skriptor Büchter, A. & Leuders, T. (2005). Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern – Leistung überprüfen. Berlin: Cornelsen Skriptor Herget, W. (1993). Mathe-(Klausur-)Aufgaben – einmal anders?!. In: Hischer (Hrsg.). Wieviel Termumformung braucht der Mensch?. Hildesheim: Franzbecker Herget, W. (1993). Mathe-(Klausur-)Aufgaben – einmal anders?!. In: Hischer (Hrsg.). Wieviel Termumformung braucht der Mensch?. Hildesheim: Franzbecker Herget, W. (2000). Rechnen können reicht … eben nicht!. mathematik lehren, 100, 4-10 Herget, W. (2000). Rechnen können reicht … eben nicht!. mathematik lehren, 100, 4-10 Schupp, H. (2000). Thema mit Variationen. mathematik lehren, 100, 11-14 Schupp, H. (2000). Thema mit Variationen. mathematik lehren, 100, 11-14 Schupp, H. (2002). Thema mit Variationen. Oder: Aufgaben- variationen im Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker Schupp, H. (2002). Thema mit Variationen. Oder: Aufgaben- variationen im Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker

5. Überblick: offene Aufgaben

6. Überblick: offene Aufgaben Ziele Einübung von Teamarbeit Einübung von Teamarbeit Vermittlung von alltagsrelevanter Mathematik Vermittlung von alltagsrelevanter Mathematik Aufbau eines (nachhaltigen) Grundverständnisses von Mathematik: Aufbau eines (nachhaltigen) Grundverständnisses von Mathematik: M. als Wissenschaft mit perspektivischer Wahrheit wahrnehmen M. als Wissenschaft mit perspektivischer Wahrheit wahrnehmen M. als lebendige / sich selbst entwickelnde Disziplin erkennen M. als lebendige / sich selbst entwickelnde Disziplin erkennen zum Fragen, Nachdenken und Forschen über M. anregen zum Fragen, Nachdenken und Forschen über M. anregen Üben im „Umgang“ mit Mathematik Üben im „Umgang“ mit Mathematik

7. Überblick: offene Aufgaben Gründe geschlossene Aufgaben sind fragwürdig durch viele Voraussetzungen / Vereinfachungen geschlossene Aufgaben sind fragwürdig durch viele Voraussetzungen / Vereinfachungen offene Aufgaben betonen schöpferische, beschreibende, begründende und beurteilende Fähigkeiten, z. B. durch offene Aufgaben betonen schöpferische, beschreibende, begründende und beurteilende Fähigkeiten, z. B. durch selbstständiges aktives Problemlösen selbstständiges aktives Problemlösen inhaltliches, nicht standardisiertes Argumentieren oder Kommunizieren inhaltliches, nicht standardisiertes Argumentieren oder Kommunizieren Maschinen können viele Rechentechniken effizienter ausführen Maschinen können viele Rechentechniken effizienter ausführen  Relevanz von „Standard-Aufgaben“ ?  Möglichkeiten der Technik im Unterricht nutzen

8. Überblick: offene Aufgaben nichtalltägliche Aufgaben ? Problem 1:Zeitaufwändigkeit Problem 1:Zeitaufwändigkeit Problem 2:Notwendigkeit des Beherrschens von Rechentechniken Problem 2:Notwendigkeit des Beherrschens von Rechentechniken Problem 3:Einsatz & Beurteilung in Leistungskontrollen Problem 3:Einsatz & Beurteilung in Leistungskontrollen

9. Überblick: offene Aufgaben nichtalltägliche Aufgaben ? Offene Aufgaben trainieren das zielgerichtete und vorteilhafte Anwenden von Lösungsmethoden.  offene Aufgaben bedingen eine angemessene Vorbereitung der Schüler  offene Aufgaben bieten Möglichkeiten zur Binnendifferenzierung  offene Aufgaben sind auch geeignet für Leistungskontrollen

10. Überblick: offene Aufgaben Typen Produktive Aufgaben Produktive Aufgaben Zeitungsaufgabe Zeitungsaufgabe Fermi-Aufgabe Fermi-Aufgabe weitere Modellierungsaufgaben… weitere Modellierungsaufgaben… Divergente Aufgaben Divergente Aufgaben mehrere Lösungsmethoden mehrere Lösungsmethoden Beispiel: Umkehraufgaben

11. Überblick: offene Aufgaben Öffnen Öffnung im Bezug auf Voraussetzungen, Voraussetzungen, Ausgangssituation (A--) Rechenweg, Rechenweg, Transformation (-T-) Lösung, Lösung, Endsituation (--E)

12. Überblick: offene Aufgaben Strategien zum Öffnen Aufgaben adressantenbezogen und mit aktuellen und authentischen Daten stellen Aufgaben adressantenbezogen und mit aktuellen und authentischen Daten stellen Öffnen durch Weglassen Öffnen durch Weglassen Aufgaben vorzeitig stellen Aufgaben vorzeitig stellen Abändern der Aufgabenstellung, so dass kein Standardverfahren eingesetzt werden kann Abändern der Aufgabenstellung, so dass kein Standardverfahren eingesetzt werden kann  Problemaufgaben (A - -)  Offene Situation (- - -)

13. Überblick: offene Aufgaben Strategien zum Öffnen Öffnen durch Umkehren Öffnen durch Umkehren Aufgaben zu Lösungsmengen stellen Aufgaben zu Lösungsmengen stellen Richtung von Textaufgaben ändern Richtung von Textaufgaben ändern  Umkehraufgabe (- T E)  Problemumkehr (- - E) Aufgaben erfinden lassen Aufgaben erfinden lassen Schüler gelöste Aufgaben abändern lassen Schüler gelöste Aufgaben abändern lassen Schüler neue Aufgaben mit aktuellem Unterrichtsstoff stellen lassen Schüler neue Aufgaben mit aktuellem Unterrichtsstoff stellen lassen

14. Überblick: offene Aufgaben Strategien zum Öffnen Reflektion der Mathematik durch Ausformulierung Reflektion der Mathematik durch Ausformulierung Muster und Gesetzmäßigkeiten suchen und formulieren lassen Muster und Gesetzmäßigkeiten suchen und formulieren lassen Geschichte zu gelöster Aufgabe schreiben lassen Geschichte zu gelöster Aufgabe schreiben lassen  Anwendungssuche (- T -)  Begründungsaufgabe (A – E) Fehler suchen lassen Fehler suchen lassen Öffnen durch Verändern  Variation Öffnen durch Verändern  Variation

15. Aufgabenvariation (nach Schupp, 2000 & 2002)

16. Aufgabenvariation Umsetzung im Unterricht Universelle Anwendung: Universelle Anwendung: Jede Aufgabe bietet Variationsmöglichkeiten. Grundgedanke: Grundgedanke: Schüler variieren Aufgabenstellung.  Voraussetzung: allmähliches Erlernen Vergleich: Üben & Variieren Vergleich: Üben & Variieren Übungsaufgabe als Variationsthema Übungsaufgabe als Variationsthema Variation als unaufdringliche Wiederholung Variation als unaufdringliche Wiederholung

17. Aufgabenvariation Variationsstrategien Kategorien: Beeinflussen der Bedingungen Beeinflussen der Bedingungen Beeinflussen der Richtung Beeinflussen der Richtung Vergleich mit der Realität Vergleich mit der Realität Weiterrechnen Weiterrechnen Erfassen der Gesamtheit einer Fragestellung Erfassen der Gesamtheit einer Fragestellung

18. Variieren von Aufgaben

19. Aufgabenvariation Variieren von Aufgaben Gruppenarbeit: Arbeitsphase:Zeit: 15min Arbeitsphase:Zeit: 15min Erarbeitung von Variationsstrategien: Erarbeitung von Variationsstrategien: Beispielaufgaben Beispielaufgaben Kurzinformation zu den Strategien Kurzinformation zu den Strategien Anwendungsaufgabe Anwendungsaufgabe Vorstellungsphase:Zeit: 5min Vorstellungsphase:Zeit: 5min Vorstellen der Strategien und Anwendungsaufgaben Vorstellen der Strategien und Anwendungsaufgaben

20. Aufgabenvariation Variationsstrategien Beeinflussen der Bedingungen: Schwierigkeitsgrad abändern Schwierigkeitsgrad abändern (schwerer oder leichter machen) geringfügig ändern geringfügig ändern(Wackeln) analogisieren analogisieren (ersetzen / ändern von Bedingungen) verallgemeinern (weglassen von Bedingungen) spezialisieren (hinzufügen von Bedingungen)

21. Aufgabenvariation Variationsstrategien Beeinflussen der Richtung: umzentrieren umzentrieren (Blick wechseln) umkehren umkehren (Richtung wechseln) umorientieren umorientieren (Ziel ändern) anders bewerten (interessant machen) Kontext ändern (Rahmen wechseln)

22. Aufgabenvariation Variationsstrategien Vergleich mit der Realität: Umweltbezug herstellen Umweltbezug herstellen(anwenden) Daten ändern Daten ändern(aktualisieren) sinnvoll machen (be-sinnen) kritisieren (verbessern)

23. Aufgabenvariation Variationsstrategien Weiterrechnen: iterieren iterieren(weitermachen) Frage anschließen Frage anschließen(nachfragen) Variation variieren (ausweiten) kombinieren (vereinigen von Variationen)

24. Aufgabenvariation Variationsstrategien Erfassen der Gesamtheit einer Fragestellung: visualisieren visualisieren (sichtbar machen) Grenzfälle betrachten Grenzfälle betrachten(ausloten) Lücken beheben Lücken beheben (dicht machen) extremalisieren (ausreizen) zerlegen (trennen) in Beziehung setzen (vergleichen)

25. Beispiel für themenübergreifende Aufgabenvariationen

26. Beispiel für themenübergreifende Aufgabenvariationen Aufgabe Die Entfernung zweier unzugänglicher Punkte P und Q soll mit Hilfe einer maßstabsgetreuen Zeichnung bestimmt werden. Man wählt zwei Punkte A und B, die mit P und Q auf gleicher Höhe liegen und bestimmt folgende Meßwerte: (Quelle: Hahn/Dzewas, Mathematik Rheinland-Pfalz, 8. Klasse)

27. Beispiel für themenübergreifende Aufgabenvariationen Aufgabe

28. AB α1α1α1α1 α2α2α2α2 β1β1β1β1 β2β2β2β2 a.)b.)c.)d.) 160 m 300 m 450 m 600 m 107°101°100°90°35°23°71°49°43°35°56°53°101°132°85°106°

29. Beispiel für themenübergreifende Aufgabenvariationen Variation 1 „Schwierigkeitsgrad abändern“: Die Entfernung zweier unzugänglicher Punkte P und Q soll bestimmt werden. Man wählt zwei Punkte A und B und misst die Winkel zwischen PA und BA (α1), QB und AB (β2), QA und BA (α2), sowie zwischen PB und AB (β1). Die Entfernung der Punkte A und B ist ebenfalls bekannt. Wie kannst du diese Angaben nutzen, um die Strecke PQ zu konstruieren? (nicht themenübergeifend)

30. Beispiel für themenübergreifende Aufgabenvariationen Variation 2 „Variation variieren“: „Variation variieren“: Fallen dir andere Verfahren ein, wie man die Entfernung bestimmen könnte? Mit welchen Angaben könntest du die dargestellte Figur auch konstruieren? (nicht themenübergeifend)

31. Beispiel für themenübergreifende Aufgabenvariationen Variation 3 „umorientieren“: „umorientieren“: Die Entfernung zweier unzugänglicher Punkte P und Q soll exakt bestimmt werden. Man wählt zwei Punkte A und B, die mit P und Q auf gleicher Höhe liegen und bestimmt folgende Messwerte: AB = 160 m, α 1 = 107°, α 2 = 35°, β 1 = 43° und β 2 = 101°

32. Beispiel für themenübergreifende Aufgabenvariationen Variation 4 „Grenzfälle betrachten“: „Grenzfälle betrachten“: Der dargestellte See ist mit 2,5 Mio. Litern Wasser gefüllt und durchschnittlich 2m tief. Wie groß kann der fast runde See an seiner breitesten Stelle höchstens sein? „in Beziehung setzen“: „in Beziehung setzen“: Vergleiche dieses Ergebnis mit der ermittelten Entfernung von P und Q.

33. Ziele (nach den Bildungsstandards für den mittleren Bildungsabschluss) Kompetenzen: Kompetenzen: mathematisch argumentieren mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen Probleme mathematisch lösen mathematisch modellieren mathematisch modellieren mathematische Darstellungen verwenden mathematische Darstellungen verwenden mathematisch kommunizieren mathematisch kommunizieren mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

34. Ziele (nach den Bildungsstandards für den mittleren Bildungsabschluss) Leitideen: Leitideen: Zahl Zahl Messen Messen Raum und Form Raum und Form Daten und Zufall Daten und Zufall Anforderungsbereich: Anforderungsbereich: I-II I-II

35. Einordnung in die saarländischen Lehrpläne Kernlehrplan Gesamtschule: (E-Kurs) Kernlehrplan Gesamtschule: (E-Kurs) Themenfeld Geometrie 5/6: Themenfeld Geometrie 5/6: Strecke Strecke Vierecksarten Vierecksarten Winkel Winkel Themenfeld Funktionen 7/8: Themenfeld Funktionen 7/8: Lesen und Interpretieren von Tabellen Lesen und Interpretieren von Tabellen Themenfeld Geometrie 7/8: Themenfeld Geometrie 7/8: Dreiecks(grund-)konstruktionen Dreiecks(grund-)konstruktionen

36. Einordnung in die saarländischen Lehrpläne Kernlehrplan Gesamtschule: (E-/A-Kurs) Kernlehrplan Gesamtschule: (E-/A-Kurs) Themenfeld Geometrie 9/10: Themenfeld Geometrie 9/10: Berechnungen im Dreieck Berechnungen im Dreieck  Trigonometrie Kernlehrplan Gesamtschule: (GOS) Kernlehrplan Gesamtschule: (GOS) Stereometrie 10 Stereometrie 10

37. Aufgabenvariation Erfolg des Variierens Intensität des (reflektierten) Variations- prozesses und dadurch gewonnene geistige Beweglichkeit Intensität des (reflektierten) Variations- prozesses und dadurch gewonnene geistige Beweglichkeit Eigenproduktion von Aufgaben führt zu besserem (Selbst-)Bewusstsein der Mathematik Eigenproduktion von Aufgaben führt zu besserem (Selbst-)Bewusstsein der Mathematik Erwerb von metakognitiven Wissen Erwerb von metakognitiven Wissen

38. Und zum Schluss… Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!