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1 Press Ctrl-A ©G Dear 2010 – Not to be sold/Free to use Sum & Differences of angles Stage 6 - Year 11 Mathematic Extension 1 (Preliminary)

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1 1 Press Ctrl-A ©G Dear 2010 – Not to be sold/Free to use Sum & Differences of angles Stage 6 - Year 11 Mathematic Extension 1 (Preliminary)

2 2 1 1 x y x-y (cos x, sin x) B A (cos y, sin y) 1 1

3 3 We find the sum or difference of angles to make the hard questions easier. End of Slide 1 1 x y x-y (cos x, sin x) B A (cos y, sin y) x - y 1 1

4 4 AB 2 = (cos x – cos y) 2 + (sin x – sin y) 2 End of Slide cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y Proof part 1 - distance formula d 2 = (x 2 –x 1 ) 2 + (y 2 –y 1 ) 2 + (cos 2 y + sin 2 y) - 2cos x cos y- 2sin x sin y = 2 - 2(cos x cos y + sin x sin y) 1 X o -y o = cos 2 x – 2 cos x cos y + cos 2 y+ sin 2 x – 2 sin x sin y + sin 2 y = (cos 2 x + sin 2 x)

5 5 End of Slide cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y Proof part 2 – cosine rule a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A AB 2 = – 2(1)(1) cos(x - y) AB 2 = 2 – 2 cos(x - y) 2 X o -y o

6 6 End of Slide cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y Proof part 3 – from 1 and 2 2 – 2 cos(x-y) = (cos x cos y + sin x sin y) 1 xx x o -y o –2 cos(x-y) = 2 -2(cos x cos y + sin x sin y) 1 xx cos(x-y) =cos x cos y + sin x sin y

7 7 1 1 x y x+y (cos x, sin x) B A (cos y, sin y) 1 1

8 8 End of Slide 1 1 x y x+y (cos x, sin x) B A (cos y, sin y) 1 1 x o + y o

9 9 End of Slide cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y Replace y with -y cos(x–y) = cos x cos y + sin x sin y cos(x–(-y)) = cos x cos(-y) + sin x sin(-y) cos(x+y) = cos x cos y + sin x (-sin y) cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y x o +y o

10 10 End of Slide sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y Replace x with 90 o -x cos(x–y) = cos x cos y + sin x sin y cos((90 o -x)– y) = cos(90 o -x) cos y + sin(90 o -x) sin y cos(90 o -(x+y)) = sin x cos y + cos x sin y sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y x o +y o

11 11 End of Slide sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y Replace y with -y sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x+(-y)) = sin x cos (-y) + cos x sin (-y) sin (x-y) = sin x cos y + cos x (-sin y) sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y x o -y o

12 12 End of Slide sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y Replace x with 90 o -x cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y cos((90 o -x) – y) = cos (90 o -x) cos y + sin (90 o -x) sin y cos(90 o - (x+y)) = sin x cos y + cos x sin y sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y x o +y o

13 13 = sin x cos y + cos x sin y cos x cos y End of Slide tan x + tan y 1 – tan x tan y tan (x+y) = x o +y o tan(x+y) = sin(x+y) cos(x+y) cos x cos y - sin x sin y = sin x cos y + cos x sin y cos x cos y + sin x sin y cos x cos y = sin x cos y cos x cos y + cos x sin y cos x cos y - sin x sin y cos x cos y xxxx + tan y = tan x 1- tan x 1 tan y tan(x+y) =

14 14 = sin x cos y - cos x sin y cos x cos y End of Slide tan x - tan y 1 – tan x tan y tan (x-y) = x o -y o tan(x-y) = sin(x-y) cos(x-y) cos x cos y + sin x sin y = sin x cos y - cos x sin y cos x cos y + sin x sin y cos x cos y = sin x cos y cos x cos y - cos x sin y cos x cos y + sin x sin y cos x cos y xxxx - tan y = tan x 1+ tan x 1 tan y tan(x-y) =

15 15 End of Slide cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y tan x + tan y 1 – tan x tan y tan (x+y) = tan x - tan y 1 – tan x tan y tan (x-y) =


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