1. ©G Dear 2010 – Not to be sold/Free to use
Mathematic Extension 1
(Preliminary)
Trigonometry
Sum & Differences
of angles
Stage 6 - Year 11
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2. Difference of Angles 1 -1 -1 A (cos y, sin y) (cos x, sin x) B 1 x-y x

3. Differences of Angles x - y We find the sum or difference of angles
to make the hard questions easier. 1 -1
A (cos y, sin y)
(cos x, sin x) B 1
x-y x 1 y -1
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4. cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
Differences of Angles
cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
Proof part 1 - distance formula
d2 = (x2–x1)2 + (y2–y1)2
AB2 = (cos x – cos y)2 + (sin x – sin y)2
= cos2x – 2 cos x cos y + cos2y
+ sin2x – 2 sin x sin y + sin2y
= (cos2x + sin2x)
+ (cos2y + sin2y)
- 2cos x cos y
- 2sin x sin y
= 2
- 2(cos x cos y + sin x sin y) 1
Xo-yo
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5. cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
Differences of Angles
cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
Proof part 2 – cosine rule
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
AB2 = – 2(1)(1) cos(x - y)
AB2 = 2 – 2 cos(x - y) 2
Xo-yo
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6. cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
Differences of Angles
cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
Proof part 3 – from 1 and 2 x x
2 – 2 cos(x-y) = 2
2 - 2(cos x cos y + sin x sin y) 1 x x
–2 cos(x-y) = 2
-2(cos x cos y + sin x sin y) 1
cos(x-y) =
cos x cos y + sin x sin y
xo-yo
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7. Sum of Angles 1 -1
A (cos y, sin y)
(cos x, sin x) B
x+y x y 1 1 -1

8. Sum & Differences of Angles
xo + yo 1 -1
A (cos y, sin y)
(cos x, sin x) B
x+y x y 1 1 -1
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9. Sum of Angles cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y Replace y with -y
xo+yo
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10. Sum of Angles sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
Replace x with 90o-x
cos(x–y) = cos x cos y + sin x sin y
cos((90o-x)– y) = cos(90o-x) cos y + sin(90o-x) sin y
cos(90o-(x+y)) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y -1
xo+yo
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11. Differences of Angles sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y
Replace y with -y
sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x+(-y)) = sin x cos (-y) + cos x sin (-y)
sin (x-y) = sin x cos y + cos x (-sin y)
sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y
xo-yo
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12. Sum of Angles sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
Replace x with 90o-x
cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
cos((90o-x) – y) = cos (90o-x) cos y + sin (90o-x) sin y
cos(90o- (x+y)) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
xo+yo
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13. Sum of Angles 1 tan x + tan y tan (x+y) = 1 – tan x tan y sin(x+y)
cos(x+y) =
sin x cos y + cos x sin y
tan(x+y) =
cos x cos y - sin x sin y =
sin x cos y + cos x sin y
cos x cos y =
sin x cos y
cos x cos y
xxxx +
cos x sin y
cos x cos y
xxxx
cos x cos y + sin x sin y
cos x cos y
xxxx xxxx
cos x cos y -
sin x sin y
cos x cos y 1 =
tan x
+ tan y
tan(x+y) = 1
- tan x
tan y
xo+yo
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14. Differences of Angles 1 tan x - tan y tan (x-y) = 1 – tan x tan y
sin(x-y)
cos(x-y) =
sin x cos y - cos x sin y
tan(x-y) =
cos x cos y + sin x sin y =
sin x cos y - cos x sin y
cos x cos y =
sin x cos y
cos x cos y
xxxx -
cos x sin y
cos x cos y
xxxx
cos x cos y + sin x sin y
cos x cos y
xxxx xxxx
cos x cos y +
sin x sin y
cos x cos y 1 =
tan x
- tan y
tan(x-y) = 1
+ tan x
tan y
xo-yo
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15. Sum & Differences of Angles
cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y
tan x + tan y
1 – tan x tan y
tan (x+y) =
tan x - tan y
1 – tan x tan y
tan (x-y) =
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